Le logarithme décimal : quelques exemples (introduction, utilisation)

Dans le programme et le document d’accompagnement : « La fonction logarithme décimal est la seule exigible en ST2S, elle doit donner lieu à des activités variées dans un cadre pluridisciplinaire. » On utilisera la fonction logarithme décimal pour résoudre des équations ou des inéquations du type ax = b, ax < b, ax > b On pourra signaler que la fonction log transforme les produits en sommes, mais toute technicité sur cette notion est exclue.

Introduire le log par l’histoire: Exemple de texte pouvant servir de point de départ à l’étude de cette fonction : Texte d’Ozanam. «  Les logarithmes sont des nombres en proportion arithmétique, correspondant à d’autres nombres en proportion géométriques, desquels ils sont appelés logarithmes. Comme il est libre de prendre telle progression que l’on voudra, on choisira la plus commode, qui est de prendre la progression décimale pour la progression géométrique et la progression des nombres naturels pour l’arithmétique, en sorte que, pourtant, le premier nombre arithmétique, qui répond au premier géométrique, ou à l’unité, soit 0, c'est-à-dire que le logarithme de l’unité soit O, pour rendre l’usage des logarithmes plus facile : comme vous le voyez dans cette table, où le logarithme de 1 est 0, de 10 est 1, de 100 est 2, de 1000 est 3 et ainsi de suite ; et parce que, dans la pratique, on a besoin des logarithmes des nombres moyens 2, 3, 4, 5, etc., et que ces logarithmes ne peuvent être exprimés qu’en fractions, on se servira aussi de la progression décimale pour la facilité du calcul, en ajoutant un certain nombre de zéros à chaque terme de la progression arithmétique, plus ou moins exacts, comme vous voyez ici. Ainsi, nous supposerons que le logarithme de 10 est 1,000000, que le logarithme de 100 est 2,0000000, celui de 1 000 est 3,0000000, etc., en suite de quoi il faut trouver les logarithmes des nombres moyens 2, 3, 4, 5, etc., ce que nous ferons après avoir expliqué la nature et les propriétés des logarithmes dans les propositions suivantes : (…) »

Introduction sur un exemple concret : Le niveau d’intensité sonore. (première partie) Le niveau d’intensité sonore N, en décibels(dB), d’un son dont l’intensité sonore est I (en W.m−²) est donnée par la relation : N= 10 log(I / I0 ), où I0 est le seuil minimum au-dessous duquel on ne perçoit aucun son, avec I0 = 10 –12 Wm−² Lorsqu’il existe, loga est le logarithme décimal du nombre a. En utilisant la touche « log » de la calculatrice (ou le tableur) : 1. Calculer la valeur de N pour I = 10-5 Wm−² 2. Calculer la valeur de N pour I = 10 -7 Wm−²

Dans ce début d’activité, les élèves découvrent le nombre loga puis la fonction log au travers de la fonctionnalité correspondante sur la calculatrice. Le tableur permet de multiplier les exemples : Écrire « logarithme décimal » ou parler de la découverte du « nombre log(a) » pour pouvoir ensuite passer à « la fonction log » La relation log(10b) = b n’est pas évidente à remarquer …

La relation log(10b) = b apparaît plus clairement. … mais en détaillant le calcul grâce au tableur ou à la calculatrice : La relation log(10b) = b apparaît plus clairement.

On peut ensuite étendre les exemples à des nombres de nature différentes : Cela permet de généraliser la relation précédente aux décimaux strictement positifs. Cela permet aussi d’expliquer le terme « logarithme décimal ».

Suite de l’activité ; deuxième partie : Etude de la fonction logarithme décimal : Grâce au tableur ou à la calculatrice, on peut dresser un tableau de valeurs : C’est l’occasion de préciser l’ensemble de définition de la fonction log. On peut ensuite en tracer une représentation graphique.

Voici ce que l’on obtient en utilisant le tableur et le tableau de valeurs précédemment rempli.

Au vu de la courbe on peut ensuite conjecturer le tableau de variations de la fonction. Puis faire apparaître les propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal : Que peut-on observer dans le tableau de valeurs pour log(4) ? Et pour log(0,5) et log(2) ?

On ne vérifie pas , mais on conjecture… ensuite on admet le résultat, en l’indiquant explicitement aux élèves avec les quantifications correctes. Ici on conjecture la relation « pour tout réel a > 0 et tout réel b > 0 on a log(ab)=log(a)+log(b) », qui peut ensuite être explicitement admise dans les cours des élèves. On peut aussi conjecturer puis admettre de même que sous les mêmes conditions log(a/b)=log(a)-log(b) et que pour tout entier naturel n log(an)=nlog(a)

Suite de l’activité ; troisième partie : Application concrète et retour au problème de départ 1. Déterminer par le calcul le niveau d’intensité sonore N pour une intensité sonore I de 10-4 Wm−² 2. Déterminer l’intensité sonore I, en Wm−², pour un niveau d’intensité sonore N de 20dB.

Un exemple d’utilisation : le pH Le pH d’une solution L’acidité d’une solution est mesurée par son pH, défini en fonction de la concentration en ions H3O+ par : pH = −log[H3O+] où [H3O+] est la concentration (en mole par litre) d’ions H3O+ de la solution. Le pH de l’eau pure est 7 ; celui d’une solution acide est strictement inférieur à 7 alors que celui d’une solution basique est strictement supérieur à 7. Le pH d’un sol, généralement compris entre 3,5 et 9,5 renseigne sur le degré de saturation du complexe absorbant. La fougère et le châtaignier recherchent un sol au pH voisin de 4 à 5 ; le buis exige un sol au pH de l’ordre de 8. Cet exemple permet d’employer les propriétés algébriques telles que « pour tout réels strictement positifs a et b, log(ab) = log(a) + log(b), qui ne sont pas exigibles mais qu permettent de mettre en valeur l’intérêt et l’utilité concrète de la fonction log.

Avec pH = −log[H3O+] et pH′ = −log([H3O+]/10). Exemples 1. Quel est le pH d’une solution dont la concentration en [H3O+] est 4,8 × 10−6 mole par litre ? Si la concentration est égale à 4,8 × 10− 6 mol.L–1, alors le pH est donné par : pH = − log(4,8 × 10−6) = − (log(4,8) + log(10−6)) soit environ 0,681 − 6 soit environ − 5,319. Le pH est donc environ 5,319. 2. Si le pH d’une solution est 4, quelle est la concentration en ions [H3O+] ? Si le pH est 4 alors 4 = −log[H3O+] d’où log[H3O+] = − 4 soit log[H3O+] = log(10−4). Ainsi [H3O+] =10−4 mole par litre. 3. Que fait le pH lorsque la concentration est divisée par 10 ? Avec pH = −log[H3O+] et pH′ = −log([H3O+]/10). Alors pH′ = −log[H3O+] + log(10) soit pH + 1. Lorsque la concentration en [H3O+] est divisée par 10, le pH augmente de 1.