Modélisation des systèmes non linéaires par des SIFs L’Automatique consiste en l’étude des systèmes réels des différentes disciplines scientifiques (Electronique, mécanique, thermique, chimie, écologie, biologie, économie, sociologie, physique, cosmologie…), en vue de l’analyse, de la prédiction, de la surveillance, de la commande, et / ou de l’optimisation des systèmes. Généralement, la connaissance du modèle du système réel (on réalise une modélisation) est nécessaire dans l’étude.

Modélisation Deux approches sont souvent considérées : La « modélisation boîte blanche » ou de « modélisation théorique » se fonde sur les lois physiques, chimiques, mécaniques, biochimiques. La « modélisation boite noire » ou modélisation s’attache à établir «à partir de données expérimentales, une relation entre les variables des entrées du processus et les variables de ses sorties et ne nécessite pas a priori la connaissance des lois physiques.

Identification des systèmes Identifier un processus (système), c’est chercher un modèle (dynamique) mathématique, appartenant à une classe de modèles connue, et qui, soumis à des signaux tests (en entrée), donne une réponse (dynamique et statique en sortie), la plus proche possible du système réel . y(t) Système u(t) Modèle

Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par SIF de type Mamdani But : Elaboration d’un SIF de M règles de type Mamdani permettant de reproduire le comportement d’un système non linéaire à partir d’un ensemble de données entrée/sortie. Rl Si x1 est F1l et …. et xn est Fnl alors y est Gl où l=1 … M : l’indice de la règle Fil : désigne le lème ensemble flou qui caractérise la ième variable xi Gl : désigne le lème ensemble flou qui caractérise la variable y. Chaque règle l représente une implication floue de dans l’espace Rn+1

Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par SIF de type Mamdani Pour un vecteur entrée x=(x1, ….,xn) donné, en utilisant l’inférence de type Larsen (Sup-produit), la sortie floue de la lème règle est définie par la fonction d’appartenance La sortie floue globale associée à l’ensemble de règles est :   En utilisant la défuzzification par la méthode du centre de gravité :

Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par SIF de type Mamdani Si on considère que les points modaux des valeurs floues de la sortie Gl(l=1, ….,M) ( ) pour calculer le centre de gravité( ), on a avec est la valeur modale de la valeur floue Gl

Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par SIF de type Mamdani Cette fonction traduit une relation non linéaire entre le vecteur d’entrée x et la sortie y. Le but de la modélisation d’un système non linéaire par le SIF de type Mamdani consiste alors à déterminer les paramètres de règles ( , , ( , )) permettant de minimiser l’erreur quadratique y désigne la sortie désirée du système et f(x) la sortie estimée par le FIS.

Etapes de modélisation La modélisation d’un système non linéaire par un SIF à partir de données expérimentales est similaire à l’approche classique. Elle se décompose en : - Plan expérience et collecte des données - Le choix de la structure du SIF et du critère d’estimation, - Estimation des paramètres - Validation du modèle

Algorithme du gradient Il repose sur un développement de e() limité au premier ordre   est le gradient du critère, vecteur colonne noté gk. Puisque e(.) est à minimiser, nous cherchons à minimiser De. A IlDqll fixé, cela conduit à choisir Dq colinéaire au gradient mais de sens opposé, soit Dq = -l g(q(k)) d'où AG    Imaginons une personne abandonnée les yeux bandés au flan d'une montagne. Pour rejoindre la vallée, il lui faut minimiser son altitude en agissant sur sa position. La politique du gradient revient à tâter le terrain autour de la position actuelle pour déterminer la direction de plus grande pente, puis à partir dans la direction opposée. Inutile de dire que cette politique à courte vue peut conduire à de sérieuses déconvenues !

Algorithme d’identification Supposons que nous avons les données entrée-sortie caractérisant le comportement de système non linéaire à modéliser (x, y) où x=(x1,x2, x3, …, xn)  Rn et y  R a) Estimation de avec

Algorithme du gradient b) Estimation de avec

Algorithme d’identification c) Estimation de

Application On considère le système non linéaire discret :   y(k+1)=f(y(k),y(k-1),…..,y(k-n+1) ;u(k),….,u(k-m+1)) Où -         f est une fonction inconnue que nous voulons identifier. -         u et y sont les entrées et les sorties du système -         n et m sont des entiers naturels.

Structure d’identification Structure Parallèle  Structure Série-Parallèle Système Non linéaire Flou u + - y e Système Non linéaire Flou u + - y e L’estimation des paramètres du SIF se fait en deux étapes 1)  Initialisation des paramètres du SIF. 2) Adaptation en ligne des paramètres de règles linguistiques.

Initialisation des paramètres Supposons que nous cherchons à déterminer un SIF à n entrées et une sortie. Donc, on aura (2n+1)M paramètres à identifier. Pour initialiser ces paramètres, on considère les M premières lignes du fichier entrées/sorties . On définit : i=1…..n, l=1,….,M. sont les entrées du système non linéaire et du SIF et g(u(l)) est la sortie désirée du système SIF pour l’entrée u(l)

Exemple avec inconnue On suppose M=40 , a =0.5

Exemple