RESOLUTION DE SYSTEME Soit à résoudre le système : 2x + 3 y = 26

Résoudre un système c’est trouver une valeur de x et de y (les inconnues) qui vérifient les deux équations. Est la première équation. On la notera  2x + 3 y = 26 4x + y = 2 Est la deuxième équation. On la notera  L’accolade indique qu’il s’agit bien d’un système. Il faut donc les résoudre ensemble.

I- Méthode de substitution Cette méthode est très appropriée quand y (ou x) est seul. 2x + 3 y = 26 4x + y = 2 On cherche y dans une équation, on le remplace dans l ’autre.

 4x + y = 2 On va un peu transformer cette égalité ( en rajoutant une même quantité de chaque coté du =)  4x + y = 2 - 4x - 4x  + y = 2 - 4x On écrit :  y = 2 - 4x Ensuite on passe à l’autre équation !

 2x + 3 y = 26  y = 2 - 4x  2x + 3 y = 26 On développe :  2x + 3(2 - 4x) = 26  2x + - = 26 6 12x On simplifie

 2x + 6 - 12x = 26  + 6 - 10x = 26  + 6 - 6 - 10x = 26 - 6  + 6 - 6 - 10x = 26 - 6  - 10x = 20 = -10 -10 Attention aux signes

Résultats :  x = -2  y = 2 - 4x  y = 2 - 4(-2)  y = 2 + 8  y = 10

On note : x = -2 y = 10 La solution du système est donc : ( ; ) -2 10

II- Méthode par combinaison linéaire 2x + 3 y = 26 Pour « éliminer » les x il faut d’abord qu’il y ai le même nombre dans chaque équation. 4x + y = 2 2x x 2 + 3 y x 2 = 26 x 2 Il faut multiplier tous les nombres par le même nombre 4x + y = 2 4x + 6y = 52 On peut soustraire membre à membre les deux équations 4x + y = 2 4x - 4x + 6y -y = 52 - 2

4x - 4x + 6y -y = 52 - 2 5y = 50 5y = 50 = 5 5 y = 10 2x + 3 y = 26 Pour la seconde inconnue, il y a deux solutions : soit remplacer (substituer) y dans une des deux équations du départ, soit refaire la même opération avec l’autre variable 2x + 3 y = 26 4x + y = 2 2x + 3 y = 26 4x x3 + y x3= 2 x3

2x + 3 y = 26 On peut soustraire membre à membre les deux équations 12x + 3y = 6 2x - 12x + 3y - 3y = 26 - 6 -10x = 20 20 x = -10 x = -2 La solution du système est : (-2 ;10)

III - Autre exemple : Résoudre le système d'équations : 2x + y = 90 30x + 40y = 2000 1) Par substitution de Y 2) Par Combinaison linéaire a) Eliminations des X b) Elimination des Y Vérification

Substitution de y 2x + y = 90 Cette méthode est très appropriée quand y est « seul ». 30x + 40y = 2000 2x + y = 90 -2x -2x On cherche y en fonction de x 30x + 40 (90-2x) = 2000 On remplace y dans la 2ème équation y = 90 - 2x On développe... 30x + 3600 - 80x = 2000 y = 90 - 2x On cherche x dans la 2ème équation -50x + 3600 = 2000 - 3600 - 3600 y = 90 - 2x = 90 - 232 = 26 Puis on le remplace pour trouver y -1600 -50 x= =32 On trouve x...

Combinaison linéaire : Elimination des x 2 x + y = 90 (15) Pour « éliminer les x », il faut d ’abord qu’il y en ait le même nombre dans chaque équation 30 x + 40y = 2000 2 x + y = 90 30 x + 40y = 2000 15 15 15 Attention : Il faut multiplier tous les termes de l ’équation 30 x + 40y = 2000 30 x + 15y = 1350 On peut soustraire la 2ème équation à la première Et on garde une équation de départ (pour trouver l’autre inconnue) 30 x + 40y - (30x + 15y)=2000 - 1350 2 x + y = 90 650 25 y= 2x + y = 90 25y = 650 =26 On trouve y 2 x + 26 = 90 Et on remplace y par sa valeur dans l ’autre équation pour trouver x y=26 x= (90-26)/2= 32

Combinaison linéaire : Elimination des y 2x+ y = 90 1 (40) Pour « éliminer les y », il faut d ’abord qu’il y en ait le même nombre dans chaque équation 30x + 40 y = 2000 2 x + y = 90 30 x + 40y = 2000 40 40 40 Attention : Il faut multiplier tous les termes de l ’équation 30 x + 40 y = 2000 80 x + 40 y = 3600 On peut soustraire la 1ère équation à la deuxième Et on garde une équation de départ (pour trouver l’autre inconnue) 80 x + 40y - (30x + 40y)=3600 - 2000 2 x + y = 90 1600 50 x= 2x + y = 90 50x = 1600 =32 On trouve x 2  32 + y = 90 Et on remplace x par sa valeur dans l ’autre équation pour trouver y x=32 y= 90 - 2 32 = 26

Vérification 2x + y = 90 30x + 40y = 2000 Pour x=32 et y=26, on obtient : 2  32 + 26 = 64 + 26 = 90 30  32 + 40  26 = 960 + 1040 = 2000 La solution du système est donc : (32 ; 26)