Cinématique dans l'espace-temps d'un observateur Objectif : Savoir définir et utiliser différents référentiels pour décrire les mouvements dans l'espace-temps. Savoir définir et utiliser un système de coordonnées. Distinguer mouvement de rotation et de translation  Savoir utiliser les concepts de trajectoire, de vitesse et d'accélération par rapport à un référentiel donné mais exprimé dans des repères différents. Pré-requis : Connaître et utiliser le calcul vectoriel  Savoir dériver un vecteur

Changement de référentiel En mécanique on est amené à changer de référentiel pour différentes raisons. Citons par exemple le cas de deux observateurs mobiles l'un par rapport à l'autre, chacun à l'origine de son référentiel, et qui observent un même point mobile. S'ils veulent échanger leurs informations, ils doivent connaître les règles de passage du référentiel de l'un à celui de l'autre. Certains mouvements peuvent prendre une forme plus simple dans un référentiel convenablement choisi : par rapport au sol le mouvement de la valve d'une roue de bicyclette, est compliqué (cycloïde) ; par rapport à un référentiel lié au centre de la roue il est simple (mouvement circulaire). Le mouvement des planètes par rapport à la terre est compliqué alors qu'il est simple par rapport au soleil. Pour expliciter les règles de changement de référentiel nous devons rechercher comment se transforment : les durées, les longueurs, l'équation du mouvement, la vitesse, l'accélération.

La cinématique des changements d'espace-temps (ou des changements de référentiels) a pour objet de relier les grandeurs de position, vitesse et accélération mesurées dans deux référentiels et par exemple, de déduire de la trajectoire d'un mobile dans un référentiel celle qu'il suit dans un autre. Nous considérons ici deux observateurs dont les espaces-temps (E, T) et (EI ,TI) sont donnés. Le but est de déterminer les relations entre ces deux espaces-temps. En mécanique classique, on admet que les deux observateurs ont la notion de simultanéité d'un instant t de T et tl de T1. Ce principe de simultanéité suppose que la transmission de signaux entre les deux observateurs est instantanée, donc suppose la possibilité d'une vitesse infinie. Cette hypothèse n'est pas maintenue en Théorie de la Relativité Restreinte. On considère en mécanique classique que les horloges sont synchronisées dans tous les référentiels, donc la mesure du temps est un invariant. De même une longueur est invariante par changement de référentiel : si M et M' sont deux point matériels séparés de la distance d dans le référentiel [R], la distance d est invariante dans un autre repère [R’], au même instant.

Translation R R’ Vitesse : j i k j i k x y z R O’ j i k x’ y’ z’ R’ Le référentiel R est fixe, le référentiel R’ se déplace par rapport à R à la vitesse ve Vitesse : D’où :

Accélération : D’où :

Rotation : O j i k x y z R O’ j i k x’ y’ z’ R’ En plus de la translation, le référentiel R’ peut être soumis à une rotation. Nous supposerons par la suite que R’ tourne autour de l’axe O’z’ (vecteur rotation w = w k en plus de la translation OO’. Rappel : On a aussi :

Vitesse : D’où La vitesse d’entraînement est : Elle dépend de la translation et de la rotation du repère R’ par rapport au repère R.

accélération : L’accélération dans le repère R est : On a : Finalement :

k j i Accélération d’entraînement : Exemple : Un manège tourne autour de l’axe vertical O’z’ avec une vitesse angulaire w constante. Le point M se déplace avec la vitesse constante vo sur l’axe Ox’ du manège : soit O’ j i k x’ y’ z’