REPÉRAGE DANS L’ESPACE EXTENSION DE LA NOTION DE VECTEUR VECTEURS COPLANAIRES REPÉRAGE ÉQUATIONS CARTÉSIENNES

I. EXTENSION DE LA NOTION DE VECTEUR I. 1. Vecteurs de l’espace Rappel : Deux droites de l’espace sont parallèles lorsqu’elles sont : Ou bien confondues, Ou bien coplanaires et non sécantes. I. 2. Addition de vecteurs de l’espace REPERAGE DANS L'ESPACE

I. 3. Multiplication d’un vecteur de l’espace par un réel Remarque : La multiplication d’un vecteur de l’espace par un réel est définie comme dans le plan et admet donc les mêmes propriétés que nous ne détaillerons pas à nouveau ici. Remarque : Des vecteurs égaux sont donc colinéaires, la réciproque étant évidemment fausse. Remarque : Ce théorème se démontre comme son analogue dans le plan. Démontrez le théorème ci-contre, attention il s’agit d’un équivalence. Exercices de base possibles : 3 et 4 page 223 ou 38 à 49 pages 227 et 228 de votre livre. REPERAGE DANS L'ESPACE

II. VECTEURS COPLANAIRES II.1. Rappels sur les repères du plan II.2. Points coplanaires Remarque : Trois points non alignés définissent un plan, en conséquence, deux ou trois points sont toujours coplanaires. Exemple : Dans le cube ABCDEFGH de la page 2, montrez que les points A, C, G et E sont coplanaires. II.3. Vecteurs coplanaires REPERAGE DANS L'ESPACE Exercices de base possibles : 50 à 54 page 228 de votre livre.

III. REPERAGE III. 1. Repères cartésiens de l’espace Exemples : Dans les figure ci-contre : - pour le repère 1, le tétraèdre ABCD est régulier, ce repère est donc quelconque ; - pour le repère 2, ABCDEFGH est un pavé droit, ce repère est donc orthogonal ; - pour le repère 3, ABCDEFGH est un cube, ce repère est donc orthonormé. REPERAGE DANS L'ESPACE

Exercices de base possibles : 53 à 58 page 250 de votre livre. III. 2. Coordonnées dans un repère cartésien de l’espace Remarque : La démonstration du théorème 1 fait l’objet du devoir à la maison n°3. Remarque : - Le théorème 2 et 3 découlent directement du théorème 1. - Le théorème 3 entraine notamment que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les même coordonnées dans un certain repère de l’espace. III. 2. Distance entre deux points dans un repère orthonormé de l’espace Remarque : La démonstration de ce théorème fait l’objet du devoir à la maison n°3. Exercices de base possibles : 53 à 58 page 250 de votre livre. REPERAGE DANS L'ESPACE

IV. EQUATIONS CARTESIENNES IV. 1. Equations de cercles dans un plan Remarque : - L’égalité ci-contre traduit le fait que AM² = R². - Cette égalité est appelée équation du cercle de centre A et de rayon R. IV. 2. Equations de sphères dans l’espace Remarque : - Cette égalité traduit que OM² = R² ; - Il est facile de généraliser ceci à une sphère de centre quelconque. Exemple : Déterminez une équation de la sphère ci-dessus. IV. 3. Dans l’espace, équations de plans parallèles aux plans de coordonnées REPERAGE DANS L'ESPACE

IV. 4. Dans l’espace, équations de cylindres de révolutions dont l’axe est parallèle à un axe de coordonnées IV. 5. Dans l’espace, équations de cônes de révolutions de sommet l’origine et dont l’axe est un axe de coordonnées REPERAGE DANS L'ESPACE