« CIRCUIT » ou début d’automatique, appliqué à des circuits électriques Enseignement pour public ayant déjà eu la remise à niveau Sur chaque thème, ou chapitre : rapides rappels, applications dans le domaine e.e.a. Balayage rapide, (4 séances d’1 heure 30) en cohérence avec le contenu des T.D. et T.P. Objectifs : remettre à niveau pour une exploitation immédiate (TD, TP) et ultérieure (ERII3, ERII4…), - identifier ce qui fondamental et qui doit être connu sans aucune lacune ni ambiguïté

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« CIRCUIT » Transformées de Laplace Analyse harmonique Quadripôles

TRANSFORMEES DE LAPLACE Définition, propriétés Application à l’électronique

TRANSFORMEES DE LAPLACE Définition, propriétés Application à l’électronique

Sous réserve de convergence La transformée de Laplace consiste à étudier le comportement des systèmes par une représentation symbolique. La variable n'est plus le temps t mais p. A une fonction f(t) dans le monde réel correspond une fonction F(p) dans le monde symbolique. Cette fonction est appelée : image de f(t). Inversement f(t) est appelée : originale de F(p). Ce passage du monde réel au monde symbolique est défini par la transformée de Laplace suivante: Sous réserve de convergence Remarque : il existe des conditions d’existence de F(p). Toutes les fonctions f(t) n’ont pas une transformée de Laplace. Et réciproquement, toutes les fonctions F(p) ne sont pas des transformées de Laplace de f(t).

Г(t) appelée échelon unité, qui s’écrit usuellement Transformées de Laplace des principaux signaux Fonction de Heavyside appelée échelon unité, qui s’écrit usuellement u(t) ou = 1 si t > 0 = 0 si t < 0 Г(t) Définition :

1 = p2 Rampe unitaire = t si t > 0 = 0 si t < 0 Par définition Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du Intégration par parties : u = t dv = exp (-pt) dt du = dt v = -(1/p) exp (-pt) 1 = p2 [0 – 0] [0 – 1]

Il faut que (a-p) soit < 0 pour que lim exp(a-p)t converge t->∞ Fonction Exponentielle = exp (at) si t > 0 = 0 si t < 0 Par définition = Il faut que (a-p) soit < 0 pour que lim exp(a-p)t converge t->∞ 1 1 [0 – 1] Dans ces conditions, F(p) = = (a-p) p-a

Par définition Fonction sinus = sin (ωt) si t > 0 = 0 si t < 0 Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du Intégration par parties : u = sin (ωt) dv = exp (-pt) dt du = ω cos (ωt) dt v = -(1/p) exp (-pt) [0 – 0]

( ) Fonction sinus, suite F(p) = Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du Intégration par parties : u = cos (ωt) dv = exp (-pt) dt du = - ω sin (ωt) dt v = -(1/p) exp (-pt) 1 ω = F(p) [0 – 1] = - -p p p ( 1 ω ) ω ω2 1 - On arrive à : F(p) = ω F(p) = - F(p) p p p p2 p2 ω D’où : F(p) = p2 + ω2

Autre calcul, bien plus rapide : 1 On a vu que : L { exp –at } = p+a Reprenons cette écriture en remplaçant a par jω, avec ω constante : 1 p-jω p jω L { exp -jωt } = = = - p+jω p2+ω2 p2+ω2 p2+ω2 Or : exp -jωt = cos ωt – j sin ωt L { exp -jωt } = L { cos ωt - j sin ωt } Et, par linéarité : L {exp -jωt} ) = L{cos ωt} – j L{sin ωt} p L{cos ωt} = p2+ω2 Par identification : ω L{sin ωt} = déjà vu p2+ω2

Il existe des formulaires de transformées de Laplace.

Très utilisée lors des calculs des transformées Principales Propriétés des Transformées de Laplace Linéarité : Il suffit de se rappeler de la définition… Par développement et l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales. Très utilisée lors des calculs des transformées

Principales Propriétés des Transformées de Laplace Transformées de Laplace d’une dérivée Intégration par parties : Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du u = exp (-pt) dv = f’(t) dt du = (-p) exp (-pt) dt v = f(t) Appliquons à notre calcul = F(p) L {f’(t)} = p F(p) – f(0+)

£ {f’’(t)} = p [ p F(p) – f(0+) ] – f’(0+) Principales Propriétés des Transformées de Laplace Transformées de Laplace d’une dérivée, suite £ {f(t)} = F(p) £ {f’(t)} = p F(p) – f(0+) £ {f’’(t)} = p [ p F(p) – f(0+) ] – f’(0+) £ {f’’’(t)} = p {p [p F(p) – f(0+) ] – f’(0+)} – f’’(0+)

F(p) L {∫f(t)} = p Principales Propriétés des Transformées de Laplace Transformées de Laplace d’une intégration u variable d’intégration Posons : soit : =0 Par la page précédente : D’où : or : F(p) L {∫f(t)} = p

Principales Propriétés des Transformées de Laplace Théorème du retard f(t) u(t) f(t-) u(t-) La transformée de Laplace de la fonction retardée est : Posons x = t- t = x + dx = dt Quand t parcours  à l’infini, x parcours de 0 à l’infini Changement de variable La transformée s’écrit : = = x : variable d’intégration

Principales Propriétés des Transformées de Laplace Théorème de l’amortissement, ou multiplication par l’exponentielle Ecriture de F(p) dans laquelle on a remplacé p par p+k

Principales Propriétés des Transformées de Laplace Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur finale Si elle existe,

Principales Propriétés des Transformées de Laplace Transformée de Laplace d’une fonction périodique une fonction f(t) périodique de période T, faite de motifs g(t) G(p) est la transformée de Laplace de g(t), alors F(p) la transformée de f(t) s’écrit :

Principales Propriétés des Transformées de Laplace Théorème de convolution La convolution de deux fonctions f(t) et g(t), est la fonction h(t) définie par  que l’on note h(t) = f * g . Cette opération est commutative, c’est-à-dire que On a : Rappel : la transformée de Laplace d’un produit n’est pas le produit des transformées de Laplace !

Transformées inverses de Laplace Rappel : A une fonction f(t) dans le monde réel correspond une fonction F(p) dans le monde symbolique. Cette fonction est appelée : image de f(t). Inversement f(t) est appelée : originale de F(p). Comment retrouver f(t) à partir de F(p) ? 1) Par lecture des tables de transformées 2) et/ou par exploitation des propriétés 3) et/ou par décomposition en éléments simples (dans le cas de F(p) en fractions rationnelles) 4) par la méthode des résidus (vue plus tard)

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Circuit LR attaqué par un échelon de tension Application 1 : Circuit LR attaqué par un échelon de tension

E(p) = L{e(t)} S(p) = L{s(t)} I(p) = L{i(t)} On pose : Ecrire les équations qui régissent le circuit, sous forme temporelle, et sous forme de Laplace. e(t) = uL(t) + uR(t) uL(t) = L di/dt uR = R i(t) E(p) = UL(p) + UR(p) UL(p) = L p I(p) UR(p) = R I(p) E(p) = (R + L p) I(p) On applique en e(t), un échelon de tension, d’amplitude Eo. Condition initiale nulle. Déterminer l’expression de I(p). En déduire i(t). E(p) = Eo/p i(t) = ?

