Réunion du GT SDH (17/01/2008) Méthodes algébriques pour la décomposition de modèles comportementaux : Application à la détection et à la localisation de défaillances Par Denis BERDJAG (Thèse soutenue le 26/10/2007 ) Encadrants : Vincent COCQUEMPOT et Cyrille CHRISTOPHE Laboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal de Lille Équipe Sûreté de Fonctionnement des Systèmes Dynamiques CNRS-UMR 8146 Polytech’Lille, 59655, Villeneuve d’Ascq

Contexte Constat : Techniques de surveillance à base de modèles: Plusieurs communautés (SEC, SED,SDH…). Modèles et outils différents Outils mathématiques (abstraction élevée) Algèbre des paires : Hartmanis & Stearns (1966) Algèbre des fonctions : Zhirabok & Shumsky (1987)

Objectifs Comprendre et rendre accessibles les outils algébriques Approfondir l’utilisation de ces outils. Généraliser les concepts des SEC vers les SED et inversement. Vers une démarche générale d’étude pour les SDH Proposer une méthodologie d’étude des propriétés du système indépendante du type de modèle : application à la surveillance These pas de sdh : perspectives sdh en cours Citer l’application la surveillance

Surveillance (modèle) Décomposition Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Conclusion Contributions & perspectives

Notions de surveillance à base de modèle Entrée commande Sorties capteurs Processus Perturbations Défauts Module de décision Défaut ? OUI ou NON Synthèse Modélisation Pour le FDI sur un process nous avons besoin d’une représentation mathématique qui va nous servire a synthetiser un module detecteur qui génère un indicateur dont l’analyse nous permet de déclarer la présence d’un défaut ’indicateur de défauts est appelé résidu pour le cas continu Commande Indicateur de défauts Module détecteur de défauts Modèle mathématique du processus Sorties

Types de représentations Modèle mathématique du processus Représentation temporelle Représentation événementielle Équations différentielles Équations aux différences Machines séquentielles Réseaux de Petri 1 2 4 3 Deux structures fondamentalement différentes % à l’évolution. Modèles temporels (Sys à États Continus) Modèles événementiels (Sys à événements discrets)  Les communautés sont divisées

Quelques techniques de surveillance à base de modèle Modèle temporel Filtres & observateurs Beard Frank Massoumnia Isidori & al Espace de parité Willsky Staroswiecki Leuschen Estimation de paramètres Isermann Fliess & al Modèle événementiel Diagnostiqueur Sampath & al Ushio Zad Larsson Redondance Hadjicostis Contraintes temporelles Bouyer Ghazel Problématique commune Méthodes / Outils différents Beaucoup de similarités et de parallèles entre les problématiques des deux communautés Est-il possible de proposer une méthode générale ?

Principe de la surveillance (SEC) Perturbations Défaut Principe de la surveillance (SEC) Processus L’indicateur doit être: Nul en fonctionnement idéal Robuste aux perturbations Sensible aux défauts Sorties capteurs Commande Module détecteur de défauts Indicateur

Décomposition pour la détection 1 2 Entrées Inconnues Estimation des sorties Synthèse Synthèse 3 Commandes 4 Synthèse Synthèse Synthèse Indicateur 1 Module détecteur Commandes MD1 MD2 MD3 MD4 Indicateur Indicateur 2 Sorties Indicateur 3 Indicateur 4

Structure du module détecteur Synthèse Commandes Bloc d’élimination des conditions initiales Sorties Bloc de comparaison Indicateur MD1

Représentation mathématique du modèle Modèle Comportemental Fonctions Ensembles Modèle temporel Modèle événementiel Quelque soit le niveau d’abstraction, un modèle peut être représenté par la notation abstraite suivante.

Fonction de décomposition Conditions d’existence d’un sous-modèle Le sous-modèle Modèle complet Sous-modèle Propriété de substitution (SED) Propriété d’invariance (SEC) Fonction de décomposition Conditions d’existence d’un sous-modèle Les ensembles X ’,W ’,Y ‘ sont obtenus à partir de X,W,Y Les fonctions F’,H’ sont des restrictions des fonctions F,H sur les ensembles X ’,W ’,Y ‘ . Le sous modèle est toujours défini à partir d’un modèle complet. Son existence est liée à un ensemble de conditions mathématiques. Nous les appellerons les contraintes de la décomposition.

