1 Modifications controlées des implications de la base de Guigues-Duquenne LIMOS – Clermont-Ferrand Alain Gély 6 Février 2006 Séminaire Maison des Sciences Economiques

2 I. Représentation des systèmes de fermeture II. Le problème du calcul dune base minimale III. Combinatoire & Eléments clones IV. Influence des implications Unitaires

3 I. Représentation des systèmes de fermeture

Système de fermeture Eléments inf-Irréductibles 134, 23, 34, 2 M(F) est une représentation de F Dautres représentations existent F M(F) Graphe Biparti

Système de fermeture Système dimplications F premise conclusion, une famille dimplications est une représentation de F. Voyons les différences entre les deux représentations

6 Liens entre les représentations

, 2, 3, 4 12, 13, 14, 23, 24, , 124, 134, , 2, 3 12, 13, 14, 23, 123, 124, 134,

, 2, 3 12, 13, 14, 23, 123, 124, 134, , 2, 3 12, 14, 23, 123, Implications redondantes \ {X Y} {X Y}

9 Ajouter 4 est possible 4 1 1, 2, 3 12, 14, 23, 123, 124, , 13, Propriétés des systèmes de fermeture Ajouter 34 est impossible 4 est un ensemble quasi-fermé

Pour les ensembles quasi-fermés ayant la même fermeture, les ensembles minimaux sont appelés ensembles pseudo-fermés

11 II. Le problème du calcul dune base minimale

12 1.Systèmes de fermeture & Systèmes dimplications 2.Problématique 3.Eléments clones 4.Influence des implications unitaires Sortie :, une base dimplications minimum de F Entrée : M(F) M(F) Algorithme

13 1.Systèmes de fermeture & Systèmes dimplications 2.Problématique 3.Eléments clones 4.Influence des implications unitaires Pas dalgorithmes dénumération polynomiaux connus (Quasi-polynomial O(n log(n) ) [Fredman & Khachiyan 95] pour un cas particulier) [Mannila & Räihä, 92] | | exponentiel par rapport à |M(F)| Sortie :, une base dimplications minimum de F Entrée : M(F)

14 [Mannila & Räihä, 92] | | exponentiel par rapport à |M(F)| Complexité des algorithmes dénumération Un algorithme dénumération est polynomial si sa complexité est polynomiale en la taille de lentrée ( |M(F)| ) et de la sortie ( | | ) O( ( |M(F)| + | | ) k )

15 Pas dalgorithmes dénumération polynomiaux connus (Quasi-polynomial O(n log(n) ) [Fredman & Khachiyan 95] pour un cas particulier) F M(F) Polynomial ? ?

16 Recherche dun algorithme dénumération polynomial Rendre le calcul plus facile en modifiant les données De nombreuses recherches sont faites dans plusieurs domaines Clones Implications Unitaires Entrée Pré-traitement Entrée modifiée + meta-information

17 III. Combinatoire & Eléments clones

18 1.Systèmes de Fermetures & Systèmes dImplications 2.Problématiques 3.Eléments clones 4.Influence des implications unitaires Généralité - Exemple Soit J = { 1, 2, 3, 12, 13, 23, 123 } défini sur J={1,2,3} φ 1, J = {,,,,,, } = J J r = {,,,, } + 12 Famille réduiteMéta-Information (classe déquivalence)

19 1.Système de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires Généralités J une famille densembles sur J, et a,b J Soit φ a,b une fonction sur un ensemble, qui échange a et b Soit J = { φ a,b ( X ) | X J } Si J= J alors a et b sont dit J- clones Il y a une symétrie entre les éléments a et b J J φ a,b

20 Base minimum canonique (base de Guigues-Duquenne) [Guigues & Duquenne 86] Soit F un système de fermeture = { P P | P est un ensemble pseudo-fermé de F } est une base minimale dimplications pour F. [Mannila et Räiha, 92] | | exponentiel par rapport à |M(F)| Y-a-t-il des éléments clones dans une base minimum ? [Medina & Nourine 04] [Gély & al 05] Il nous faut choisir une base minimum …

