Estimation ensembliste ellisoïdale : formulation factorisée Groupe Calcul Ensembliste 01/02/2002 Paris Suzanne Lesecq Laboratoire d’Automatique de Grenoble suzanne.lesecq@inpg.fr

Moindres carrés et forme factorisée Moindres carrés récursifs Plan Introduction Moindres carrés et forme factorisée Moindres carrés récursifs Ellipsoïde englobant Reformulation Problème d’optimisation quadratique Mise sous forme factorisée Extension aux équations d’état Exemple numérique Remarques et conclusion S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Diagnostic de la machine asynchrone Différentes techniques explorées Introduction Diagnostic de la machine asynchrone Différentes techniques explorées Thèse C. Combastel (2000) Identification paramètres modèle de Park Méthodes « classiques » PNL Méthodes ellipsoïdales Thèse Th. Clément (1987) Bibliographie + récente Formulation factorisée de ces algorithmes S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Moindres carrés et forme factorisée Prérequis Factorisation orthogonale A H = U S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Moindres carrés et forme factorisée Factorisation d’un produit de matrices Problème de moindres carrés M L LT = S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Moindres carrés et forme factorisée Factorisation d’une somme de matrices Démonstration S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Moindres carrés et forme factorisée Analyse de sensibilité Équations normales Forme factorisée S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Moindres carrés récursifs Avec mise à jour de la matrice d’information I Forme standard Forme factorisée H = Xt+1 Xt S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Moindres carrés récursifs Avec mise à jour de la matrice de Covariance P Forme standard Forme factorisée P = XTX gain des moindres carrés : g/e S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Algorithme de Fogel et Huang Forme standard Ellipsoïdes 1 Algorithme de Fogel et Huang Forme standard Forme factorisée P = XTX, Z = YTY S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Notations et Hypothèses yt ,et scalaires Estimation courante Ellipsoïdes 2 Notations et Hypothèses yt ,et scalaires Estimation courante Nouvelle mesure yt+1 mesure cohérente Paramètre Critère : Trace (pas d’incidence sur la formulation factorisée) t+1 t S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes : reformulation 3 Algorithmes de mise à jour des ellipsoïdes Formes factorisées Stabilité numérique Démonstrations simples des propriétés théoriques Garantie numérique des propriétés théoriques Détermination de t+1 Problème d’optimisation quadratique Connaissance a priori Moindres carrés pondérés Nouvelle mesure S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Forme standard (Durieux & Al., 1996) Ellipsoïdes 4 Algorithme Forme standard (Durieux & Al., 1996) Ellipsoïde englobant S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes : forme factorisée 5 alors = = Problème de moindres carrés S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes : forme factorisée 6 D’où … Algorithme …On peut démontrer ct+1 et Mt+1 obtenus indépendamment S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes : forme factorisée 7 Amélioration de l’algorithme Indépendance de c et M S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Ellipsoïdes Extension aux équations d’état 1 Forme « Information » factorisée PREDICTION S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste CORRECTION

Ellipsoïdes Extension aux équations d’état 2 Forme « Covariance » factorisée P Formulation factorisée pour P = M-1 Résultat à paraître (JESA) Exemple S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

Remarques et Conclusion Réécriture du problème Optimisation quadratique Factorisation Garantie numérique de propriétés théoriques Stabilité numérique Choix libre P ou M Intersection ou sommation d’ellipsoïdes Pas d’inversion Approche applicable à toute démarche similaire Filtre de Kalman classique et étendu S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste