0. Présentation du cours Pourquoi un PA ? Les contraintes à respecter : Sécurité Performances Les paramètres intervenant dans la conception : Le type d’avion Le milieu extérieur Les commandes de vol L’ergonomie du podte de pilotage

1. Le modèle de l’avion naturel 1. Les équations générales

Avion rigide à commandes de vol irréversibles Avion symétrique Hypothèses Avion rigide à commandes de vol irréversibles Avion symétrique Atmosphère pesante immobile La position du CG et IG sont des constantes Trièdre principal d’inertie Gxyz (termes nuls liés à la symétrie de l’avion) La masse m de l’avion est constante Les caractéristiques de l’atmosphère (ps et Ts) ne dépendent que de l’altitude z. Terre plate immobile et g = 9,81 m/s2

Positions angulaires de l’avion – les trièdres Plan horizontal Trièdre lié à la terre Trièdre lié à l’avion Trièdre aérodynamique Voir transparent Verticale descendante a = incidence b = dérapage

Commandes : braquage > 0  moment <0 Conventions de signes Angles a > 0 si x au dessus du plan xaGya b > 0 si « l’air arrive du côté droit de l’avion » Commandes : braquage > 0  moment <0 dl (cde de gauchissement) > 0 = manche à gauche l’avion s’incline à gauche dm (cde de profondeur) > 0 = manche vers l’avant l’avion pique du nez dn (cde de direction) > 0 = palonnier gauche le nez de l’avion part à gauche Vitesses angulaires : braquage > 0  vitesse <0 Roulis « p » > 0 si portée par Gx Tangage « q » > 0 si portée par Gy Lacet « r » > 0 si portée par Gz

6 variables statiques (coordonnées et positions angulaires Choix des variables 6 variables statiques (coordonnées et positions angulaires 6 variables dynamiques (vitesses angulaires et linéaires) Coordonnées du centre de gravité G / Terre Positions angulaires : les angles d’Euler y, q, f Les composantes de la vitesse linéaire Vitesse angulaire W

Forces et moments Les actions aérodynamiques sont caractérisées par : Les actions propulsives sont caractérisées par : Les forces de pesanteur caractérisées par :

Rappels sur les lois de la Mécanique Le trièdre terrestre est galiléen Théorème fondamental de la dynamique Théorème du moment cinétique

Détermination du modèle 3 équations de forces 3 équations de moments 3 relations cinématiques

2. Séparation des mouvements

Regroupement des variables Variables longitudinales Variables transversales Variables de commandes

Regroupement des équations Mouvement longitudinal Mouvement transversal

Existence d’un mouvement longitudinal pur Variables concernées Variables constantes Conditions à vérifier Solution si :

3. Mouvement longitudinal Le plans Gxz et Gxaza sont confondus. Les ailes sont horizontale f = 0. Le dérapage est nul b = 0.

Représentation dans le plan x Fonction de : M et a q a xa g x0 Fonction de : M, a et dm y za z0

Décomposition des forces x q a xa g x0 Dérivation de za z0

Equations du mouvement

Équations dans le repère aérodynamique Propulsion : forces sur Gxa Sustentation : forces sur Gza Moment : autour de Gza Cinématique 1 : assiette Cinématique 2 : altitude

Recherche des conditions d’équilibre A l’équilibre on vérifie Déterminons les autres paramètres de vol

Équation des moments X x F’ F Y G Moment à piquer Sens (+) des moments Foyer de l’aile X Sens (+) des moments et des angles Foyer de l’empennage Moment à piquer x F’ F Y G Moment dû à dm. Moment dû à la portance à dm = 0. Moment à portance = 0 et à dm = 0.

Équation des moments à l’équilibre Braquage d’équilibre à portance = 0

Algorithme de calcul du point d’équilibre      non oui

Influence de la vitesse de tangage sur le moment à piquer Y F’ V G Da v

Calcul des coefficients du modèle simplifié Coefficients aérodynamiques Hypothèses : petits mouvements autour du point d’équilibre

Équations

Principes de linéarisation des équations

Linéarisation de l’équation de propulsion

Attention : nouvelle notation

Équation de propulsion linéarisée

Équation de sustentation linéarisée

Équation de moment linéarisée

Quatrième relation linéarisée

Modèle complet linéarisé Vecteur d’état Matrice de commande Matrice dynamique Vecteur de commande

4. Modèle longitudinal simplifié

Hypothèses supplémentaires L’influence de la vitesse sur les coefficients aérodynamiques et sur la poussée est négligeable. Si on néglige la traînée due au braquage de la gouverne de profondeur :

Hypothèses supplémentaires La variation d’incidence autour de la position d’équilibre aé est sans influence sur la poussée. On peut encore pour un vol en palier stabilisé (gé = 0) et si aé est petit on peut poser :