 = L/R Eo Eo A = B = R -R/L On connaît : l’original de 1/p : u(t) i(t) = ? Il nous faut trouver l’original de I(p) 1) Par lecture des tables de transformées On connaît : l’original de 1/p : u(t) l’original de 1/(p+a) : u(t) exp (-at) Mais on n’a pas l’original de 1/[p(p+a)] ou du moins on suppose que l’on ne l’a pas… 2) et/ou par exploitation des propriétés 3) et/ou par décomposition en éléments simples (dans le cas de F(p) en fractions rationnelles) Eo Eo A = B = R -R/L On prend l’original  = L/R i(t) = Eo/R [ 1-exp (–t/) ] u(t) s(t) = Eo [ 1-exp (–t/) ] u(t) s(t) = R i(t) S(p) = R I(p)

Eo E(p) = p Eo Tension s(t) = R i(t) : e(t) = uL(t) + uR(t) uL(t) = L di/dt uR = R i(t) Eo E(p) = Récapitulation : Equations temporelles, Transformation en Laplace Résolution sous Laplace Retour en temporel p E(p) = (R + L p) I(p) s(t) À t -> infini, courant continu, di/dt = 0 et s = e = Eo Eo Tension s(t) = R i(t) : s(t) = Eo [ 1-exp (–t/) ] u(t) t

1- On intègre d’abord l’ESSM : L i’ + R i = 0 uL(t) = L di/dt uR = R i(t) Rappel : Résolution en temporel L i’ + R i = e(t) 1- On intègre d’abord l’ESSM : L i’ + R i = 0 i(t) = Io exp [-t/] avec  = L/R 2- On recherche une solution particulière : On recherche i(t) qui satisfasse : L i’ + R i = constante = Eo i(t) de la forme = constant répond à cette équation i(t) = Eo/R 3- La solution complète est : la solution de l’ESSM + solution particulière i(t) = Io exp [-t/] + Eo/R 4- La constante d’intégration Io est alors calculable par la condition initiale À t = 0, i(t) = 0, soit : 0 = Io exp [-t/] + Eo/R => Io =- Eo/R s(t) = Eo (1-exp [-t/]) pour t > 0 Il vient : i(t) = Eo/R (1-exp [-t/]) Par s(t) = R i(t) : 30

Circuit LR attaqué par une rampe de tension Application 2 : Circuit LR attaqué par une rampe de tension On applique en e(t), une rampe de tension, d’expression kt. Condition initiale nulle. Déterminer l’expression de I(p). En déduire i(t).

i(t) = [At + B + C/L exp (-t/)] u(t) 1 Rappel : transformée de Laplace de la rampe unitaire : p2 k L’entrée e(t),qui est une rampe kt, a comme transformée de Laplace : E(p) = p2 Les équations de maille sont inchangées, et on conserve : Il nous faut trouver l’original de cette expression pour avoir i(t) A B C Décomposition en éléments simples + + = p2 p R+Lp A B C/L + + Supposons A, B, C calculés = p2 p p+R/L Original terme à terme i(t) = [At + B + C/L exp (-t/)] u(t) ou « pour t > 0 »

Décomposition en éléments simples A B C = + + p2 p R+Lp Parmi les différentes méthodes, l’identification après réduction au même dénominateur A(R+Lp) + Bp (R+Lp) + C p2 = p2 (R + Lp) D’où p2(BL+C) + p (AL + BR) + AR = k =0 =0 = k C = - B L B = - A L / R A = k/R B = - k L / R2 C = k L2/R2

i(t) = k/R { t -  [1- exp (-t/)] } u(t) A = k/R B = - k L / R2 C = k L2/R2  = L/R i(t) = [At + B + C/L exp (-t/)] u(t) i(t) = [ (k/R) t - k L / R2 + k L/R2 exp (-t/)] u(t) i(t) = (k/R) {t - L / R + L/R exp (-t/) } u(t) i(t) = k/R { t -  [1- exp (-t/)] } u(t) D’où le tracé

i(t) = k/R { t -  [1- exp (-t/)] } u(t) R i(t) = k { t -  [1- exp (-t/)] } u(t) R i(t) R i(t) droites parallèles : pente k e(t) t  Tension R i(t) : k { t -  [ 1- exp (-t/) ] } pour t > 0 À t tendant vers 0 : i(t) = 0 k {t - } u(t) À t tendant vers l’infini : i(t) se comporte comme : R Pour t grand, la tension Ri(t) se comporte comme : k {t - } u(t)

k E(p) = p2 Tension s(t) = R i(t) : e(t) = uL(t) + uR(t) uL(t) = L di/dt uR = R i(t) k E(p) = Récapitulation : Equations temporelles, Transformation en Laplace Résolution sous Laplace Retour en temporel p2 E(p) = (R + L p) I(p) Tension s(t) = R i(t) : k { t -  [ 1- exp (-t/) ] } pour t > 0

Circuit RC attaqué par une impulsion de courant Io de durée T Application 3 : Circuit RC attaqué par une impulsion de courant Io de durée T Forme du courant i(t) montage

Utiliser le formalisme de Laplace pour exprimer I(p), Forme du courant i(t) montage Utiliser le formalisme de Laplace pour exprimer I(p), transformée de Laplace de i(t). Io Io i(t) = - exp (-Tp) I(p) = p p Transformées de Laplace terme à terme Io u(t) Io p - Io exp (-Tp) Io u(t) retardé de T p soit Io u(t-T) Théorème du retard

Remarque intéressante : Pour cet exemple simple, I(p) peut aussi se déterminer par la définition :

Il nous faut maintenant uc(t) aux bornes d’un condensateur Io Io Nous avons calculé I(p) = - exp (-Tp) p p Il nous faut maintenant uc(t) Par loi d’Ohm aux bornes d’un condensateur 1 Uc(p) = I(p) Cp Sans C.I. Io Io Uc(p) = - exp (-Tp) Cp2 Cp2

On finit en recherchant l’original de UC(p) Io Io exp (-Tp) Uc(p) = - Cp2 Cp2 D’où terme à terme : Io Io uc(t) = t u(t) - (t-T) u(t-T) C C Io Io Ce qui signifie : t (t-T) C C pour t > 0, nul ailleurs Pour t > T, nul ailleurs

Io Io uc(t) = t u(t) - (t-T) u(t-T) C C Construction de uc(t) : Io t C pour t > 0, nul ailleurs Io (t-T) C pour t > T, nul ailleurs Io T C Courant nul, le condensateur reste chargé Charge à courant constant

i(t) = Io u(t) - Io u(t-T) Récapitulation : Equations temporelles, Transformation en Laplace Résolution sous Laplace Retour en temporel i(t) = Io u(t) - Io u(t-T) Io Io - exp (-Tp) I(p) = p p Io Io Uc(p) = - exp (-Tp) Cp2 Cp2 Io Io uc(t) = t u(t) - (t-T) u(t-T) C C

Décomposition en éléments simples N(p) D(p) degré de D(p) > degré de N(p) Cas 1 : toutes les racines de D(p) sont réelles et différentes (« pôles simples ») D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p+a) (p+b) (p+c)… a, b, c, réels N(p) D(p) A B C Alors : = + + p+a p+b p+c [il y a autant de termes que le degré de D(p)] Cas 2 : des racines de D(p) sont réelles et égales (« pôles multiples, de mutiplicité n ») D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p+a)n (p+b) (p+c)… a, b, c, réels A1 A2 A3 An Alors : N(p) D(p) B C = + + +… + + + p+a (p+a)2 (p+a)3 (p+a)n p+b p+c Cas 3 : des racines de D(p) sont complexes (pôles « complexes ») D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p2+ap+b) (p+c)… Tel que le discriminant Δ est < 0 Alors : N(p) D(p) Ap+B C = + p+c p2+ap+b Cas 4 : des racines de D(p) sont complexes et multiples D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p2+ap+b)n (p+c)… A1p+B1 A2p+B2 Anp+Bn C N(p) D(p) Alors : + +..+ + = p+c p2+ap+b (p2+ap+b)2 (p2+ap+b)n