Décomposition avec critère de découplage Décomposition connue en SEC et en SED Formalisée avec des outils spécifiques au modèle considéré Généraliser la décomposition quel que soit le modèle comportemental ? Définir des outils mathématiques pour homogénéiser la démarche de décomposition

Techniques algébriques pour la décomposition Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle temporel Modèle événementiel Conclusion Contributions & perspectives

Rappel : structures algébriques Treillis Un ensemble d’éléments Une relation d’ordre Ou Deux lois internes Algèbre Un ensemble d’éléments Des lois (opérations) sur ces éléments Deux lois internes Une loi externe Nous allons manipuler deux types de structures : L’algèbre et le treillis Ces deux structures sont définies par un ensemble d’éléments et par des lois internes. Notons que nous allons définir ces deux structures en parallèle utilisant les mêmes éléments. L’ensemble de définition est généré à partir de l’ensemble d’état du modèle complet Hiérarchie Propriétés

Ensemble de définition Algèbre d’ensembles Ensemble de définition Treillis sur DX Relations Relation d’ordre Opération d’intersection Algèbre sur DX Opération union A l’ensemble D_X nous allons ajouter ces relation basiques de manipulation d’ensembles pour former notre structure algébrique. DX : tous les sous-ensembles de X A , B : éléments de DX

Propriété de substitution Définition: A possède la propriété de substitution si et seulement si il existe une restriction de F sur A telle que Paire algébrique (A,B) par rapport à la fonction F (A,B) est une paire algébrique par rapport à F ssi Si (A,A) est une paire algébrique par rapport à F alors Deux sous-ensemble de l’ensemble de définition de F A possède la propriété de substitution par rapport à F ou (A,A) ∈ ΔF A est l’ensemble d’état d’un sous-modèle

Formalisme algébrique Opérateur m (borne inférieure d’une paire) m(A) donne le plus grand sous-ensemble qui forme une paire avec A Opérateur M (borne supérieure d’une paire) M(B) donne le plus petit sous-ensemble qui forme une paire avec B Insister sur la propriété de substitution ! Propriété de substitution (Critère)

Manipuler des ensembles… problème ? La décomposition d’un modèle requiert la manipulation d’ensembles d’éléments. Définir des « délimiteurs » pour caractériser les différents ensembles. Manipuler des ensembles d’éléments revient à manipuler les délimiteurs. Solution Hartmanis, Stearns, Shumsky, Zhirabok Faisons le point : Pour obtenir le sous-modèle nous devons manipuler des ensembles. Ce qui est ardu. Une solution existe : définir des délimiteur qui caractérisent les ensembles.

Principe du délimiteur Proposition : Manipuler les délimiteurs au lieu de manipuler les ensembles Ensembles finis Partitions Hartmanis & Stearns Fonctions Shumsky & Zhirabok Le délimiteur regroupe des éléments qui appartiennent à la même classe d’équivalence. Nous allons utiliser les partitions pour les ensembles finis Et les fonctions pour des ensembles infinis Ensembles infinis Délimiteur  Classe d’équivalence

Délimiteur d’ensembles finis Une partition de S est un ensemble de blocs supplémentaires dont l’union recouvre l’ensemble S 1 2 3 4 5 6 Par exemple p1 est une partition qui regroupe les nombres pairs et les nombres impairs. Une partition est un (bla bla). Nous avons ici deux exemples de partitionnement en deux blocs, le premier isole les nombres pairs des nombres impairs.

