Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Alain Gély Autour des implications Unitaires Université dAuvergne / LIMOS

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Plan Implications unitaires et codage Implications unitaires et base canonique Motivations

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Motivations - Définitions Implications Implications unitaires (ou simple) J un ensemble déléments, Implication = Couple (X,Y) noté X Y = { X 1 Y 1, X 2 Y 2, …, X i Y i } une famille dimplications Exemple = { d b, c a, abc d, abd c } J un ensemble déléments, Implication unitaire = Couple (X,Y) noté X Y, avec |X| = 1 Exemple = { d b, c a, abc d, abd c }

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Motivations Implications simples à calculer Implications en nombre réduit Propriétés densembles ordonnés Déjà lobjet de plusieurs études Présentes quelque soit la base utilisée

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Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai abcd bd ab ac b a Base dimplications minimum d b, c a, abc d, abd c Graphe Biparti / Contexte Système de fermeture O((n.N) k ) Implications unitaires et base canonique a b c d

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai d b, c a, abc d, abd c Implications unitaires et base canonique Donnée : Un contexte réduit sur les objets (éléments -irréductibles ) Résultat : La base canonique du contexte a b c d

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et base canonique Idée n°1 : retrait incrémental Fait : Soit une base canonique et X Y Alors \ { X Y} est une base canonique Principe : 1. Trouver une implication { X Y } de 2. Modifier lentrée pour correspondre à \ { X Y } 3. Revenir en 1 avec la nouvelle donnée

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai ? Modification des données Retrait incrémental dimplications ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c a ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et base canonique Quels problèmes peuvent se poser ? Identification dune implication de la base Calcul polynomial de la nouvelle entrée Explosion de la taille de lentrée Facile pour les implications unitaires Calculer les éléments -irréductibles du nouveau système de fermeture Cf. exemple

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Base de Guigues-Duquenne Calcul de F à partir de F J Implications unitaires et base canonique

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Base canonique J éléments -irréductibles 4 24 Implications unitaires et base canonique

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Base canonique J 6 éléments -irréductibles éléments -irréductibles Implications unitaires et base canonique

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et base canonique Exemple dexplosion combinatoire (J,<) 6 éléments -irréductibles

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et base canonique Exemple dexplosion combinatoire 2n1 {1,n+1}{2,n+2} 2n n n+1 (J,<) 2n éléments -irréductibles {n,2n} n+2 2n

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai n + n(n+1) -1 éléments -irréductibles Implications unitaires et base canonique Après avoir retirer les n implications unitaires Problème defficacité 2n éléments -irréductibles Donnée initiale

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et base canonique Idée n°2 : Ajouter des implications (contraindre le système) abcd bd ab ac b a d b, c a, abc d, abd c Graphe Biparti / Contexte a b c d

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Ajout dimplications : Contrôler les modifications ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c a Modifications inconnues Implications unitaires et base canonique

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Ajout de limplication a b : {a b} nest pas forcément une base de Guigues-Duquenne J 2 23 J Implications unitaires et base canonique

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Modification des données dentrées du problème ajout dimplications ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c b ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? u v x y ? c b + C (F) : systèmes de fermeture - équivalent

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai F F F les systèmes de fermeture - équivalent ne forment pas un système de fermeture Implications unitaires et base canonique

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et base canonique J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 Elément maximal (maximum) Elément minimaux

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Pour tout P P Caractérisation : - équivalence en ajoutant a b (i) Si a P alors b P (ii)Si a P alors b P (iii)Si a j, j P, alors (jb) P Conclusion inchangée Reste un ensemble quasi-fermé Reste un ensemble quasi-fermé minimal a b peut être ajoutée sans modifications de ssi Implications unitaires et base canonique

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Caractérisation : relation de couverture dans C (F) (i) Pour tout P P, P a,Si a P alors b P (ii) Pour tout P P Si a P alors b P (iii) Pour tout P P Si a P alors (ab) P a b peut être ajouté sans modification de, et F couvre F dans C (F) ssi Implications unitaires et base canonique Ces propriétés peuvent être vérifiés en temps polynomial à partir des éléments irréductibles.