Application 4 : Circuit d’ordre 2 1) Interrupteurs dans cette position, donner courants, tensions d’équilibre (régime permanent) iL1 = iL2 = 0 (branches ouvertes) uC = 1 V Cela permet de placer des conditions initiales pour la question suivante ;+) 2) On commute les 2 interrupteurs simultanément. Calculer i(t) circulant dans L1.

uR1 uL1 uL2 ve uR2 uC Fléchons courants, tensions : i(t) i2 i-i2 Etablissons les lois des mailles, lois des noeuds ve = uR1 + uL1 + uc uL1 = L1 di/dt uR1 = R1 i uc = 1/C ∫ (i-i2) dt uC = uR2 + uL2 uR2 = R2 i2 uL2 = L2 di2/dt ve = R1 i + L1 di/dt + uC (1) duC/dt = (1/C) (i-i2) (2) (3) uC = R2 i2 + L2 di2/dt

L {f’(t)} = p F(p) – f(0+) Transformées de Laplace Rappel : (1) ve = R1 i + L1 di/dt + uC Ve(p) = R1 I(p) + L1 [ p I(p) – i(0) ] + UC(p) (2) duC/dt = (1/C) (i-i2) p UC(p) – uC(0) = (1/C) [I(p) – I2(p)] (3) uC = R2 i2 + L2 di2/dt UC(p) = R2 I2(p) + L2 [ p I2(p) – i2(0) ] Avec, d’après la question précédente : i(0) = 0 A , i2(0) = 0 A , uC(0) = 1 V Éliminons I2 : UC(p) UC(p) Par (3) : I2 = Mis dans (2) : p UC(p) – 1 = (1/C) [ I(p) - ] R2+L2p R2+L2p On trouve alors une expression de UC(p) : ( I(p)/C + 1) ( R2+L2p ) C UC(p) = p2 L2 C + R2 C p + 1 Que l’on place dans (1), pour aboutir à : Transformée de Laplace de i(L1) Ve(p) [ p2 L2 C + R2 C p + 1 ] - ( R2+L2p ) C Conséquence de la C.I. I(p) = ( R1 + L1p ) [p2 L2 C + R2 C p + 1] + R2 + L2p

Application numérique Ve(p) = 1/p (l’interrupteur crée un échelon de 1 V) (1/p) [ p2/2 + 2p + 1 ] – (4 + p) (1/2) I(p) = (4+p) [ p2/2 + 2p + 1 ] + 4 + p 1 I(p) = Soit, après simplification : p [ p3/2 + 4p2 + 10 p + 8 ] On remarque que : Soit, après identification : a = 2, b = 2, c = 4 1 [ p3/2 + 4p2 + 10 p + 8 ] = (p+a) (p+b) (p+c) 2 2 d’où I(p) = A B C D p (p+2)2 (p+4) + + + I(p) = p (p+2) (p+2)2 (p+4) qui se décompose en éléments simples : Avec : A = 1/8, B = 0 , C = -1/2 , D = -1/8 1 1 1 - - I(p) = D’où, l’original, terme à terme : 8 p 2(p+2)2 8(p+4) i(t) pour t > 0 1 – 1 t exp (-2t) – 1 exp (-4t) i(t) = 8 2 8

Exploitons Matlab pour tracer cette équation 1 – 1 t exp (-2t) – 1 exp (-4t) i(t) = pour t > 0 8 2 8 Exploitons Matlab pour tracer cette équation Script : t = (0 : 1e-3 : 5) ; i = 0.125 – 0.5*t.*exp(-2*t)- 0.125*exp(-4*t); figure(1) ; plot(t,i) ; title('courant') xlabel('temps') Rem : pour t → , i(t) → 0,125 A Au voisinage de 0… exp(-2t) ≈ 1 - 2t + 2t2 +… d’où t exp(-2t) ≈ t - 2t2 + 2t3 +… exp(-4t) ≈ 1 - 4t + 8t2 - (64/6) t3 +... i(t) ≈ t3/3

Exploitons Pspice pour vérifier le comportement de ce circuit evolution du courant dans circuit R1L1CL2R2 * fichier ordre2.cir Ve 1 0 DC=1 R1 1 2 4 L1 2 3 1 IC=0 C 3 0 0.5 IC=1 L2 3 4 1 IC=0 R2 4 0 4 .tran 1m 5 0 1m UIC .probe .end i(t) Valeur finale : 0,125 A En DC, la source 1 V est connectée à 4 + 4 = 8 , d’où i = 1/8 = 0,125 A Valeur du courant à t = 0 : 0 A On retrouve la condition initiale

lim i(t) = lim p I(p) t→0 p→ ( ) lim i(t) = lim p I(p) t→ p→0 ( ) Théorème de la valeur initiale lim i(t) = lim p I(p) t→0 p→ 1 1 1 Soit lim p ( ) - - = 0 p→ 8 p 2(p+2)2 8(p+4) Théorème de la valeur finale Si elle existe, lim i(t) = lim p I(p) t→ p→0 1 1 1 Soit lim p ( ) - - = 1/8 = 0,125 p→0 8 p 2(p+2)2 8(p+4) On a donc i(0) et i() avant d’avoir l’expression de i(t)

Pour info : exploitons Pspice pour visualiser les autres grandeurs (1) (2) (3) (4) uC(0) = 1 V V(2) = V(3) = V(4) = 0,5 V Condensateur chargé iC < 0 signifie courant sortant (décharge)

« CIRCUIT » Transformées de Laplace Analyse harmonique Quadripôles

ANALYSE HARMONIQUE Principe, notion de transmittance Application à l’électronique 54

ANALYSE HARMONIQUE Principe, notion de transmittance Application à l’électronique 55

notion de transmittance S(p) = R I(p) E(p) = (R + L p) I(p) La « transmittance en p » est la fonction de transfert : grandeur de sortie en p grandeur d’entrée en p Utilisée dans le formalisme des schémas blocs. Rem : Transmittance ou fonction de transfert. 56

de la transmittance en « p » à la réponse harmonique Rappel : Pour les systèmes linéaires, l'analyse fréquentielle permet de connaître la réponse du système à une excitation sinusoïdale, à différentes fréquences. L’étude de la réponse harmonique d'un système consiste simplement à étudier le nombre complexe T(jω) qu'on appelle transmittance harmonique (ou transmittance complexe). Le nombre complexe T(jω) s'obtient simplement en remplaçant p par jω dans l'expression de la fonction de transfert T(p). 57

