Enseignement des mathématiques et difficultés d’apprentissage Les nombres et le calcul à l’école primaire C. Ouvrier-Buffet cecile.ob@wanadoo.fr http://perso.wanadoo.fr/cecile.ob

Dans ce cours Le nombre Grandeurs et mesures Fractions et décimaux À partir de la maternelle Énumération, comptine, comptage-dénombrement etc. Un codage Des opérations Grandeurs et mesures Fractions et décimaux Géométrie ?

Modèles d’acquisition des connaissances Début XXème, deux courants en psycho Comportementaliste (Pavlov, Watson, Skinner et le béhaviorisme) Structural (Piaget et Vygotsky) Constructivisme (Piaget) Transformation des structures de connaissances par l’action sur le monde (action « empirique », « opération mentale ») Modèle binaire (individu-objet) Socio-constructivisme (Vygotsky) Instruments psychologiques (médiation sociale – le langage) Modèle ternaire (individu – objet - contexte social ) - Approche transmissive : peu porteuse si l’on veut travailler sur des compétences. Exposé un contenu découpé en unités élémentaires. - Béhaviorisme : stimulus-réponse. Béhaviorisme : l’apprentissage est le résultat d’une interaction entre entre le sujet et son environnement. Ne tient pas compte des conceptions des élèves. Découpage en petites étapes. Mais un élève qui sait faire les étapes intermédiaires ne saura pas nécessairement accomplir la totalité de la tâche. Piaget : l’activité construit l’apprentissage. Mais à quelles conditions ?

La conception socio-constructiviste « C’est en agissant que l’on apprend » (Piaget) Un élève a des représentations, des conceptions « Erreur, tu n’es pas un mal » « On connaît contre des connaissances antérieures » (Bachelard) D’un équilibre vers un déséquilibre : la construction de connaissances (Piaget) Favoriser de tels déséquilibres : trouver les « bons » problèmes, à la fois accessibles et difficiles Importance des interactions sociales dans la classe rôle actif de l’élève en opposition avec le modèle de transmission de connaissances. On cite bcp Piaget mais il n’a pris en compte que les concepts quotidiens et ne regarde pas le rôle de l’enseignant dans l’apprentissage des concepts scientifiques. On sait de toute façon que le constructivisme stricte ne fonctionne pas : il faut construire des situations et offrir à l’élève des instruments cognitifs, s’occuper de l’institutionnalisation, mais comment la conceptualisation se poursuit alors?

Modèles d’acquisition des connaissances Psychologie clinique : lien élève-maître Psychologue : élève Pédagogue : dispositifs (élèves+maître) Elève Savoir Maître Didacticien : savoir, triangle didactique

En didactique, trois hypothèses Hypothèse épistémologique : “c’est par l’activité de problème que l’élève construit les connaissances des mathématiques” (Bachelard) Hypothèse psychologique : “le sujet apprend en s’adaptant à un milieu qui est producteur de contradiction, de difficulté, de déséquilibre” (Piaget) Hypothèse didactique : “la conception moderne de l’enseignement va donc demander au maître de provoquer chez l’élève des adaptations souhaitées par un choix judicieux des problèmes qu’il lui propose” (Brousseau) + hypothèse socio-cognitive (intérêt du travail en groupe)

La notion d’obstacle Obstacle épistémologique - Bachelard : obstacle de l’expérience première, obstacle de la connaissance générale, l’obstacle verbal, l’utilisation abusive des images familières, la connaissance unitaire et pragmatique, l’obstacle substantialiste, réaliste, animiste, celui de la connaissance quantitative. Probable qu’ils aient leur équivalence chez l’enfant.