P -Clones : Exemple Les éléments P -Clones sont clones dans la famille des ensembles pseudo-fermés

P -clones: 1 2 P -Clones : Exemple

P-clones: 1 2 P -Clones : Exemple

P-clones: P -Clones : Exemple

P-clones: P -Clones : Exemple

P-clones: P -Clones : Exemple

P-clones: P -Clones : Exemple

28 P-clones: P -Clones : Exemple

29 Problème ouvert : –Entrée : M(F) –Question : a et b sont-ils P -clone ? P -Clones Expliquent lexponentialité de [Mannila & Räihä92] Nouveau problème : –Entrée : M(F) –Question : a et b sont-ils F -clone ?

30 F -Clones Définition Détection Réduction Reconstruction Relation entre F -Clones et P -Clones

31 F - Clone φ 1,3 F -Clones : Définition & Exemple

32 F- Clone et P- Clone B Clone Clone F- Clone P- Clone A A B P φ a,b (P)P P A B φ a,b (A B)

33 Théorème: a et b sont F - clone ssi a et b sont M(F)-clones F -Clones : Détection AB

34 Le problème –Entrée : M(F) –Question: a et b sont-ils F- clones ? est polynomial F -Clones : Détection Trouver les classes de clones : J x || M(F) || [Medina & al 05] Limage dun élément inf-irréductible est un élément inf-irréductible

35 F -Clones : Réduction 1 x 234 xx xx xx xx x x x

36 F -Clones : Réduction x 234 xx xx x x x x

37 F -Clones : Reconstruction x 234 xx xx 2 x 4 x x x φ 1,3 23 xx 34 x x

38 M(F) Détection Réduction Clones Calcul de la base Reconstruction

39 F -Clones : Reconstruction de la base 3 étapes I. Retrait des implications artificiellement rajoutées lors de la réduction

40 F -Clones : Reconstruction de la base 3 étapes I. Retrait des implications artificiellement rajoutées lors de la réduction II. Ajout des implications artificiellement écartés lors de la réduction B A A B

41 F -Clones : Reconstruction de la base 3 étapes I. Retrait des implications artificiellement rajoutées lors de la réduction II. Ajout des implications artificiellement écartés lors de la réduction III. Application de la fonction φ

42 Théorème : F le système de fermeture après F –clone réduction Est tel que |M(F)| |M(F)| F -Clones : Résultats Théorème: F -Clone P -clones P -Clone F -clones

43 IV. Influence des implications Unitaires

44 P -Clone F -clone : Exemple P -Clone : 12 F -Clone : 12 φ 1,2 (13) φ 1,2

45 1.Systèmes de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires Implications Unitaires Soit F un système de fermeture sur J, et sa base de Guigues- Duquenne. = J Avec 1. =P P avec |P|>1 2. J =P P avec |P|=1 3. =P P avec |P|=0

46 1.Systèmes de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires Implications Unitaires Soit F un système de fermeture sur J, et sa base de Guigues- Duquenne. = J Avec 1. =P P avec |P|>1 2. J =P P avec |P|=1

47 Implications Unitaires Les implications de J sont Facile à calculer En nombre polynomial Modifier J sans modifier On recherche des systèmes de fermeture - équivalent On note C (F) la famille des systèmes de fermeture - équivalents

Comment 1 et 2 Peuvent-ils devenir clones ? Solution 1 : Retirer une implication / Ajouter des ensembles fermés. 1.Systèmes de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires

49 Retrait dune implication unitaire de la base de Guigues-Duquenne Retrait dune Implication Unitaire J

J

J

J

J

J

J Copies densembles fermés

Base de Guigues-Duquenne Calcul de F à partir de F J

57 Retrait dune implication unitaire & Duplication densembles convexes

58 Retrait dune implication unitaire & Duplication densembles convexes Duplication de convexeRetrait dune implication unitaire