Les lieux de Bode sont constitués : Il existe plusieurs représentations d'un nombre complexe (module et phase) en fonction de la fréquence (ou pulsation) Bode Nyquist Black Bode Les lieux de Bode sont constitués : d'une courbe de gain (en dB) rappel : Gain = 20 log I A I et d'une courbe de phase φ (en °, ou en rad). On utilise une échelle semi logarithmique : Pulsation (ou fréquence) sur une échelle log G sur une échelle linéaire en dB (c’est-à-dire A sur une échelle log…). 58

est gradué en valeurs de ω (ou f). Il existe plusieurs représentations d'un nombre complexe (module et phase) en fonction de la fréquence (ou pulsation) : Bode Nyquist Black Nyquist C'est la représentation du nombre complexe T(jω) dans le plan complexe, en coordonnées polaires, en faisant varier le paramètre ω de 0 à l'infini. Le lieu de Nyquist est gradué en valeurs de ω (ou f). 59

en abscisse, la phase (en degré, sur une échelle linéaire) Il existe plusieurs représentations d'un nombre complexe (module et phase) en fonction de la fréquence (ou pulsation) : Bode Nyquist Black Black ω varie de 0 à +∞ en abscisse, la phase (en degré, sur une échelle linéaire) et en ordonnée, le gain G (=20 log |A|) Le lieu de Black est gradué en valeurs de ω (ou f). 60

Fonction jω Bode Nyquist Réponses harmoniques du dérivateur Module : ω Phase : artg  = π/2 20 log module 20 log ω http://www.iutenligne.net/ressources/automatique/verbeken/CoursAU_MV/ 61

Nyquist Bode Réponses harmoniques de l’intégrateur Fonction 1/jω Module : 1/ω Phase : artg - = -π/2 20 log module 20 log 1/ω = - 20 log ω http://www.iutenligne.net/ressources/automatique/verbeken/CoursAU_MV/ 62

Intérêt des Tracés de Bode : Les tracés de 20 log {module} et de la phase se font par étapes élémentaires Cas d’une fonction produit T(jω) = N1(jω) N2(jω) Par log (A B) = log A + log B, on a : 20 log N1(jω) N2(jω) = 20 log N1(jω) + 20 log N2(jω) = 2 tracés permettent d’avoir le produit Cas d’une fonction rapport T(jω) = N(jω) / D(jω) Par log (A / B) = log A - log B, on a : N(jω) D(jω) 20 log = 20 log N(jω) - 20 log D(jω) = 2 tracés permettent d’avoir le rapport Cas général ω (1 + j ) (1 + j ) ω Par log (A B / C D) ω1 ω2 T(jω) = = log A + log B – log C – log D ω (1 + j ) (1 + j ) ω etc ω3 ω4 Par arg (A / B) = arg A - arg B, on a : De même, pour la phase : N(jω) D(jω) N(jω) D(jω) = 2 tracés φ { } ou arg{ } = arg { } N(jω) - arg { } D(jω) etc 63

Exemple de base : transmittance vue précédemment Transmittance que l’on pose à T(p) rapport des tensions D’où T(jω) Remarque : c’est également la transmittance d’un circuit RC 1/Cp 1 remplaçons p par jω : = = 1 + RCp R + 1/Cp 64

N(jω) D(jω) log = log N(jω) - log D(jω) N(jω) Dj(ω) 20 log = 20 log Rappel : Le tracé de Bode se fait par étapes log = log N(jω) - log D(jω) N(jω) Dj(ω) 20 log = 20 log N(jω) - 20 log D(jω) tracé de 20 log N(jω) permettent d’avoir le tracé de N(jω) Dj(ω) 20 log tracé de 20 log D(jω) N(jω) D(jω) N(jω) D(jω) φ { } arg{ } = arg { } N(jω) - arg { } D(jω) ou tracé de arg{ } N(jω) N(jω) D(jω) permettent d’avoir le tracé de φ{ } tracé de arg{ } D(jω) 65

20 log = 20 log 1 - 20 log D(jω) = - 20 log D(jω) = - 20 log ω 0 ω = 1/ ω  infini D(jω) D(jω) = √2 ≈ 1 D(jω) ≈ ω  infini 20 log 20 log ≈ 0 dB ≈ - infini 20 log = - 3 dB φ{ } = arg { } 1 - arg{ } D(jω) = - arg{ } ω  0 ω = 1/ ω  infini arg D(jω) ≈ artg 0 = 0 arg D(jω) ≈ artg { } ≈ ω  /2 arg T(jω) ≈ arg T(jω) ≈ arg T(jω) ≈ - artg 0 ≈ - artg 1 = - /4 = - 45° - artg infini ≈ - /2 66

20 log = - 20 log ω 0 ω = 1/ ω  infini ≈ 0 dB - infini = - 3 dB φ{ } - arg{ } ω  0 ω = 1/ ω  infini = - 45° - /2 67

Bode f → infini : Asymptote : -20 dB/décade f → 0 : Asymptote horizontale 3 dB f, ω → 0 I I → 1 G → 0  → 0 Intégrateur en hautes fréquences f, ω →  I I → 0 G → - → -/2 -45° 68

Nyquist Comportement quand f  0 f  infini 1 f, ω →  f, ω → 0 → -/2 I I → 0 → 0 I I → 1 Intégrateur en hautes fréquences 10 Hz (exemple) 20 Hz (exemple) 50 Hz (exemple) Incomplet… Repère orthonormé : lieu en demi cercle 69

Pourquoi est-ce un cercle ? (1) x = Dans le plan complexe, l’affixe de T(jω) est : Combinons (1) et (2) y = - ω  x y = - (2) Soit y2 = x2 (ω  )2 (12) x + x(ω  )2 = 1 x(ω  )2 = 1- x (ω  )2 = 1/x - 1 (1) : y2 = x2 (1/x -1 ) = x - x2 = - [x2 - x + ¼ - ¼] Soit, (12): = - [(x-1/2)2 - ¼] y2 + (x-1/2)2 = 1/4 1/2 1 D’où : Équation d’un cercle (y-y0)2 + (x-x0)2 = R2 Rayon 1/2 Centre y = 0 et x = 1/2 1 70

f vs(jf) jf/fN = fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz ve(jf) Intérêt des Tracés de Bode : Les tracés de 20 log {module} et de la phase se font par étapes élémentaires Autre exemple vs(jf) jf/fN = fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz ve(jf) (1+ jf/f1) (1+jf/f2) 100 1k 10k 100k 1M f 0 dB Tracés asymptotiques -20 dB/dec -20 dB/dec vs(jf) 20 log +20 dB/dec ve(jf) + /2 - /2 71

COMMENT FAIRE SI ON N’A PAS DE PAPIER LOGARITHMIQUE ? À propos de l’échelle log… 3 Arrondir à 0,3 représente une erreur de … 0,34 % environ Or 0,3 = log 2  0,3 10 En toute rigueur log 2 = 0,30102999… ce qui est acceptable pour un tracé…. Prenons un axe, et marquons 10 intervalles régulièrement espacés + 1 octave + 1 octave + 1 octave Plaçons 1 Plaçons 10 1 2 4 8 10 1,25 2,5 5 - 1 octave - 1 octave - 1 octave + 1 décade Multiplier par 10  ajouter une décade 2 sur une échelle log est au 3/10 Multiplier par 2  ajouter une octave Diviser par 2  retirer une octave 72

Ces valeurs sont donc placées sur une échelle log On ajoute 2 intervalles Continuons à graduer une échelle log : + 1 octave 1 2 4 8 10 1,25 2,5 5 16 1,6 3,2 6,4 - 1 décade Ces valeurs sont donc placées sur une échelle log + 1 octave 12,8 ?? ?? Remarque : Pourquoi n’y a-t-il pas un rapport 10 ? À chaque octave, on a fait une erreur de 0,34 % On a fait : 2; 4; 8; 16 : 4 fois l’erreur, Retour à 1,6 : pas d’erreur puis 3,2; 6,4; 12,8 : 3 fois l’erreur. Soit au total un cumul de 7 erreurs dans le même sens (1,0034)7 = 1,024 1,25 x 10 x 1,024 = 12,8 73

