Mécanique Cours de Physique Bruno ROSSETTO Professeur des Universités tél. + 336 08 45 48 54 email: rossetto@univ-tln.fr site: http://rossetto.univ-tln.fr

1. Coordonnées Cartésiennes 2-dim. y 1 - Origine 0 2 - Système d’axes orthogonaux (0xy) 3 - Vecteurs unités and x 3-dim. Orientation du système tridimensionnel de coordonnées: - pas-de-vis usuel - règle des 3 doigts de la main droite z y x Physique B. Rossetto

1. Coordonnées Règles d’orientation z z x x y y Physique B. Rossetto

1. Coordonnées Règles d’orientation x y z x y z Physique B. Rossetto

1. Coordonnées Polaires (2-dim.) Cylindriques (3-dim.) P(r,q) y P(r,q,z) z P(r,q) q q x x q P(r,q) Pour les 2: et et 3-dim.: Physique B. Rossetto

1. Coordonnées Transformations 1 – de polaires à cartésiennes z x = r cosq y = r sinq z = z 1 – de cartésiennes à polaires z r z y q r x z = z Physique B. Rossetto

2. Vecteurs Définition géométrique 1 - Module (longueur) > 0 : AB = 2 - Support: droite D, ou toute droite parallèle à D 3 - Sens (flèche) D B D’ A Conséquence: si CD = AB si D’ // D et si l’ orientation est la même alors: D C Physique B. Rossetto

2. Vecteurs Expression algébrique y : composantes q x q q Physique q q Physique B. Rossetto

2. Vecteurs Définitions des opérations sur les vecteurs 1 - Addition (relation de Chasles) B C L’addition confère à l’ensemble des vecteurs une structure de groupe commutatif ( est l’élément neutre A est l’élément opposé) 2 - Multiplication par un réel k Distributivité/addition: Ces 2 opérations confèrent à l’ensemble des vecteurs une structure d’anneau commutatif (k=1 est l’élément neutre) Physique B. Rossetto

2. Vecteurs Produit scalaire 1 –Définition géométrique (commutativité) H q 2 - Relation d’orthonormalité 3 – Expression algébrique Physique B. Rossetto

2. Vecteurs Propriétés du produit scalaire Propriétés de la norme 1 – Commutativité: 2 – Bilinéarité: Propriétés de la norme Physique B. Rossetto

2. Vecteurs Produit vectoriel 1 – Définition géométrique q N.B.: 2 – Propriétés: - anticommutativité: - bilinéarité Physique B. Rossetto

2. Vecteurs Produit vectoriel: expression analytique Règle de Sarrus : Physique B. Rossetto

3. Forces Définitions Une force est définie par un vecteur et un point d’application: 1 - le module F = est l’intensité (newton) 2 - le support D doit passer par le point auquel la force est appliquée 3 - le sens indique la direction d’action D P Conséquence: n’ont pas le même effet si elles ne sont pas appliquées au même point P d’un corps rigide. Elles diffèrent par leur moment. D’ Définition du moment de par rapport à P: P’ Le moment/P caractérise la capacité à produire une rotation autour de P Physique B. Rossetto

3. Forces Force exercée par un ressort ou un élastique Loi de Hooke (1678) Le ressort exerce une force de rappel proportionnelle à son allongement ou à sa compression k désigne la raideur du ressort en N m-1. Physique B. Rossetto

3. Forces Gravité D’après la loi de la gravitation universelle de Newton (1687) G = 6,67 m3 K-1 s-2 Au niveau du sol, la terre exerce une force verticale dirigée vers le bas égale à Accélération de la pesanteur : Physique B. Rossetto

3. Forces Forces de frottement 1. De type solide La réaction est normale au point de contact. La force de frottement est tangentielle. Elle est caractérisée par l‘angle a. a 2. De type fluide La force d’amortissement de type fluide s’oppose au mouvement. L’intensité de cette force de frottement est proportionnelle à la vitesse et sa direction opposée à celle –ci : Aux grandes vitesses, dans l’air, par exemple, elle peut être proportionnelle au carré de la vitesse : Physique B. Rossetto

3. Forces Inertie La masse m qui tourne autour d’un axe situé à la distance r avec la vitesse angulaire w est soumise à la force d’inertie (force centrifuge) Conséquence. L’accélération de la pesanteur est la plus faible à l’équateur. Exercice. Calculer la vitesse angulaire w de rotation de la terre. En déduire la différence entre l’accélération de la pesanteur à la latitude 45° et à l’équateur. Physique B. Rossetto

3. Forces Moment d’un couple D 1 - Définition. Un couple est un ensemble de 2 forces égales et opposées appliquées aux points P et P’ P H 2 – Moment d’un couple/0: (O est situé entre P et P’ ) O D’ H’ P’ Dém : à partir de la définition Physique B. Rossetto

3. Forces 1ère loi de Newton (principe d’inertie) Soit un système (une particule, un ensemble de particules, un solide) Physique B. Rossetto

3. Forces 3ème loi de Newton (principe de l’action et de la réaction ou principe d’opposition) Réaction Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, mais de sens opposé, exercée par le corps B. A B Action Physique B. Rossetto

4. Statique Equilibre d’un point ou d’une particule 1 - Identifier toutes les forces appliquées au point 2 - Utiliser les théorèmes fondamentaux déduits de la 1ère loi de Newton Pas de translation: Exemple : équilibre d’un point P : y T1 T2 x b a (autre méthode : relations dans le triangle) P Connaissant P, a et b, on déduit T1 and T2 Physique B. Rossetto

4. Statique Equilibre du solide Notez que ces questions requièrent des connaissances en dynamique du solide, comme le centre de masse 1 - Définir un système et identifier toutes les forces appliquées 2 - Appliquer les théorèmes fondamentaux: Pas de translation: Pas de rotation, par exemple par rapport à O: Physique B. Rossetto

4. Statique Equilibre d’un solide Dans cet exemple, il est indispensable de définir le système auquel on applique les théorèmes r2 r1 Au centre de la première poulie: Les mêmes équations peuvent être appliquées à l’autre poulie. Finalement, on trouve: T=W/2 Physique B. Rossetto

4. Statique Equilibre d’un solide Exemple: équilibre d’une échelle. W:poids, supposé appliqué en G L: longueur, q: angle a: caractérise le frottement solide en B (cf. l’encadré): astatique > adynamique A a q G B Finalement: Physique B. Rossetto