Cours analyse spectrale Part I ESPEO 3ème année Philippe Ravier 2000-2001

Déroulement du cours Définitions : spectre, dsp, corrélation Procédure d’estimation Estimation de la fonction de corrélation Mesure de fonctions de corrélation par TFD

1.Définitions : spectre, dsp, corrélation On définit : le spectre d’amplitude le spectre de phase on parle de spectre de raies pour le spectre d’un signal constitué de fréquences pures La dsp est définie à partir de la fonction d’autocorrélation comme Théo. de Wiener-Kintchine

Comparaisons corrélations - dsp Forte corrélation Faible corrélation Corrélation négative

Corrélation, dse et dsp (cas certain) signal déterministe ou certain signal à énergie finie signal à puissance moyenne finie signal périodique (T) : cas particulier du signal à puissance moy. finie dse dsp dsp

Corrélation, dse et dsp (cas aléatoire) signal aléatoire centré Comment calculer la dsp avec une espérance mathématique ? Si le processus aléatoire est stationnaire et ergodique, alors : Si le signal est stationnaire et ergodique, on peut remplacer E par un moyennage sur plusieurs réalisations indépendantes. On ne dispose que d’une réalisation. On va envisager plusieurs réalisations d’un même processus par tronçonnage de ce processus. dont on prend la TF Périodogramme moyenné Corrélogramme

2.Procédure d’estimation En pratique, l’observation peut être considérée comme la réalisation d’un processus aléatoire, que le signal soit déterministe ou aléatoire. Notions de biais et variance pour un estimateur Spectre vrai Spectre estimé Variance Biais

Formulations mathématiques des statistiques de l’estimateur est estimé à partir des observations Y Biais (moment du 1er ordre) Variance (moment du 2ème ordre) Erreur entre la grandeur réelle et l’estimée

l’estimateur est dit non biaisé Si l’estimateur est dit non biaisé On a une borne inférieure de la variance : Borne de Cramér-Rao pour un estimateur sans biais Si la variance atteint la borne de CR, on dit que l’estimateur est efficace L’estimateur idéal est non biaisé et efficace mais variance et biais sont liés par l’EQM Antagonisme biais-variance L’estimateur est dit consistent si le biais et la variance tendent vers 0 quand le nombre d’observations tend vers l’infini

Exemple avec l’estimateur de la moyenne Signal aléatoire X(n) Stationnaire et ergodique Durée limitée de N points Moyenne estimée Variable aléatoire sur l’ensemble des réalisations de X(n) Estimateur de la moyenne dans le cas discret : faites les calculs ! On trouve (éch. indép. de var s2)

Exemple avec l’estimateur de la corrélation Estimateur « naturel » pour un nombre N de points Est-ce un bon estimateur ? Cet estimateur est biaisé car on ne tient pas compte de la durée finie des signaux. Pour « rendre » le signal à énergie finie, on utilise des fonctions de pondération qui atténuent les extrémités. Estimateur non biaisé

3.Estimation de la fonction de corrélation On multiplie le signal temporel par une fonction d’apodisation (pondération ou lissage) g(t) T g(t) Forme générale de la fonction d’apodisation Rôle : atténue les discontinuités qui apparaissent aux 2 extrémités du signal observé permet de régler le biais de l’estimateur intervient sur la variance de l’estimateur La fonction d’auto-corrélation est alors estimée par

Moyenne de l’estimateur Fonction de corrélation de g(t) : Pour obtenir un estimateur non biaisé, il suffit de fixer : Estimateur approximativement non biaisé Variance de l’estimateur Si tau<<T, Gamma(tau)=Gamma(0) -> estimation approximativement non biaisée Cas de la fenêtre rectangulaire Expression approchée pour le cas gaussien et un support de fonction de corrélation petit par rapport à la durée d’observation, soit t<<T

Introduisons quelques grandeurs - On définit le temps d’intégration C’est une mesure de la durée de g(t) qui est le temps d’observation sur lequel on effectue l’estimation. - On définit la largeur de bande équivalente de bruit C’est une mesure de la largeur de bande de x(t). Elle est définie à partir de la bande équivalente d’un bruit associé à x(t).

Variance relative à la puissance de l’estimateur avec ces notations - On définit le temps de corrélation C’est une mesure de la durée de la fonction de corrélation Variance relative à la puissance de l’estimateur avec ces notations dépend de la fonction de corrélations de x(t)

Variance relative (pour un retard quelconque) La variance est essentiellement contrôlée par le produit BeqTin Pour avoir une variance faible, il faut prendre un temps d’intégration le plus grand possible, bien plus grand que le temps de corrélation du signal. Autre interprétation : Tin / Tc correspond au nombre de supports de la fonction de corrélation contenus dans la durée du signal observé. C’est le nombre de tranches indépendantes (décorrélées) du signal utilisées pour faire l’estimation. Variance relative (pour un retard quelconque) L’estimation est meilleure lorsque Beq est grand, càd pour un support de corrélation court. L’estimation des qq échantillons forts autour de 0 sera bien meilleure que l’estimation des échantillons d’une corrélation encore forte pour les grands retards (dessin !) Pondération pour le corrélogramme. La dispersion relative des estimations augmente pour les retards importants. L’estimation est moins bonne pour les t grands.

4.Mesure de fcts de corrélation par TFD L’estimation par la TFD introduit une estimation de la corrélation circulaire. La notation [n-k] signifie : [n-k] = n-k modulo N Signaux à énergie finie Relier à la convolution circulaire (convolution par TFD) Forme incorrecte venant du repliement induit par la translation circulaire

Signaux périodiques

Signaux aléatoires Bilan : L’estimateur est une variable aléatoire qui a un biais et une variance. Même variance que dans le cas continu est la longueur du support de corrélation en nombre d’échantillons. signaux à énergie finie : ajout de zéros pour calcul par TFD signaux périodiques : estimation erronée sauf si on connaît la période signaux aléatoires stationnaires : estimation correcte si le calcul est effectué sur une durée supérieure au temps de corrélation. La variance relative croît pour les retards forts. Bilan :