Milieu du segment [a b] sur une échelle log Autre « truc » à savoir : a b a b Milieu du segment [a b] sur une échelle log Milieu géométrique 1 10 ≈3,16 etc 74

1k 100 10k 10 20 40 80 200 400 800 2k 4k 8k log 10 100 20 40 80 Expérimentalement, pour tracer une courbe, quelques points judicieusement placés apportent toute l’information utile. Judicieusement placés : par exemple : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 10 ou : 1 ; 2,5 ; 5 ; 10 ou : un mix des 2 (1 ; 2 ; 5 ; 10 ) etc 75

Dernier « truc » à savoir, sur l’artg : - 1 décade + 1 décade Asymptote oblique Pente 45 ° par décade log ω0 ω0 10 ω0 10 Cela forme donc un tracé rapide et représentatif, de la phase d’un système du premier ordre L’asymptote oblique est proche de la fonction artg : L’écart entre ces 2 courbes est inférieur à 6° 76

T(j) = s(j)/e(j) ≠ T1(j) T2(j) Rappel : ces tracés (Bode, Nyquist, Black) présentés ont pour fonction de transfert : Obtenues, par exemple, avec les montages suivants : i = 0 i = 0 T2(j) T1(j) Sont avec des montages sans courant débité Conséquence : T(j) = s(j)/e(j) ≠ T1(j) T2(j) 77

Réponse indicielle rapide = bande passante élevée Lien entre réponse harmonique et comportement temporel (réponse à l’échelon) Cas du passe bas Réponse indicielle rapide = bande passante élevée 1/ élevé  faible 1/2 BP-3dB  t →  f → 0 Comportement statique 78

ANALYSE HARMONIQUE Système du deuxième ordre 79

p2 p ω ω2 1 + 2 z j + 2 z + 1 - ω02 ω0 ω0 ω02 1 1 ω ω2 p2 p 1 + 2 z j Expressions générales : Laplace p→jω Etude harmonique p2 p ω ω2 1 + 2 z j + 2 z + 1 - ω02 ω0 ω0 ω02 Passe haut 1 1 ω ω2 p2 p 1 + 2 z j - + 2 z + 1 ω0 ω02 ω02 ω0 Passe bas ω0 : Pulsation propre z : Coefficient d’amortissement 80

Module Phase  = artg{ } ω ω2 1 + 2 z j - ω0 ω02 ω 2 z ω2 ω0 ω 1 - + Variable réduite Ces fonctions sont paramétrées en z ω0 3 cas : z > 1 ; z = 1 ; z < 1 81

1 2 1 21 2 22 p2 p (1 + 1p) (1 + 2p) + 2 z + 1 ω02 ω0 ω ω2 Si z > 1, le trinôme : + 2 z + 1 peut s’écrire : ω02 ω0 ω ω2 1 + 2 z j - peut s’écrire : (1 + jω/ω1) (1 + jω/ω2) Tel que : ω0 ω02 1 ω0 = 1 1 f0 f02 = f1 f2 = f1 f2 ω02 = 1 2 1 2 1 1 = ω1 = = f1 = 1 21 1 = ω2 = 1 2 = f2 = 22 f1 f2 f1 f0 f2 f ω Échelle log ω1 ω0 ω2 z > 1 82

Bode Nyquist z > 1 z = 1 z < 1 ω1 ω2 Passe bas - ω0= 1 z = 50 Passe bas ω0= 1 z = 5 >> T=tf([1],[1,100,1]); >> bode (T) >> T=tf([1],[1,10,1]); >> bode (T) ω1 ω2 p→jω ω = →0 0 dB ω = → - ≈ 0,01 ≈ 100 ≈ 0,1 ≈ 10 1 1 Il faut monter haut en fréquence pour vérifier ordre 2 z > 1 : équivalent à : (1 + jω/ω1) (1 + jω/ω2) 83

Bode Nyquist z > 1 z = 1 z < 1 zoom - ω0= 1 z = 50 ω0= 1 z = 5 ω < 0 ω = →- ω = →+ ω = →0  → -/2 ??? ω > 0 Même lieu… Mais coordonnées des fréquences différentes Il faut monter haut en fréquence pour vérifier ordre 2 zoom - ω = → >> T=tf([1],[1,100,1]); >> nyquist (T) >> T=tf([1],[1,10,1]); >> nyquist (T) 84

Bode Nyquist z > 1 z = 1 z < 1 1 ω ω2 1 + 2 z j - ω0 ω02 - 6 dB Cas particulier Pôle double 1 ω ω2 1 + 2 z j - ω0 ω02 ω0= 1 z = 1 >> T=tf([1],[1,2,1]); >> bode (T) 1 z = 1 : équivalent à 2 (1 + jω/ω0) 85

Bode Nyquist z > 1 z = 1 z < 1 1 ω ω2 1 + 2 z j - ω0 ω02 ω = → ω = →0 ω > 0 >> T=tf([1],[1,2,1]); >> nyquist (T) Ce passe-bas est clairement un ordre 2 : 2 quadrants traversés 86

z < 1 p2 p + 2 z + 1 ω02 ω0 ω ω2 1 + 2 z j - ω0 ω02 ω2 ω 1 - + 2 z Le module + 2 z ω02 ω0 A une dérivée qui s’annule pour une pulsation particulière : ωR = ω0 2 1 - 2 z Le module passe par un maximum à ωR appelée pulsation de résonance 1 la résonance n’existe que si z < 2 Si z << 1, ωR ≈ ω0 87

Bode Nyquist z > 1 z = 1 z < 1 1 ω ω2 1 + 2 z j - ω0 ω02 ω0= 1 z = 0,1 >> T=tf([1],[1,0.2,1]); >> bode (T) à ω0 ,  = - 90° 1 I I = I I = 2 z 2 1 - z 1 2 z ωR = ω0 2 1 - 2 z = 1 – 0,02 = 0,98 ≈ 1 = ω0 88

Bode Nyquist z > 1 z = 1 z < 1 1 ω ω2 1 + 2 z j - ω0 ω02 -45° ω0= 1 z = 0,1 >> T=tf([1],[1,0.2,1]); >> nyquist (T) ω = → ω = →0 ω > 0 -45° Résonance : Augmentation du module Grande variation angulaire sur une faible variation de fréquence -135° 89

Lien entre réponse harmonique et comportement temporel (réponse à l’échelon) Cas du passe bas Équivalent à 2 premiers ordres résonance confondus Très marquée Peu marquée Très séparés z 0,707 1 z Réponse oscillatoire 1 Il faut zoomer au voisinage de t = 0 pour vérifier ordre 2 : Tangente horizontale et point d’inflexion Faiblement amortie >> T=tf([1],[1,0.2,1]); >> step (T) >> T=tf([1],[1,2,1]); >> step (T) >>T=tf([1],[1,10,1]); >> step (T) z = 1 z = 5 z = 0,1 90

ANALYSE HARMONIQUE Systèmes d’ordre supérieur à 2 Le tracé de Bode se fait par étapes successives, en partant de tracés élémentaires connus ω ω ω ω ω2 j (1 + j ) (1 + j ) (1 + j ) ω 1 + 2 z j - ω1 ω1 ω1 ω2 ω0 ω02 1 1 1 1 ω j ω ω ω ω2 (1 + j ) (1 + j ) (1 + j ) ω 1 + 2 z j - ω1 ω1 ω1 ω2 ω0 ω02 91