59 Retrait dune implication unitaire de la base de Guigues-Duquenne Le problème Entrée : M(F), P P J Sortie : M(F), avec (F) = (F) \ { P P } est polynomial Mais quen est-il de la taille de M(F) ? Résultat

Base de Guigues-Duquenne Calcul de F depuis F J éléments Inf-irreductibles 4 24

Base de Guigues-Duquenne Calcul de F depuis F J 6 éléments Inf-irréductibles éléments Inf-irréductibles

62 |M(F ) | par rapport à | M(F)| ? Soit F un système de fermeture, et sa base de Guigues-Duquenne. F un système de fermeture tel que est sa base de Guigues-Duquenne |M(F )| peut être exponentiel par rapport à | M(F)| Retirer des implications nest pas une solution

Comment 1 et 2 Peuvent-ils devenir clones ? Solution 2 : Retirer des ensembles fermés / Ajouter des implications [Gély & Nourine 06] 1.Systèmes de fermeture & Système dimplications 2.Problématique 3.Eléments Clones 4.Influence des implications unitaires

64 Ajout de limplication a b : {a b} nest pas forcément une base de Guigues-Duquenne Ajout dimplications unitaires J 2 23 J

65 Pour tout P P Caractérisation : - équivalence en ajoutant a b (i) Si a P alors b P (ii)Si a P alors b P (iii)Si a j, j P, alors (jb) P Conclusion inchangée Reste un ensemble quasi-fermé Reste un ensemble quasi-fermé minimal Résultat a b peut être ajoutée sans modifications de ssi

66 Caractérisation : relation de couverture dans C (F) (i) Pour tout P P, P a,Si a P alors b P (ii) Pour tout P P Si a P alors b P (iii) Pour tout P P Si a P alors (ab) P Résultat a b peut être ajouté sans modification de, et F couvre F dans C (F) ssi

La famille des systèmes de fermeture -équivalent nest pas un système de fermeture La famille des systèmes de fermeture J - équivalent est un système de fermeture [Nation & Pogel 97]

69 Caractérisation : Relation de couverture C (F) (i) Pour tout P P, P a, Si a P alors b P (ii) Pour tout P P Si a P alors b P (iii) Pour tout P P, Si a P alors (ab) P Résultat a b peut être ajouté sans modification de, et F couvre F dans C (F) ssi Conditions sur les implications

70 Caractérisation : relation de couverture de C (F) En utilisant M(F) Résultat Le problème: Entrée : M(F), a b Question : F est-il le S.F. correspondant à { a b } tel que F C (F) F couvre F est polynomial Résultat

71 (i) et (ii) Isomorphisme entre A et A * système de fermeture – Ajout de a b A la famille densembles fermés F tels que a F et b F A * la famille densembles fermés F tels que A * F, a F et b F A = a F B = b F A * le prédécésseur immédiat de A dans F A = B = A * = A A*A* (iii) A (A * B) F F

72 Si F couvre F dans C (F) |M(F)| Résultat Les éléments Inf-irreductibles dun système de fermeture minimal de C (F) peuvent être calculés en temps polynomial Résultat principal

73 Il est possible dajouter une implication a b Conditions nécessaires et suffisantes vérifiables en temps polynomial Transformation des données en temps polynomial Détection possible de plus de clones La nouvelle donnée est plus petite que la donnée initiale Le système de fermeture est plus petit que le système de fermeture initial Méthode intéressante pour traiter les données

74 Entrée Pré-traitement (en temps polynomial) Réduction des clones Ajout dimplications unitaires Utilisation de ces résultats ? Datamining, énumération des ensembles fermés, calcul dune base minimum, …

75 Conclusions Eléments Clones pour réduire la combinatoire Implications Unitaires pour détecter plus de clones Implications Unitaires pour réduire le système de fermeture Système dImplications

76 Perspectives Liens entre les implications de et J Comportement pour dautres bases ? Propriétés structurelles de C (F) Liens avec la duplication densembles convexes [Day 70][Caspard 99] Algorithmes efficaces pour lajout dimplications Systèmes dImplications

77 Merci