Modèle longitudinal simplifié

Equation d’état du modèle longitudinal simplifié

5. Application numérique (avion de type delta)

Etude de deux point de vol Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2 Masse m 8500 kg Altitude z 40000 ft (T = 216,6°K) Mach M 0,8 1.2 0,302 kg/m3 1,1 0,022 rad 0 rad 2,66 2,87 0,019 0,006 -0,68 -0,4 0,22 0,33 0,015 0,0365

Etude de deux point de vol Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2 l 5,24 m Moment d’inertie B 59691,25 kg.m² Centrage 52 % S 34 m2 L = 1,5 l 7,86 m c = 0,52 L - 4,087 m x - 4,4 m - 4,936 m y - 6,288 m - 7, 247 m X = x – c - 0,313 m - 0,849 m Y = y – c - 2,201 m - 3,16 m

Calculs itératifs du point d’équilibre Réaliser un programme sous MATLAB pour obtenir le point d’équilibre Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2 0,286 ? - 21,3.10-3 rad 0,1353 rad 0,033 9559 N

Calcul des coefficients du modèle simplifié PdV n°1 PdV n°2 XV 0,0094 ? ZV 0,082 Xa 0,48 Za 0,385 ma -4 Cxa 0,335 Xg 0,0415 Zg Xm Zm 0,1571 mm -11,641 Xt Zt Vé 236,5 mq -0,38 Cma -0,159 Cmm -0,462

Equation d’état

6. Effets des commandes (état initial et permanent)

Effet initial des commandes La manette est fixe (dt = 0) la commande de profondeur dm donne une accélération en tangage. Au début du mouvement les écarts des variables par rapport aux valeurs d’équilibre sont nuls. Effet prépondérant Ainsi en tirant le manche on provoque une déflexion dm < 0 qui donne une vitesse de tangage q > 0 (le nez de l’avion monte).

Effet final des commandes L’avion se retrouve dans un nouveau point de vol stabilisé. La matrice ci-dessous permet de calculer les écarts en régime permanent et de trouver le nouveau point d’équilibre. Sachant que

7. Régime transitoire de l’avion naturel

Méthode d’étude : modèle simplifié sans couplage Pour simplifier l’étude on considère δτ = 0, et comme le suggère l’expérience, on peut découpler les modes : Mode rapide = oscillation d’incidence affecte α et q Mode lent = oscillation phugoïde affecte V et γ Mode lent Couplage ~ 0 Couplage ~ 0 Mode rapide

7.1. Etude de l’oscillation d’incidence Modèle simplifié

L’oscillation d’incidence (oi) On considère un écart d’incidence  :  la portance appliquée au foyer F ;  rotation de l’avion autour de G ;  si G en avant de F la rotation tend à diminuer  (rappel d’incidence) ;  si G en arrière de F l’avion est instable. La vitesse et la pente ne varient pratiquement pas aussi V = 0 et g = 0 (rappel : ces valeurs sont des écarts autour de valeurs d’équilibre).

Dynamique de l’oscillation d’incidence (oi) On considère que la vitesse et la pente ne varient pas V = 0 et g = 0 (cas ou dt = 0). AI BI Le pôles des FT sont donnés par :

Calcul des fonctions de transfert (oi) ou Noter le signe (-) du gain

Calcul des fonctions de transfert (oi) ou Oscillations d’incidence : Mouvement relativement rapide Amortissement faible 0i = 0,19 Danger pour le pilote (couplage avec un retard pur) Il faut augmenter l’amortissement (solutions ?)

Calcul des fonctions de transfert sous MATLAB % Etude de l'oscillation d'incidence AI=[-Zal 1 mal mq]; BI=[-Zm;mm];CIal=[1 0];CIq=[0 1]; TalDm_ss=ss(AI,BI,CIal,0); TalDm=tf(TalDm_ss) TqDm_ss=ss(AI,BI,CIq,0); TqDm=tf(TqDm_ss)

Calcul des fonctions de transfert TalDm= -------------------------- s^2 + 0.7645 s + 4.151 -11.65 s - 3.851 TqDm= --------------------------

>> step(TalDm,TqDm,10);grid on Réponses indicielles >> step(TalDm,TqDm,10);grid on

7.2. Etude de l’oscillation phugoïde Modèle simplifié

L’oscillation phugoïde (op) On considère un écart d’incidence  qui a amené l’avion (après stabilisation des oi) autour d’un nouveau point d’équilibre. Ainsi :  La portance appliquée au foyer F .  L’avion s’élève ( > 0). La traînée  puisque la portance . La composante de mg sur xa . La vitesse de l’avion   la portance . L’avion descend donc V . Ce mouvement est un échange entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle à incidence quasi constante. L’oscillation phugoïde est un mouvement très lent.

