II ) RÉVISION : MOMENTS ET COUPLES II ) RÉVISION : MOMENTS ET COUPLES.  Objectif : ·      Définir le moment d’une force par rapport à un point. ·      Développer la notion de vecteur-moment et de moment d’une force par rapport à un axe.  Prérequis : ·      Produit vectoriel. ·      Notion de force.  Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps.

Si la force ( poussée des moteurs Si la force ( poussée des moteurs.) passe par le centre de gravité G de la navette, le vaisseau est animé d’un mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré de même direction que (fig. a). Si la force ne passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé d’un mouvement de translation et un mouvement de rotation. Ces mouvements sont fonction de l’inclinaison des moteurs ou de la distance d (fig. b). Pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position, il est nécessaire de faire intervenir la notion de moments.

A ) Moment d’une force par rapport à un point. 1°) Définition A ) Moment d’une force par rapport à un point. 1°) Définition.     Le moment de le force F par rapport au point A, noté MA(F) = a)   Convention de signe. Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif. Si F est dans l’autre sens, le moment devient négatif (c’est le cas de la navette autour du point G). F . d

Remarque : Si B est le point d’application de F et si la longueur AB est connue, MA(F) peut être calculé par : MA(F) =   en remarquant que : AB.sin  = d F . d = F . ( AB . sin  ) MA ( F )

b) Exemple : Déterminons le couple de serrage exercé par une clé plate sur un écrou en fonction de l’inclinaison de l’effort B3/2 exercé par la main de l’opérateur.  ·       Si AB est perpendiculaire à B3/2. ·      Si  = 60° : ·      Si  = 45° : MA (B3/2) = B3/2 . d = B3/2 . AB MA (B3/2) = 100 . 0,2 = 20 Nm MA (B3/2) = B3/2 . d1 = B3/2 . AH1 MA (B3/2) = 100 . (0,2 .sin 60°) = 100 . 0,17 = 17 Nm MA (B3/2) = B3/2 . d2 = B3/2 . AH2 MA (B3/2) = 100 . (0,2 .sin 45°) = 100 . 0,14 = 14 Nm

2°) Théorème de Varignon 2°) Théorème de Varignon. Le moment de la force F au point A est égal à la somme des moments de ses composantes U et V par rapport au même point.  MA(F) = Pour le cas de la figure : MA(F)= F . d F . d = MA(U) + MA(V) = -(U.du) + V.dv

Exemple : Déterminons MA(F). Fx = F.cos60° = 1000 . cos60° = 1000 . 0,5 = 500 N et Fy = F.sin60° = 1000.sin60° = 1000 . 0,866 = 866 N Ma(F) = -(Fx.0,1) + Fy.0,16 Ma(F) = -(500.0,1) + 866.0,16 = -50 + 138,6 = 88,6Nm

B ) Vecteur moment. 1°) Définition B ) Vecteur moment.  1°) Définition.   Soit un point B, quelconque, appartenant à la direction de la force F. Le moment en A de F est défini par le vecteur : Ma(F) =       Ma(F) est un vecteur à la fois perpendiculaire à F et à AB.  Il ce caractérise géométriquement par : F . d Ou F . ( AB . Sin θ ) * Son point d’application. A * Sa direction.  perpendiculaire au plan A,B,H. * Son sens  positif ou négatif sur l’axe Z. * Sa norme  Ma(F) = F.d en Nm.

Remarque : ·   AB, F et Ma(F) suivent la règle des trois doigts de la main droite (ou règle du tire bouchon). ·      Le produit vectoriel n’est pas commutatif. AB F = - F  AB Ma(F) = 0 si : la norme F = 0 N la distance d = 0 m l’angle  = 0° C’est a dire que la direction de la force F passe par A.

2°) Détermination analytique du moment d’une force 2°) Détermination analytique du moment d’une force.   Dans le repère (0,x,y,z ) : Coordonnées du point A (xa, ya, 0) et B (xb, yb, 0). Composante de F1/2 (XF1/2, YF1/2, 0). Le moment au point A de la force F1/2 peut être déterminé analytiquement par : AB  F = Ma(F1/2) L 1/2 = M 1/2 = N 1/2 =  L1/2 moment de la force F1/2 par rapport à l’axe (0,x). M1/2 moment de la force F1/2 par rapport à l’axe (0,y). N1/2 moment de la force F1/2 par rapport à l’axe (0,z). Le moment par rapport à un axe est nul si le support de la force est sécant ou parallèle à cet axe. Xa Ya XF1/2 YF1/2 (Xa.YF1/2) – (Ya.XF1/2)

C ) Moment résultant de plusieurs forces C ) Moment résultant de plusieurs forces.   Le moment résultant MA(F) en un point A de n forces F1,F2 ,F3 ....,Fn est égal à la somme des moments en A de chacune des forces. MA(F) = MA(F1) + MA(F2) + MA(F3) + ……+MA(Fn) Si les forces appartiennent toutes à un même plan (sont coplanaires), le moment peut être écrit sous la forme algébrique. MA(F) = D ) Variation du moment d’un point à un autre.  Soit un autre point D n’appartenant pas au support de la force F1/2. Le moment en D de F1/2 est : MD (F1/2) + (F1 . d1) + (F2 . d2) + (F3 . d3) + ……+ (Fn . dn) MD(F1/2) = MA(F1/2) + DA ^ F1/2

E ) Exemple : Balance romaine E ) Exemple : Balance romaine.        Une balance romaine se compose d’un balancier 2 articulé en O (pivot) sur un crochet 1 lié à un support fixe et d’une masse d’équilibrage mobile 3 ( a variable) de poids q = 5 daN. La masse à peser ou le poids P, est suspendue en B par l’intermédiaire d’un crochet 4. Si a = 700mm, déterminons la valeur de P.

Somme des MO=0 MO(P) + MO(O) + MO(Q) = 0 + (P.OB) + (O.OO) - (Q.OQ) = 0 + (P.0,1) + 0 – (50.0,7) = 0 P = (50.0,7) / 0,1 = 350 N