L’erreur = manifestation de l’obstacle « L’erreur n’est pas seulement l’effet de l’ignorance, de l’incertitude, du hasard que l’on croit dans les théories empiristes ou béhavioristes de l’apprentissage, mais l’effet d’une connaissance antérieure, qui avait son intérêt, ses succès, mais qui maintenant se révèle fausse, ou simplement inadaptée. Les erreurs de ce type ne sont pas erratiques et imprévisibles, elles sont constituées en obstacle. Aussi bien dans le fonctionnement du maître que dans celui de l’élève, l’erreur est constitutive du sens de la connaissance acquise » (Brousseau, 1983)

L’erreur = manifestation de l’obstacle Les erreurs ne sont pas dues au hasard : elles sont reproductibles, persistantes. Ces erreurs ne sont pas forcément explicitables. Franchissement : il faut engager un travail de même nature que pour la mise en place d’une connaissance -> dialectique de l’élève avec la connaissance … il faut trouver le moyen de faire faire à l’élève un saut qualitatif

Quelle didactique ? Deux points de vue Les situations fondamentales (Brousseau) Des situations de référence Apportant des rétroactions Sur un long terme Pour construire un concept Exemples, contre-exemples Définitions, caractérisations Différents points de vue, différentes situations Mais aussi des concepts connexes. La résolution de problèmes (ERMEL) : ->un concept : un outil pour résoudre des problèmes

Que sait-on du concept de nombre ? Deux aspects : cardinal et ordinal Différentes représentations Un triple code (modèle de Dehaene et Cohen) Analogique Visuel Auditif Des groupements privilégiés Des règles pour coder : une convention Opérationnalité du concept de nombre dans différentes situations Désignation Rangement et comparaison Dénombrement Calcul Les modèles, élaborés par Gelman, par Mc Closkey, par Dehaene & Cohen, vous seront présentés en 2ème année.

Cinq principes pour le dénombrement R. Gelman : « Les bébés et le calcul » Le principe d’adéquation unique : la mise en correspondance un à un de chaque objet décompté avec un seul mot-nombre. Le principe de l’ordre stable : la suite des mots-nombres respecte un ordre permanent. Le principe cardinal : le dernier mot-nombre prononcé désigne le cardinal de la collection. Le principe d’abstraction : on peut compter des objets hétérogènes. Le principe de non-pertinence de l’ordre : l’ordre dans lequel les éléments d’une collection sont énumérés n’affecte pas le comptage.

La chaîne numérique La chaîne numérique peut être : stable et conventionnelle (celle des adultes) stable mais non conventionnelle (mots sautés) ni stable, ni conventionnelle Des étapes dans l’acquisition de la chaîne numérique (Fuson et al) : Une récitation (un bloc verbal) Des noms qui s’individualisent, une chaîne insécable Une chaîne sécable (début du comptage) pouvant être utilisée pour additionner Bidirectionnelle (comptage à rebours possible)

Un premier point de vue Le nombre comme outil dans la résolution de problèmes (ERMEL) Pour comparer, mémoriser, partager, ou anticiper Avec des domaines numériques Les nombres visualisables : jusqu’à 6 ou 7 Les nombres familiers : entre 6-7 et 12-15 Les nombres fréquentés : entre 12-15 et 20-30 Les grands nombres : supérieurs à 20 ou 30

Un second point de vue Situations fondamentales (Brousseau) Construire une collection Construction progressive d’une collection Exploration de celle-ci Description et désignation orale de ses éléments Désignation d’une collection, des éléments de cette collection Marquage Codage et décodage Activités de tri Activité d’énumération : il s’agit ici d’apprendre aux élèves à s’organiser et organiser une collection d’objets afin de la dénombrer Activités de dénombrement Rangement (aspect ordinal) Construction de collection équipotente à une collection donnée (aspect cardinal) Activités additives

Comptage et dénombrement Le comptage fournit une suite de nombres ordinaux. Le dénombrement est le résultat du comptage : il fournit le nombre cardinal de la collection. Le dernier mot prononcé n’est pas un simple numéro, mais représente à lui seul la quantité de tous les objets de la collection. Le comptage peut être effectué à partir de n’importe quel objet. Le résultat du comptage est invariant. Subitizing (dès 5 ans).

Comptage Récitation du nom des nombres dans l’ordre correct avec appariement un à un Pointage de chaque élément compté Séparation entre ce qui a été compté et ce qui reste à compter Contrôle de tout ça !

Dénombrement Stricte correspondance terme à terme Ordre stable (des mots-nombres) Cardinalité Abstraction : l’hétérogénéité ou l’homogénéité des objets d’une collection n’a pas d’incidence sur le dénombrement d’où nécessité de traiter les objets comme des unités abstraites.

Des exemples de situations Les allumettes Le trésor Voiture-garage