Dynamique de l’oscillation phugoïde On considère que l’incidence a ne varie pas  da/dt = 0  dg/dt = q. On examine le cas où dt = 0. Le pôles des FT sont donnés par :

Dynamique de l’oscillation phugoïde AP=[-Xv -Xgam Zv 0]; BP=[0;Zm];CPv=[1 0];CPgam=[0 1]; TvDm_ss=ss(AP,BP,CPv,0); TvDm=tf(TvDm_ss) TgamDm_ss=ss(AP,BP,CPgam,0); TgamDm=tf(TgamDm_ss) step(TvDm,TgamDm,400)

Dynamique de l’oscillation phugoïde -0.006518 TvDm = ----------------------------------- s^2 + 0.009423 s + 0.003388 0.1571 s + 0.001481 TgamDm = -----------------------------------

Oscillation phugoïde TPH = 108 s

7.3. Etude de l’avion complet Sans découplage des modes lent et rapide Avec Matlab et la CST Avec Simulink

Etude de l’avion complet % Etude de l'avion complet (v, gam, al, q) Tcomp_v_Dm_ss=ss(A,B,[1 0 0 0],0); Tcomp_v_Dm=tf(Tcomp_v_Dm_ss) Tcomp_gam_Dm_ss=ss(A,B,[0 1 0 0],0); Tcomp_gam_Dm=tf(Tcomp_gam_Dm_ss) Tcomp_al_Dm_ss=ss(A,B,[0 0 1 0],0); Tcomp_al_Dm=tf(Tcomp_al_Dm_ss) Tcomp_q_Dm_ss=ss(A,B,[0 0 0 1],0); Tcomp_q_Dm=tf(Tcomp_q_Dm_ss)

Etude de l’avion complet – fonctions de transfert Transfer function: 0.001093 s^2 + 0.5646 s + 0.1597 ------------------------------------------------------------ s^4 + 0.7739 s^3 + 4.158 s^2 + 0.0389 s + 0.01357 0.1571 s^3 + 0.06116 s^2 - 3.851 s + 0.009793 -0.1571 s^3 - 11.71 s^2 - 0.1103 s - 0.03946 -11.65 s^3 - 3.961 s^2 - 0.02967 s + 4.473e-017 Tcomp_v_Dm Tcomp_gam_Dm Tcomp_al_Dm Tcomp_q_Dm

Etude de l’avion complet – Tcomp_q_Dm >> [poles,zeros]=pzmap(Tcomp_q_Dm) poles = -0.3826 + 2.0004i -0.3826 - 2.0004i -0.0044 + 0.0570i -0.0044 - 0.0570i zeros = -0.3324 -0.0077 0.0000 On peut choisir une autre fonction de transfert pour cette étude. (Cf. Diapositive précédente)

Carte des pôles et des zéros de Tcomp_q_Dm >>pzmap(Tcomp_q_Dm) Mode rapide Mode lent

Carte des pôles et des zéros de Tcomp_q_Dm Mode lent : oscillation phugoïde

Réponses indicielles pour t < 10 secondes

Réponses indicielles pour t < 200 secondes Effet de l’oscillation d’incidence

Etude de l’avion complet en simulation

Visualisation des 4 variables d’état pour t < 10s q al gam

Visalisation des 4 variables d’état pour t < 400s Effet de l’OI q al gam

Evaluation des erreurs dues au découplage des modes

Erreurs introduites par le découplage des modes v q al gam Pour déterminer les caractéristiques des modes on peut les découpler. Cette approximation donne des résultats inacceptables pour les réponses indicielles. Les FT doivent être calculées avec le modèle complet.

Travail demandé pour le point de vol N°2 Calculer les coefficients du modèle de l’avion correspondant au point de vol n° 2 (établir un fichier.m). Etudier (exploitation de MATLAB) les modes du modèle complet simplifié et donner les caractéristiques des modes rapide et lent. Enregistrer les réponses indicielles de q, a, V et g pour un échelon de profondeur à cabrer de dm = - 1°.

Calculs itératifs du point d’équilibre Réaliser un programme sous MATLAB pour obtenir le point d’équilibre Paramètres Point de vol n°1 Point de vol n°2 0,286 0,1269 - 21,3.10-3 rad - 61,34.10-3 rad 0,1353 rad 0,0675 rad 0,033 0,418 9559 N 26936 N

Calcul des coefficients du modèle simplifié PdV n°1 PdV n°2 XV 0,00942 0,01826 ZV 0,082 0,0369 Xa 0,48 0,05 Za 0,385 0,622 ma -4 -26,2 Cxa 0,335 0,236 Xg 0,0415 0,0277 Zg Xm Zm 0,1571 0,161 mm -11,641 -27,22 Xt Zt Vé 236,5 354 mq -0,38 -0,334 Cma -0,159 -0,465 Cmm -0,462 -0,482

Equation d’état