>> TA=tf([1],[1,0.2,1]); >> bode (TA) Ex. 1 1 1 ω ω2 ω >> TA=tf([1],[1,0.2,1]); >> bode (TA) 1 + 2 z j - (1 + j ) ω1 ω0 ω02 Passe bas Ordre 2, avec résonance ω0= 1 z = 0,1 ω1 = 100 - 40 dB/déc >> T=TA*T3; >> bode (T) - 40 dB/déc 1 rad/s >> T3=tf([0, 1],[1/100, 1]); >> bode (T3) - 60 dB/déc Passe bas, Ordre 1 Sur la courbe de phase, les 2 cassures (séparées par 2 décades) ne s’influencent pratiquement pas - 20 dB/déc Asymptote oblique 100 rad/s 92

>> T3=tf([0, 1],[1/100, 1]); >> bode (T3) Ex. 2 ω ω2 1 1 + 2 z j - ω0 ω02 >> T=tf([1,0.2,1],[0,1]); >> bode (T) ω (1 + j ) ω1 Passe haut Ordre 2, avec résonance ω0= 1 z = 0,1 ω1 = 100 + 40 dB/déc >> Tt =T*T3; >> bode (Tt) + 20 dB/déc 1 rad/s + 40 dB/déc >> T3=tf([0, 1],[1/100, 1]); >> bode (T3) Passe bas, Ordre 1 - 20 dB/déc Dans ce cas (z=0,1), les 2 cassures (séparées par 2 décades) ne s’influencent pratiquement pas 100 rad/s 1 100 93

>> T1=tf([0, 1],[1/100, 1]); >> bode (T1) Ex. 3 ω ω2 1 1 + 2 z j - ω0 ω02 >> T2=tf([1,10,1],[0,1]); >> bode (T2) ω (1 + j ) ω1 ≈ 0,1 ≈ 10 ω0= 1 z = 5 ω1 = 100 + 40 dB/déc >> T =T2*T1; >> bode (T) 120 dB 80 dB 0,1 10 40 dB >> T1=tf([0, 1],[1/100, 1]); >> bode (T1) 0 dB Passe bas, Ordre 1 3 cassures : - 20 dB/déc 100 0,1 et 10 La courbe réelle de phase « n’a pas le temps » d’atteindre les asymptotes 94

ANALYSE HARMONIQUE Principe, notion de transmittance Application à l’électronique

ANALYSE HARMONIQUE Principe , notion de transmittance Application à l’électronique

montages passifs, (étudiés en TD n° 5) Application n°1 : montages passifs, (étudiés en TD n° 5) montages passifs, (étudiés en TD n° 6) 97

Application n°2 : Ordre 2, passif Réponse harmonique de : ve(jω) vs(jω) 98

Par pont diviseur de tension : R2 + (1/jCω) + ZTH vs(jω) H(jω) = ve(jω) ve(jω) vs(jω) j R1 Lω ZTH = R1 + j Lω R1 ETH = ve(jω) vs(jω) R1 + j Lω R2 vs(jω) = ETH Par pont diviseur de tension : R2 + (1/jCω) + ZTH R1 R2 Soit : vs(jω) = ve(jω) R1 + j Lω R2 + (1/jCω) + ZTH vs(jω) jω/ωn = ve(jω) ω ω2 Ordre 2, passif 1 + 2 z j - ω0 ω02 99

1 + jω [R2 C + (L/R1)] – LCω2 (1+R2/R1) vs(jω) jω R2 C Soit : = ve(jω) 1 + jω [R2 C + (L/R1)] – LCω2 (1+R2/R1) jω/ωn 1 vs(jω) Par identification : ωn = = R2 C ve(jω) ω ω2 1 + 2 z j - ω0 ω02 1 ω0 = LC (1+R2/R1) A.N. : R1 = 1,8 kΩ ; R2 = 1 kΩ ; L = 1 mH ; C = 160 nF. ωn = 6250 rad/s fn  1 kHz ω0 = 63,38 krad/s f0  10 kHz 2 z D’où z = 5,1 = R2 C + (L/R1) ω0 Rem : z > 1 (2 racines réelles) signifie que le polynôme d’ordre 2 s’écrit : (1+ j/1) (1+j/2) ou (1+ jf/f1) (1+jf/f2) avec : f1 = f2 = A.N. : f1  1 kHz ; f2  100 kHz 100

fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz vs(jω) ve(jω) jf/fN = (1+ jf/f1) (1+jf/f2) 101

Étude déjà vue… vs(jω) jf/fN = fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz ve(jω) (1+ jf/f1) (1+jf/f2) 100 1k 10k 100k 1M 0 dB Tracés asymptotiques -20 dB/dec -20 dB/dec vs(jω) 20 log ve(jω) +20 dB/dec + /2 - /2 102

vs(jω) jf/fN = fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz ve(jω) (1+ jf/f1) (1+jf/f2) 103

vs(jω) jf/fN = fN  1 kHz ; f1  1 kHz ; f2  100 kHz ve(jω) (1+ jf/f1) (1+jf/f2) >> T1=tf([1/(2*pi*1e3), 0],[0, 1]); >> bode (T1,{2*pi*1e2,2*pi*1e6}) >> T2=tf([0, 1],[1/(2*pi*1e3), 1]); >> bode (T2,{2*pi*1e2,2*pi*1e6}) >> T3=tf([0, 1],[1/(2*pi*100e3), 1]); >> bode (T3,{2*pi*1e2,2*pi*1e6}) >> T=T1*T2*T3; >> bode (T,{2*pi*1e2,2*pi*1e6}) 100 Hz 100 MHz 104

Interprétation ve(jω) vs(jω) Comportement en BF Comportement en HF f = 10 kHz Lω << R1, R2, 1/Cω 1/Cω << R1, R2, Lω I I ≈1 G ≈ 0 dB  = 0 f = 1 kHz f = 100 kHz I I = 0,707 G = - 3 dB  = /4 I I = 0,707 G = - 3 dB  = - /4 Intégrateur à f →∞ Dérivateur à f→0 R2 R2Cp REQ = R1 // R2 = 100 Hz 1/Cp + R2 1 + R2Cp 100 MHz REQ 1 = REQ + Lp 1 + (L/REQ)p 1 1 ≈ 100 kHz ≈ 1kHz 2  REQ/L 2  R2 C 1 1 ≈ 6,28 krad/s ≈ 628 krad/s R2 C REQ/L 105

Nyquist Rem : « presque » 2 demi-cercles… Comportement en BF >> nyquist (T); Comportement en BF I I = 0,707  = /4 f = 1 kHz f, ω → 0 I I → 0  → /2 En milieu de bande f, ω → 0 f = 10 kHz f, ω →  I I ≈ 1  = 0 f, ω →  I I → 0  → -/2 f = 100 kHz I I = 0,707  = -/4 Comportement en HF Rem : « presque » 2 demi-cercles… 106

montage proposé en examen de TP « circuit » 2007 Application n°3 : montage proposé en examen de TP « circuit » 2007 Ordre 2, passif vs R1 C1 R2 C2 ve R3 Il s’agissait d’établir la réponse harmonique théorique et expérimentale 107

Première étape : étude préalable du circuit R1C1R2C2 Appliquons le théorème de Thévenin De ce schéma réduit, on déduit, par pont diviseur, Vs après remplacement des expressions de ETH et ZTH, 108

