Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’ CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer une primitive et intégrer une fonction CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle Pour integrer une ED, savoir calculer des primitives MathSV : chapitre 6

Equations différentielles Introduction à la modélisation Définitions et généralités Méthodes de résolution

Croissance de la population chinoise Etape 1 Démographie en Chine 1,28 milliards d’habitants en 2001 Une politique de contrôle des naissances Le taux d’accroissement du nombre d’individus est la derivee est proportionel au nombre d’individu. Le coefficient de propotionalite est r (taux de naissances – taux de mortalite)

La démarche de modélisation 1. partir d’une problématique qui concerne le monde du vivant

Croissance de la population chinoise Etape 2 Les conséquences d’une politique démographique : le nombre d’habitant en 2005 ? En 2010 ? Le taux d’accroissement du nombre d’individus est la derivee est proportionel au nombre d’individu. Le coefficient de propotionalite est r (taux de naissances – taux de mortalite)

La démarche de modélisation 2. identifier le phénomène à étudier, préciser le problème qui se pose

Croissance de la population chinoise Etape 3 Modélisation de la variation au court du temps de la taille de la population chinoise : N(t) Le taux d’accroissement du nombre d’individus est la derivee est proportionel au nombre d’individu. Le coefficient de propotionalite est r (taux de naissances – taux de mortalite) Un problème de démographie (dynamique de population)

La démarche de modélisation 3. traduire le problème en langage mathématique/informatique/statistique

Croissance de la population chinoise Etape 4 Quels sont les processus qui provoquent cette variation ? Données : Naissances, morts, migrations (négligées) : On prévoit que les taux de natalité et mortalité dans la période 2001-2005 seront stables : Le taux de natalité est de 13‰ en 2001, le taux de mortalité est de 3‰. Modèle : une équation différentielle Le taux d’accroissement du nombre d’individus est la derivee est proportionel au nombre d’individu. Le coefficient de propotionalite est r (taux de naissances – taux de mortalite)

La démarche de modélisation 4. faire l’inventaire des modèles connus et des données utiles

Croissance de la population chinoise Etape 5 “Modèle exponentiel en temps continu” r = taux d’accroissement absolu (constant = indépendant de N)

La démarche de modélisation 5. sélectionner un modèle et recueillir les données puis proposer une réponse

Résoudre le problème Solution : K = N(t=0) = 1,28 milliards d’habitant en 2001 r = (13-3)/1000 = 0,01 N(t=4) = 1,33 milliards d’habitants en Chine en 2005.

La démarche de modélisation 6. validation, protocoles expérimentaux, généralisations...

Exemple en pharmaco-cinétique Lors de l’administration d’un médicament par injection intraveineuse, sa concentration dans le sang est instantannément maximale, puis elle décroît… comment ? f(t)=?

Exemple en pharmaco-cinétique A partir d’un instant t, “la diminution de cette concentration est proportionnelle à la concentration à l’instant t” : Solution :

Définitions, généralités

Définition On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x. Equation différentielle d’ordre n :

Définition On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x. Equation différentielle d’ordre 1 :

Exemple et notation Dérivée première : Dérivée nième :

Lexique général Résoudre (intégrer) MathSV : chapitre 6, section 7.1

Lexique général Solution générale Condition initiale Solution particulière

Lexique général Courbe intégrale

Équations Différentielles d’ordre 1 1. À variables séparables 2. Homogènes 3. Linéaires sans second membre avec second membre à coefficients constants

E. D. 1 à variables séparables On peut se ramener à “une intégrale sur y = une intégrale sur x”

Evolution de la population chinoise la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population

Evolution du poids d’un organisme MathSV : chapitre 6, section 7.2.1

E. D. 1 homogène On peut se ramener à une équation à variables séparables par un changement de variable u = y/x

E. D. 1 linéaires 1er ordre Linéaire en y Second membre De la forme :

E. D. 1 linéaires ED linéaire d’ordre 1 sans second membre SSM ED linéaire d’ordre 1 avec second membre ASM ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant

Méthodes de résolution des ED linéaires du 1er ordre

E. D. d’ordre 1 linéaire SSM Une ED linéaire Sans Second Membre est une ED à variables séparables à solution de forme exponentielle

E. D. d’ordre 1 linéaire ASM Selon les cas : Rechercher une solution particulière yp Méthode de variation de la constante

Avec recherche d’une solution particulière 1. Résoudre l’ED sans second membre :

Avec recherche d’une solution particulière 2. Trouver une solution particulière : De la forme Par identification, on obtient

Avec recherche d’une solution particulière 3. La solution générale est : la solution de l’ED SSM + la solution particulière

Avec recherche d’une solution particulière La solution de l’ED SSM + Une solution particulière est la solution générale F est la primitive de f

Méthode de variation de la constante 1. Résoudre l’ED sans second membre :

Méthode de variation de la constante 2. Faire varier la constante : De la forme Par identification, on obtient

Méthode de variation de la constante On cherche une solution générale de la forme F est la primitive de f

ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant avec f ( x ) = Cste = a - Si g ( x ) est un polynôme de degré n alors on cherche une solution particulière yp = an xn + an-1 xn-1 +… + a1x + a0 (un polynôme de degré n) - Si g ( x ) = eax P ( x ) alors on pose yp = eax z

ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant avec f ( x ) = Cste = a - sinon : la méthode de variation de la constante