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Caractérisation : relation de couverture dans C (F) Implications unitaires et base canonique Propriétés vérifiables en temps polynomial à partir du contexte Nouveau contexte plus petit

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Plan Implications unitaires et codage Implications unitaires et base canonique Motivations Quelques définitions

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai c ad b e ab ab edc Implications unitaires et codages Ø ab abebdac abcde Ordre induit par J ab edc ab abebdac

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et codages Théorème de Dilworth (décomposition en chaîne) ab edc abcde ab edc abc d e

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et codage Théorème de Dilworth (décomposition en chaîne) ab edc ab cd e ab edc ab ed c Nombre de chaînes minimal = largeur de lordre

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et codage Plongement dans un produit de chaînes a [1,0,0,0,0] abe abcd ab edc b [0,1,0,0,0] ac [1,0,1,0,0] ab [1,1,0,0,0]bd [0,1,0,1,0] abd [1,1,0,1,0] abde [1,1,0,1,1] abcde [1,1,1,1,1] abc [1,1,1,0,0] abce [1,1,1,0,1] x 0 1 x 0 1 x 0 1 x abcde CaCa CbCb CcCc CdCd CeCe

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et codage Plongement dans un produit de chaînes ab edc abc d e a [1,0,0,0] abe b [0,1,0,0] ac [1,0,1,0] ab [1,1,0,0]bd [0,2,0,0] abd [1,2,0,0] abde [1,2,0,1] abcde [1,2,1,1] abc [1,1,1,0] abce [1,1,1,1] abcd [1,2,1,0] x 0 1 x 0 1 x CaCa C bd CcCc CeCe

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et codage Plongement dans un produit de chaînes ab edc ab cd e a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [2,0,0] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [1,2,1] abcde [2,2,1] abc [2,1,0] abce [2,1,1] abcd [2,2,0] x 0 1 x C ac C bd CeCe

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Implications unitaires et codage Plongement dans un produit de chaînes ab edc ab ed c a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] x 0 1 x C ae C bd CcCc

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] Implications unitaires et codage a [ 1, 0, 0 ] b [ 0, 1, 0 ] ac [ 1, 0, 1 ] bd [ 0, 2, 0 ] abcde [ 2, 2, 1 ] abe [ 2, 1, 0 ] Ø ab abebdac abcde

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] Implications unitaires et codage ac [1,0,1] bd [0,2,0] abe [2,1,0] Ø ab abebdac abcde

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Ø ab abebdac abcde a [1,0,0] abe b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] ac [1,0,1] bd [0,2,0] abe [2,1,0] a [1,0,0] b [0,1,0] [0,0,0] abcde [2,2,1] Implications unitaires et codage

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Ø ab abebdac abcde a [1,0,0] ab e b [0,1,0] ac [1,0,1] ab [1,1,0]bd [0,2,0] abd [1,2,0] abde [2,2,0] abcde [2,2,1] abc [1,1,1] abce [2,1,1] abcd [1,2,1] ac [1,0,1] bd [0,2,0] abe [2,1,0] a [1,0,0] b [0,1,0] [0,0,0] abcde [2,2,1] [Bouchet71] Il existe un -homomophisme de L vers C 1 x…xC k ssi (J(L),<) peut être partitionné en k chaînes Implications unitaires et codage L

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Ø ab abebdac abcde ac [1,0,1] bd [0,2,0] abe [2,1,0] ac [1,0,1] b [0,1,0] ac [1,0,0] abcde [2,2,1] Seul lordre relatif sur les chaînes compte Implications unitaires et codage Connexion de Galois Généralisée [ E. Diday, R. Emilion, Maximal and stochastic galois lattices, Discrete Applied Mathematics 127 (2003) ]

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai [2,0] [1,0] [2,2] [0,1] [0,2] [0,0] [1,2] Implications unitaires et codage Intérêt : Avoir une représentation plus compacte

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai Conclusions Implications unitaires Faciles à manipuler Propriétés densembles ordonnés Coupes dans lespace de recherche