Délimiteur d’ensembles infinis Toute fonction f(x) crée un partitionnement de son ensemble de définition X Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction f(x). Par exemple : Le noyau de toute fonction définit le bloc d’une partition de X. Pour remplacer les partitions dans le cas des ensembles infinis nous utilisons des fonctions. Tous les éléments qui possèdent la même image appartiennent à la même classe d’équivalence (bloc de partition) Par exemple la fonction cosinus regroupe dans le même bloc 0 pi 2 pi etc. etc. Un autre e

Propriété d’invariance Soit une fonction Si A possède la propriété de substitution par rapport à F alors la fonction  est invariante par rapport à F Fonctions Invariance Ensembles Propriété de substitution Sous-modèles Condition d’existence

Structures algébriques… Algèbre de partitions Relation d’ordre « ≤ » Addition de partitions « + » Multiplication de partitions « . » Algèbre d’ensembles Relation d’ordre «⊆» Opération d’union «∪» Opération d’intersection «∩» Outils identiques indépendants des équations des modèles Algèbre des fonctions Relation d’ordre «  » Opération d’union «  » Opération d’intersection «  » Par conséquent pour manipuler les modèles événementiels nous allons construire une structure algébrique (AP) . (partitions + opérations) De la même manière nous construisons l’AF pour la décomposition de modèles temporels. Maintenant que nous avons présenté les outils mathématiques, nous allons définir une méthodologie générale de décomposition. En fonction du type de modèle traité, il suffira d’adapter les outils à la structure du modèle.

Synthèse de l’algorithme de décomposition Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle événementiel Modèle temporel Conclusion Contributions & perspectives

Formulation du problème de décomposition Ensemble de commande Ensemble d’entrées inconnues Ensemble de défaillances Modèle Fonction de décomposition A découpler Sous-modèle L’objectif de la décomposition est l’obtention d’un SM découplé. Considérons le modèle complet dont l’ensemble d’entrées se divise en trois parties (blabla) Nous cherchons a découpler les entrées inconnues sans perdre le couplage par rapport aux défaillances. Notons qu’il est possible de caractériser un SM avec une fonction de décomposition qui donne le sous-ensemble d’état avec

Méthode de décomposition Initialisation: Ensemble de solutions possibles Recherche itérative de la solution optimale Validation de la solution obtenue Sous-modèle découplé Problème d’optimisation Contraintes de décomposition Existence du SM Synthèse du MD Plus petit sous-ensemble qui remplit les critères Critères de décomposition Robustesse Sensibilité Sous-modèle de dimension minimale La structure de l’algorithme est donc la suivante : Une étape initiale qui intègre le critère de découplage Une séquence itérative construite à partir des conditions d’existence Une vérification de la propriété de couplage

Critères de décomposition Critère de découplage Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de Robustesse aux perturbations Propriété de couplage Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de Nous allons a présent donner la formulation mathématiques des critères et contraintes Les critères sont au nombre de deux : Le découplage qui est un critère strict Et le couplage qui est une propriété à vérifier Sensibilité aux défaillances

Contraintes de décomposition Contrainte d’invariance Déterminer le plus grand sous ensemble invariant et découplé Existence du sous-modèle Contrainte de mesurabilité Fait le lien entre le modèle et le sous modèle au travers des sorties Les conditions d’existence sont également au nombre de deux La contrainte d’invariance qui est une propriété structurelle d’existence Et une contrainte de mesurabilité qui est un contrainte par rapport aux sorties du SM. Seul un MS mesurable peut servir à la synthèse d’un module detecteur. Synthèse du module détecteur

Implémentation Initialisation Itération Validation simple Sous-ensemble d’état découplé Itération Test d’invariance Composante mesurable Test d’invariance Passons maintenant a l’algorithme Structure (simple) 3 étapes Itération Vérification du couplage Validation Couplage

Ensemble d’état Sous-ensemble d’états visibles à travers les sorties Ensemble de définition Ensemble d’état Sous-ensemble d’états visibles à travers les sorties

Sous-ensembles invariants

Sous-ensemble d’état découplé Sous-ensemble d’état non-découplé Critère de découplage Sous-ensemble d’état découplé Sous-ensemble d’état non-découplé

Le plus grand sous-ensemble découplé Initialisation Le plus grand sous-ensemble découplé

Itération

Le plus grand ensemble découplé et invariant

Contrainte de mesurabilité

Détermination du plus petit sous-ensemble découplé invariant et mesurable

Sous-ensemble découplé invariant et mesurable

Vérification du critère de couplage Sous-ensemble d’état non-couplé d’état couplé

