Primitives - Intégration
La notion de Primitive f (x) f ’ (x) Intégrer Dériver Définition : F(x) est une primitive de f (x) si F ’(x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive. Notation : L’ensemble des primitives de f est noté
La notion de Primitive f (x) f ’ (x) x2 ln (x) exp (x) 2x 1 / x Dériver Intégrer f (x) f ’ (x) x2 ln (x) exp (x) 2x 1 / x exp (x) Formulaire dans MathSV et dans le fascicule Jaune
Un premier exemple En médecine Quantité de médicament dans le sang au temps t, après une injection par voie intraveineuse
Un modèle exponentiel tmax = 0
Questions : QMS = Quantité de médicament dans le sang (h.mg/l) Q1 : QMS dans les 10 heures qui suivent l’injection ? Q2 : QMS moyenne par heure pendant les 10 heures qui suivent l’injection ?
Q1 : QMS sur les 10 premières heures
Q2 : QMS moyenne par heure
La notion d’intégrale « La somme de a à b de est égale à la différence entre la primitive de f au point b et la primitive de f au point a »
Interprétation géométrique b A f est définie sur [a ; b] f admet une primitive
Interprétation géométrique n petits intervalles Dx = xi – xi+1 Dx = (b – a) / n f (xi) Dx f (xi+1) Dx
Interprétation géométrique C’est une notation
Propriétés ATTENTION au signe Relation de CHASLES :
Exemple 1 2 tmax = 0
Valeur moyenne
Autres propriétés
Aire d’un domaine
Méthodes de calcul Décomposition en somme Changement de variables Décomposition en éléments simples Intégration par partie
Décomposition en somme Changement de variables
Intégration par partie
La population du Botswana Un autre exemple La population du Botswana
Un exemple en Démographie
La probabilité de rencontre entre deux individus d’une même espèce Un dernier exemple La probabilité de rencontre entre deux individus d’une même espèce
Probabilité de se rencontrer au temps t
Probabilité de se rencontrer entre t1 et t2
Les équations différentielles Prochain RDV Lundi 27/09 à 16h Les équations différentielles TD du lundi : Problèmes A-2, A-4, A-5, B-3 TD du vendredi : Série 2 + EVAL