CALCUL LITTÉRAL Cycle central 5ème-4ème

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Les programmes Voir Le document d’accompagnement : Du numérique au littéral (http://eduscol.education.fr/D0015/du_numerique_au_litteral.pdf). Le niveau Cinquième constitue le niveau fondamental pour l’introduction du calcul littéral. - travail sur les concepts, la construction du sens, avant même d’aborder la technique. - La lettre est un outil de preuve et de généralisation. Des jalons devront être posés régulièrement sur toute l’année de Cinquième. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Différents statuts de la lettre Inconnue: Pour faciliter les calculs (équations) Indéterminée: Pour traduire des relations entre les nombres (formules, identités) Variable: Pour étudier l’évolution d’une situation en fonction des valeurs (fonctions) Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Activité : Tout un symbole ! Voici dix écritures mathématiques : a) Que peut-on dire de ces dix écritures ? - Qu’ont-elles en commun ? - Qu’est ce qui les différencie ? b) Traduire par une phrase chacune de ces dix écritures - sans utiliser le mot « égal », - sans utiliser de symboles. Source : IREM de Rennes Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Une égalité: = Symétrie de l’égalité. Utilisation de chiffres, de lettres minuscules et majuscules. Différents statuts du signe « = » . Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Programmes de calcul Voici deux programmes de calcul : a) Appliquer les deux programmes de calcul en choisissant le nombre 1, puis le nombre 2, puis le nombre 3 et le nombre 4. b) Quelle conjecture peut-on faire? c) Cette conjecture est-elle vraie ? D’après : L’algèbre et en particulier le calcul littéral de la 6ème à la 2nde Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Présenter la notion de contre-exemple comme moyen simple d’invalider un résultat. Utiliser la lettre en tant que nombre généralisé. Introduire le calcul littéral comme outil de démonstration. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Famille de maisons Les figures ci-dessous sont composées d’un carré et d’un triangle équilatéral dont le côté mesure 2 cm de plus que celui du carré : a) Dessiner une quatrième figure (figure ) sur le même modèle. b) Calculer le périmètre des figures , ,  et . c) Trouver un procédé permettant de calculer le périmètre des figures à partir de la longueur du côté du carré. d) Vérifier que ce procédé fonctionne pour les quatre figures. e) On veut construire une figure sur le même modèle qui a un périmètre de 42 cm. Quelle longueur choisir pour le côté du carré ? D’après Stage Calcul littéral en 4ème 3ème (H. Colonna/ M.Chevallier), Académie de Rouen Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Intérêt de la lettre pour décrire un procédé répétitif. Utiliser la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition avec le calcul littéral pour établir l’égalité entre différentes écritures d’une même expression littérale. Initier à la notion d’équations. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Des réponses élèves : Groupe 1 : a  3 + (a + 2)  2 + 2  b a : côté du carré petit bout Groupe 2 :  5 + 6 Groupe 3 : Deux côtés du triangle plus trois côtés du carré plus 2 cm. Groupe 4 : y  3 + 2 + (y + 2)  2 y : longueur du côté du carré Groupe 5 : Dès que nous avons trouvé un côté du carré, on le multiplie par 3. On y ajoute 1 cm de chaque côté. On reprend un côté du carré et on y ajoute 2 cm. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 VRAI/FAUX Tice Les énoncés mathématiques suivants sont-ils vrais ou faux ? 1) Pour tous les nombres x, 2 + 7x = 9x 2) Pour tous les nombres x  : 15 + 3x = 3(5 + x) 3) Il existe un nombre x tel que : 80x – 18,6 = 30(30 + x)  Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 Un contre-exemple permet de montrer que la première égalité est fausse pour un nombre, donc elle n’est pas vraie pour tout x. On démontre que l’égalité est toujours vraie en utilisant la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition C’est peut-être vrai, mais s’il existe réellement un nombre qui rend cette égalité vraie, comment le trouver ? Et si un tableur pouvait nous aider ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

EXEMPLES LIES AUX THEMES DE CONVERGENCE 1°) Santé Une personne, qui fume un paquet de cigarettes (20 cigarettes), par jour inhale 250 mL de goudrons par an. Une cigarette mesure 7 cm. a) Combien ce fumeur inhale-t-il de millilitres de goudrons en 2 années ? en 5 années ? en n année(s) où n est un nombre entier  ? b) Quelle longueur (en cm) de cigarettes cette personne aura-t-elle fumée en 2 jours ? en 5 jours ? en p jour(s) où p est un nombre entier c) À partir de combien de jours, ce fumeur aura-t-il consommé l’équivalent de la hauteur de la tour Eiffel si on mettait « bout à bout » et bien alignées toutes ses cigarettes ? d) Quelle longueur (en m) cette même personne aura-t-elle fumée en 1 année ? en 5 années ? en r année(s) où r est un entier positif non nul ? (on ne tiendra pas compte des années bissextiles) e) On met toutes les cigarettes que ce fumeur s’apprête à consommer pendant toute sa vie bien alignées. La longueur obtenue dépasse-t-elle celle d’un marathon ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

EXEMPLES LIES AUX THEMES DE CONVERGENCE 2°) Sécurité La distance de freinage en mètres d’un véhicule sur route sèche dépend de la vitesse de ce véhicule. Des scientifiques ont admis qu’une bonne valeur de la distance de freinage est donnée par la formule suivante : où D est la distance de freinage en mètres, V la vitesse en km par h et k un paramètre calculé par les scientifiques. Sur route mouillée, il faut utiliser la formule suivante : où le coefficient k’ a changé par rapport à k . a) Pourquoi k est-il supérieur à k’ ? b) On donne pour la suite k = 203,2 et k’ =101,6. Calculer la distance de freinage d’un véhicule roulant à 90 km par heure, 110 km par heure et 130 km par heure sur route sèche et sur route mouillée. On donnera les résultats arrondis au mètre et on organisera les résultats dans un tableau. Quelle conclusion peut-on en tirer ? c) Un chauffeur ne laisse devant lui qu’une distance de 20 mètres (à peine la distance entre deux bandes blanches consécutives sur route nationale). A quelle vitesse (en km/h, arrondie à l’unité) peut-il rouler sans risquer un accident en cas de freinage brutal sur route sèche ? d) Avec cette même vitesse calculée, quelle distance doit-il maintenir avec le véhicule qui le précède sur route mouillée pour ne pas risquer également l’accident  ? Source: Exercice n° 100 page 112 du Bordas 5ème Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007