Problèmes rencontrés et traités La contrainte d’invariance Que faire s’il n’existe pas de sous-ensemble découplé invariant ? Problème d’initialisation Comment trouver le sous-ensemble découplé maximal ? Aspect calculatoires Comment déterminer les opérateurs m et M dans les cas calculatoires complexes? Injection de sorties Élimination de variables Nous avons cherché a améliorer les méthodes existantes dans la littérature : Initialisation optimale Extension au modèles événementiels des techniques continues Aspect calculatoires Fonctions équivalentes

Injection de sorties Problème Solution Relâcher la contrainte d’invariance et proposer un critère général d’invariance étendue Solution Injection de sorties pour pallier à l’information perdue par décomposition Seules les sorties insensibles aux perturbations sont injectées Extension de la technique connue dans le cadre des SEC au cas des SED Extension Injection de sorties au modèle événementiels 1 publi soumise recemment

Les sorties compensent l’information perdue lors de la décomposition Injection de sorties Les sorties compensent l’information perdue lors de la décomposition x1 x2 x4 x3 Injection de sorties Sortie Invariance étendue Sous-modèle réalisable Sous-modèle n’est pas réalisable

Extension événementielle Indéterminisme si b se produit

Algorithme de décomposition étendu (Injection de sorties) Initialisation Sous-ensemble d’état découplé Itération Test d’invariance étendu Composante mesurable Test d’invariance étendu Etendu en ajoutant une inj sorties Validation Couplage

Algorithme de décomposition étendu (algèbre des fonctions) Initialisation Sous-ensemble d’état découplé Itération Test d’invariance étendu Élimination de variables Composante mesurable Test d’invariance étendu L’implémentation en utilisant les outils algébriques (AF) Elimination de variables Validation Couplage

Algorithme de décomposition étendu (algèbre des paires) Initialisation Partition d’état découplée Itération Test d’invariance étendu Composante mesurable Inutile car vérifié Test d’invariance étendu Implementation en AP Propriété des M eve une seule itération est suffisante Validation Couplage Mesurabilité

Système à 3 cuves Illustration Conclusion Généralités Outils Surveillance (modèle) Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Conclusion Contributions Perspectives

Le système à trois cuves Modèle temporel (Système d’équations différentielles) Modèle événementiel (Machine séquentielle) Détection et localisation de défaillances

Illustration Modèle événementiel Généralités Outils Méthodologie Surveillance (modèle) Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle événementiel Modèle temporel Conclusion Contributions Perspectives

Représentation événementielle Information disponible : Sens des débits (,0,) Commande des vannes Détecteurs de sens fV13 fV32 2 sorties ( direction flux dans les conduites) Détection des défauts actionneurs Discré Défauts actionneurs Etats transitoires

Modèle de fonctionnement défaillant Défaillances Machine séquentielle 16 états,8 entrées + 2 défaillances

Deux machines séquentielles partielles découplées Cahier des charges fV13 fV32 Deux machines séquentielles partielles découplées Découplée de l’influence de fV13 Couplée à l’influence de fV32 Découplée de l’influence de fV32 Couplée à l’influence de fV13

Détermination de la machine séquentielle partielle fV13 Critères de décomposition Contraintes de décomposition Critère de découplage En général La partition d’entrées découplée La partition d’état découplée Critère de couplage La partition d’entrée couplée La partition d’état couplée Contrainte d’invariance En général Partition avec propriété de substitution Contrainte de mesurabilité Condition générale Sous ensemble découplé et mesurable

Banc de machines séquentielles partielles découplées

Génération d’indicateurs Table de correspondance des sorties Calcul de l’indicateur Si la sortie du système appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP  indicateur à 0 Si la sortie du système n’appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP  indicateur à 1

Discrétisation des mesures Commandes Module détecteur à base de modèle événementiel Processus Défaillances

Simulations Evolution des niveaux C1, C2, C3 Commande des vannes Défaillances Non mesuré fV32 V1 V2 V20 150 V13 V32 fV13 100 Capteurs de débit Evénements en entrée a b e f C13 C32 c d g h

