Synthèse d’un asservissement continu par la méthode du lieu d’EVANS Introduction : Les propriétés caractéristiques d'un système asservi sont directement liées à la position des pôles et des zéros de la fonction de transfert en boucle fermée dans le plan complexe. La technique du lieu d'Evans permet de voir l'influence d'un gain K intervenant dans la chaîne directe sur l'évolution de la position des pôles dans le plan complexe.

Schéma fonctionnel e u y yc + K - Où m : nombre de zéros et n : nombre de pôles, La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par l'expression suivante :   Les pôles de F(s) sont les racines de D(s)+ KN(s) =0. La méthode du lieu d'Evans nous permet de voir l'évolution des racines quand K varie.

Exemple

Règles de synthèse du lieu d'Evans 1) Le lieu d'Evans est symétrique par rapport à l'axe réel. Le dénominateur de la fonction de transfert est un polynôme à coefficients réels. Par conséquent, les racines sont réelles où complexes conjuguées. 2) Le nombre de branches du lieu est égal à l'ordre du système. 3) Lieu K>O : Les points du lieu qui appartiennent à l'axe réel sont tels qu'ils ont un nombre impair de pôles et de zéros réels de la FTBO à leur droite.

Règles de synthèse du lieu d'Evans Lieu K <O : Les points du lieu qui appartiennent à l'axe réel sont tels qu'ils ont un nombre pair de pôles et zéros réels de la FTBO. 4) Les points de départ des branches sont les pôles de la FTBO. Quand K=0 les pôles de F(s) sont les pôles de G(s). 5) Les points d'arrivée à distance finie des branches sont les zéros de la FTBO. Quand k tend vers ±  ,les pôles de F(s) sont les racines de N(s) =0 ( zéros de G(s)).

Règles de synthèse du lieu d'Evans 6) Il y a (n-m) asymptotes. Pour n points de départ et m points d'arrivée. par conséquent, on aura (n-m) asymptotes. 7) Arguments des asymptotes Signe de K Positif Négatif Arguments des asymptotes 8) Les asymptotes obliques se coupent en un point unique sur l' axe réel : pj = nombre de pôles en boucle ouverte zj = nombre de zéros en boucle ouverte

Règles de synthèse du lieu d'Evans 9) La tangente en un point de départ pk a pour argument :   10) La tangente en un point d'arrivée zk a pour argument : 11) L'intersection du lieu avec l'axe imaginaire : Utiliser le critère de Routh

Règles de synthèse du lieu d'Evans 12) Les points de rupture sont les racines multiples de l'équation caractéristique. La condition nécessaire que doivent vérifier les points de rupture est : , La condition n' est pas suffisante car les solutions doivent vérifier l'équation caractéristique. 13) La recherche des points de rupture peut être conduite de la façon suivante : - Détermination de la portion de lieu où doit se trouver un point de rupture . - Recherche de la position du point de rupture par dichotomie (signe d'un polynôme).

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