Deuxième étape : schéma de départ, et Thévenin aux bornes de C1 vs R1 C1 R2 C2 ve R3 On aboutit à : 109

Au final, D’après les valeurs numériques des composants : En remplaçant p par jω, on dispose de T(jω), puis tracé de la réponse harmonique d’un filtre passe-bas, d’ordre 2 : - pour f tendant vers 0, une atténuation (conséquence du pont diviseur 0,45, visible sur le schéma quand on retire les condensateurs) - une fréquence propre 1,9 kHz, - au-delà, une asymptote de – 40 dB / décade Corrigé complet sous une rubrique du site http://membres.lycos.fr/cepls/ http://membres.lycos.fr/cepls/circuit/circuit.pdf 110

Nyquist T=tf([0, 0.45] , [1/(11917)^2, 2*1.9/11917, 1]) Transfer function: 0.45 -------------------------------- 7.042e-009 s^2 + 0.0003189 s + 1 >> nyquist (T) >> bode (T) ω → 0 ω → ∞ ω > 0 111

Application n°4 Calculer VS1 VS1(p) = Ve(p) VS2(p) = Ve(p) VS2 VS(p) = 1 + R C p R C p VS2(p) = Ve(p) VS2 1 + R C p VS(p) = VS1(p) – VS2(p) Vs(p) 1 - R C p = Ve(p) 1 + R C p 1 - R C p VS(p) = Ve(p) 1 + R C p vs(j) 1 – j  R C Réponse harmonique = ve(j) 1 + j  R C 112

90° -90° 1 – j  R C Nouveau ! Une fonction complexe comme 1 – j ω/ωn présente : Même module que 1 + j ω/ωn Phase opposée : artg (–ω/ωn) = - artg (ω/ωn) 20 log 1 + j ω/ωn 20 log 1 - j ω/ωn Même module, même gain 90° Phase inversée -90° Ce n’est pas un circuit à phase minimale 113

Ce circuit est un déphaseur 20 log 1 - j ω/ωn 0 dB numérateur -90° vs(j) 1 – j  R C = 1 ve(j) 1 + j  R C 20 log 1 + j ω/ωn 1 0 dB dénominateur -90° 0 dB Ce circuit est un déphaseur -180° 114

montage à base d’une source liée Application n°5: montage à base d’une source liée Ordre 1, actif Calculer vs(jw) / ve(jw) Tracer sa réponse harmonique Bode, Nyquist, Rem : on peut utiliser le formalisme p, puis remplacer p par jω ou travailler directement en jω 115

Remarque : par simplicité d’écriture, on omet (jω) pour les grandeurs variables : ve(jω) s’écrira ve … Posons ic, le courant circulant dans le condensateur (1) (12) (2) soit : (3) (21) : soit : 116

Expressions (12) de v’e et (21) ic que l’on reporte dans (3) Remarque : par simplicité d’écriture, on omet (jω) pour les grandeurs variables : ve(jω) s’écrira ve … Expressions (12) de v’e et (21) ic que l’on reporte dans (3) (12) (21) (3) D’où : On aboutit à : 117

Application numérique. Av = - 2 = 2 krad/s soit fn = 318 Hz = 1 k . 1 u 1 = = 769rad/s 1 u (100 + 1000 + 200) soit fd = 122,5 Hz 118

= 2 krad/s Rappel : 1 – j ω/ωn présente : Même module que 1 + j ω/ωn Phase : = - artg (ω/ωn) T1=tf([-1/2000, 1],[1]); 1 - j ω/ωn 119

fn = 318 Hz fd = 122,5 Hz Tracé de Bode Av = - 2 f→0 ≈ Av = - 2 f→ ∞ ≈ - Avfd/fn ≈ 0,77 122,5 Hz 318 Hz 6 dB -6 dB / oct f 0 dB -2,28 dB 180 ° 0 ° 10 Hz 100 Hz 1 kHz 10 kHz 100 kHz 1 Hz 120

fn = 318 Hz fd = 122,5 Hz Lieu de Nyquist Av = - 2 100 Hz 1 kHz 10 Hz - 1 ≈ 0,77 121

montage à base d’ampli Op (parfait) (vu en cours « SEA1 ») Application n°6 : montage à base d’ampli Op (parfait) (vu en cours « SEA1 ») Ordre 2, actif Calculer us(jw) / ue(jw) Tracer sa réponse harmonique Bode, Nyquist. 122

RETARD PUR 123

Réponse harmonique d’un retard pur exp (–Tp) Module = 1 p → j exp (-jT) Phase = R = - T retard pur + système linéaire Système connu retard 20 log {Module} = 0 dB 20 log {Module} : connu R = - T S : connue Réponse harmonique de l’association retard + système : 20 log {Module} : inchangé  = -  T + S 124

Exemple de base : retard + passe bas 1   (log) Tracé de -/4 S : - artg  Échelles non comparables !!! Tracé de 1   T R : - T (lin) -1 rad 1 D’où le tracé de  = -  T + S  T 0 repoussé à l’infini (log) Courbe en exponentielle ∞ 125

Construction graphique : La phase du premier ordre est à – 90° alors que la phase du retard n’a pas encore évolué 1 Cas 1 : << 1  T 1 1   T (log) -/4 ∞  = -  T + S ∞ 126

Exemple numérique <<  T = 0,01  =1 1/ Exemple numérique 1 << 1  T = 0,01  =1 T Si T << , la phase du premier ordre est à – 90° alors que la phase du retard n’a pas encore évolué Premier ordre seul ≈ -90° à 10 rad/s, T = 0,1 rad Premier ordre + retard Retard pur seul ≈ -6° exponentielle exponentielle 127

Construction graphique : Cas 2 : 1 << 1  T La phase du retard est très importante alors que la phase du premier ordre n’a pas encore évolué 1 (log) 1   T ∞ La rotation de phase de 90° est négligeable 128

Exemple numérique : << T = 100   =1 Premier ordre seul Si T >> , la phase du retard est très importante alors que la phase du premier ordre n’a pas encore évolué ≈ -qq° À 0,1 rad/s Premier ordre + retard Retard pur seul = - 10 rad = - 570° 129

Transmission par des lignes, réseaux, en longues distances Les retards purs sont très présents dans des domaines de la physique : thermique acoustique Transmission par des lignes, réseaux, en longues distances Ondes radio Dans les asservissements, les retards purs sont néfastes. 130

« CIRCUIT » Transformées de Laplace Analyse harmonique Quadripôles

QUADRIPOLES Les différents quadripôles Applications

QUADRIPOLES Les différents quadripôles Applications

On appelle entrée l'accès 11' sortie l'accès 22' Tripôle Matrice représentative de quadripôle : Matrice 2 x 2 Un quadripôle contenant au moins une source (de courant ou de tension) est un quadripôle actif. Un quadripôle passif ne contient aucune source. Tout quadripôle est complètement caractérisé par les 4 éléments d’une de ses matrices représentatives. Il existe plusieurs matrices représentatives.

Matrice d’impédance U1 = Z11I1 + Z12I2 U2 = Z21I1 + Z22I2 On « mesure » la valeur des éléments en imposant une source à un accès et laissant l’autre en circuit ouvert. Circuit équivalent I2=0 I1=0 impédance d'entrée à circuit ouvert impédance de sortie à circuit ouvert impédances de transfert à circuit ouvert

admittance d'entrée en court-circuit Matrice d’admittance I1 = Y11U1 + Y12U2 I2 = Y21U1 + Y22U2 La matrice Y est l’inverse de la matrice Z. Circuit équivalent Elle n’existe donc pas toujours (il faut que Z, si elle existe, soit inversible) admittance d'entrée en court-circuit admittance de sortie en court-circuit admittances de transfert en court-circuit.