Simulations Sorties discrétisées du système Sorties estimées par le modèle Evolution de la 1ère MSP Evolution de la 2nde MSP

Simulations Indicateur de validité Défaillance V32 Défaillance V13 Entrées Réaction de l’indicateur sensible à V32 Indicateur robuste à la défaillance de V13 Réaction de l’indicateur sensible à V13 Indicateur robuste à la défaillance de V32

Illustration Modèle temporel Généralités Outils Méthodologie Surveillance (modèle) Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle événementiel Modèle temporel Conclusion Contributions Perspectives

Le système à trois cuves Capteurs de niveau Les défaillances Encrassement de conduite Fuite dans les cuves

Modèle de fonctionnement défaillant Equations d’état Dire que b_ij peut etre de 0 a 1 et si c’est 1 c’est un bouchage

Banc de sous-modèles découplés Sous-modèle découplé de b13 Sous-modèle découplé de b32 Sous-modèle découplé de f1 Sous-modèle découplé de f2 , b20 4 sous modèle découplés Table des couplages

Synthèse des générateurs d’indicateurs de défaillances Utilisation des modes glissants Observateur d’Utkin Le générateur de résidu robuste par rapport à b13 Exemple de synthèse d’obs. On a pris une structure basée sur l‘Obs Utkin (sliding modes) pour aller jusqu’à l’étape de génération de résidus. D’autre choix sont possibles

Banc de générateurs d’indicateurs de défaillances GiD robuste par rapport à f1 GiD robuste par rapport à f2,b20 Signature des défaillances GiD robuste par rapport à b32 GiD robuste par rapport à b13 4 GR dont deux necessitent une élimination de variables

Module détecteur à base de modèle temporel Commandes Processus Module détecteur à base de modèle temporel Défaillances

Fonctionnement Normal iD Robuste à f1 Niveaux des cuves Défaillance Mesures iD Robuste à f2,b20 iD Robuste à b13 iD Robuste à b32 Bruit gaussien sur les sorties

Défaillance permanente b13 iD Robuste à f1 Niveaux des cuves Défaillance 70 s Réaction iD Robuste à f2,b20 iD Robuste à b13 iD Robuste à b32 Défaillance permanente Détection à l’instant 70

Défaillance intermittente b13 iD Robuste à f1 Niveaux des cuves Défaillance 70sec Réaction iD Robuste à f2,b20 iD Robuste à b13 iD Robuste à b32 Défaillance intermittente (momentanée)

Contributions & Perspectives Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle événementiel Modèle temporel Conclusion Contributions & Perspectives Contributions 3 aspects

Conclusion Formalisme général de FDI à base de modèles comportementaux Algèbre d’ensembles FDI à base de modèles événementiels FDI à base de modèles temporels Algèbre des Paires Algèbre des fonctions

Perspectives Définir un formalisme adapté aux SDH Techniques d’élimination de variables non linéaires Bases de Groebner Utilisation alternative d’outils Décomposition canonique (Kalman) Flux de données corrélées (théorie de l’information) Détection et de localisation de défaillances SEC Description du modèle sous forme de paires algébriques Définition d’indicateurs de défaillances directionnels Dans le discours. Donner des pistes pendant la présentation pas forcément avec les présentations. Insister sur les points 2 et 3 avec quelques transparents On peut citer 4 perspectives …….. Nous pourrions au lieu de nous pouvons.

Perspectives : Décomposition de modèles hybrides Modèle complet hybride Sous-modèle hybride Considérer les dynamiques événementielles et temporelles comme indépendantes (commutation) Décompositions indépendantes du modèle temporel et du modèle événementiel Considérer le cas général et les couplages temporels-événementiels Décrire le modèle hybride sous forme de quintuplet Proposer une structure algébrique adaptée Insister sur les points 2 et 3 avec quelques transparents

Perspectives : Décomposition de modèles hybrides Algèbre des fonctions Insister sur les points 2 et 3 avec quelques transparents

Merci pour votre attention Contact denis.berdjag@gmail.com