Matrices de chaîne T Rem : le coef A représente U1/U2 à I2 nul Matrices de transmission t Rem : confusion possible avec matrice de chaîne Matrices hybrides H Rem : les éléments des matrices hybrides sont de différentes dimensions (V/A, A/V, sans dimension). Matrices autres…

Il existe des relations de passage pour déterminer une matrice à partir d’une autre. Pourquoi autant de matrices ?

Matrice de chaîne [ T ] = [ T’ ] . [ T’’ ] 1) Lors de connexion entre quadripôles, on choisit une matrice ou une autre pour calculer plus facilement la matrice résultante. série : [Z] = [Z’] + [Z’’] parallèle : [Y] = [Y’] + [Y’’] Connexion cascade Matrice de chaîne [ T ] = [ T’ ] . [ T’’ ]

2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui est « facile » (à identifier). Exemple sur un quadripôle passif (exemple 1): I1 I2 U2 U1 Il vient : impédance d'entrée à circuit ouvert : Z Z impédance de sortie à circuit ouvert :

2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui est « facile » (à identifier). Exemple sur un quadripôle passif (exemple 1): I1 I2 U2 U1 impédances de transfert à circuit ouvert. = Z = Z

2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui est « facile » (à identifier). Exemple sur un quadripôle passif (exemple 1): I1 I2 U2 U1 d’où Pour info :

2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui est « facile » (à identifier). Autre exemple sur un quadripôle passif (exemple 2): impédance d'entrée à circuit ouvert. impédance de sortie à circuit ouvert. impédances de transfert à circuit ouvert. Il vient :

utilisé en T.P. « circuit » : quadripôle passif sans pertes 2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui est « facile » (à identifier). Autre exemple sur un quadripôle passif (exemple 3): Il vient : Rem 1 : si on fait Zb  0, on retrouve la matrice Z du quadripôle précédent Rem 2 : si on fait Za  0, on détermine la matrice Z(p) du quadripôle suivant : Il vient : utilisé en T.P. « circuit » : quadripôle passif sans pertes

2) Selon le montage électronique, on choisit une matrice qui existe et qui est « facile » (à identifier). Autre exemple sur un quadripôle passif (exemple 4): impédance d'entrée à circuit ouvert. impédance de sortie à circuit ouvert. impédances de transfert à circuit ouvert. Il vient :

Pour info, matrice hybride : Quadripôles en cascade : la matrice de chaîne T résultante est le produit des matrices T de chaque quadripôles (ordre des matrices = ordre des Quadripôles, avec cette écriture des matrices) Il vient : Produit des matrices

Intéressant : quadripôles en Z du transformateur M : mutuelle inductance Transformateur seul M2 = L1 L2 Transformateur chargé association de 2 quadripôles On montre que : soit : adapté si Zs = Ze = Zu n2 ≈ avec

QUADRIPOLES Les différents quadripôles Applications

1) Fonction de transfert d’un réseau passif : par quadripole Calculer U2(p)/U1(p) On reconnaît des « quadripôles » en cascade : la matrice de chaîne T résultante est le produit des matrices T de chaque quadripôle. Z Z Produit des matrices Il vient : le coef A représente U1/U2 à I2 nul U2(p) 1 = D’où une façon de calculer la fonction de transfert U2/U1 = 1/A U1(p) 1+RCp

2) Continuons le réseau Rappel : (que l’on pouvait écrire directement) Z Z (que l’on pouvait écrire directement) = 1 V2(p) => = déjà vu ! V1(p)

une matrice dans le produit : 3) Continuons le réseau Il « suffit » d’ajouter une matrice dans le produit : Limitons-nous au calcul du seul coefficient utile : D’où, après développement : À noter quelque part ! Et ce, avec R1=R2=R3=R et C1=C2=C3=C V2(p) V1(p)

(Par exemple le coefficient β est h21). 4) Modèle du transistor bipolaire en régime dynamique linéaire petits signaux : quadripôle B C E Son fonctionnement peut être décrit par un quadripôle hybride. Chaque paramètre (h11, h12, h21, h22) représente un phénomène distinct au sein du transistor. (Par exemple le coefficient β est h21). Rem : il existe d’autres modèles pour représenter le fonctionnement du transistor bipolaire en régime dynamique linéaire petits signaux.

P passe par un maximum pour RL = Rth 5) adapter une charge à une source, de façon à maximiser le transfert de puissance moyenne Cas basique : on dispose d’une source, d’une charge, mais non adaptée P est fonction de RL P passe par un maximum pour RL = Rth

5) adapter une charge à une source, de façon à maximiser le transfert de puissance moyenne Cas basique : on dispose d’une source, d’une charge, mais non adaptée On intercale un quadripôle : (1) (2) De (2) on déduit I2 que l’on place dans (1), pour en sortir U1/I1 = Zin: Rem : relation utilisée tout à l’heure Un calcul similaire donne U2/I2 (à Eg = 0) ) Zout :

QUADRIPOLE ADAPTATEUR D’IMPEDANCES 5) adapter une charge à une source, de façon à maximiser le transfert de puissance moyenne (suite) Le quadripôle doit être réglé pour avoir : (condition de transfert maximal de puissance) max Et Q ayant le moins de pertes possible max Sans résistance ou selon un cahier des charges donnant l’atténuation sortie/entrée. QUADRIPOLE ADAPTATEUR D’IMPEDANCES

Pour un quadripôle passif, nous avons Z21 = Z12 Exemples de montage adaptateur d’impédance : cas de figure fréquent (en HF) : quadripôle passif Les quadripôles passifs (sans source interne), sont définis par 3 paramètres. donne : Pour un quadripôle passif, nous avons Z21 = Z12 Si ce quadripôle passif est symétrique, nous avons Z11 = Z22 (symétrique : permutation entrée/sortie sans conséquence)

Exemple concret (purement résistif) : 600 Ohm 50 Ohm Adapté 600 Ohm Adapté 50 Ohm 612,21 34,991 34,991 51,01 Logiciel : RFSIM99 (disponible sur le Web) Vue du point (1), l’impédance est : 577,13 + 34,991 // (16,019+50) = 600 Vue du point (2), l’impédance est : 16,019 + 34,991 // (577,13+600) = 50

Il existe aussi le quadripôle en PI : Peut se calculer par : Association de matrices de chaînes T - Passage étoile/triangle (Kennelly), si quadripôle en Té connu

KENNELLY Et réciproquement Source Wikipedia

Même exemple concret : 600 Ohm 50 Ohm Adapté 600 Ohm Adapté 50 Ohm Vue du point (1), l’impédance est : 1,873 k // 857,365 + (51,981 // 50) = 600 Vue du point (2), l’impédance est : 51,981 // (857,365 + (1,873 k // 600) = 50

Exemples de montage adaptateur d’impédance en PI : Extrait de schéma analysé en ERII4 (sujet d’examen…)

Exemples de montage adaptateur d’impédance en PI : Extrait de schéma analysé en ERII4 (sujet d’examen…) On atténue puis on amplifie… Mais c’est mieux que d’être désadapté Et plus robuste en cas de fluctuation d’impédance