Approximation des équations de la magnéto-hydrodynamique par la méthode des éléments finis Raphaël Laguerre Journée des doctorants 2004 Responsables de thèse : J.L. Guermond, Caroline Nore

Introduction Modélisation de l ’effet dynamo : auto-entretien d’un champ magnétique Énergie cinétique (champ de vitesse) (fluide conducteur en convection) Énergie magnétique (champ magnétique) Rétroaction Dynamo solaire zone convective (plasma H) inversion périodique du champ Dynamo terrestre noyau liquide (Fe) inversion aléatoire du champ Champ dipolaire

Introduction Modélisation de l ’effet dynamo : auto-entretien d’un champ magnétique Énergie cinétique (champ de vitesse) Énergie magnétique (champ magnétique) (fluide conducteur en convection) 1ère Approximation : dynamo cinématique i.e. champ de vitesse figé Modélisation Méthode des éléments finis nodaux 2-D Validation du code de calcul (Guermond & Minev, M2AN, ’02,NMPDE, ’03) Comparaisons entre nos résultats numériques et des solutions existantes (analytiques et numériques) Rétroaction Couplage : équations de Navier - Stokes (évolution du champ de vitesse) équations de Maxwell (évolution du champ magnétique)

Plan de l ’exposé Code de calcul Difficultés de la modélisation Avantages de la méthode utilisée Cas quasi 1-D : problèmes de type SLAB Géométries simples : modèles en couche Solutions analytiques calculables Compréhension de la physique du problème Cas 2-D : vortex de fluide conducteur Configuration déjà traité dans la littérature Lois d ’échelle et phénomènes complexes

Code de calcul - conditions limites acceptables si le champ Le domaine de calcul est composé de milieux différents (vide - conducteur) Le champ magnétique s’étend à l ’infini : problème des conditions limites Vide Domaine de calcul Conducteur Méthode éléments finis : - formulation faible, plus de problème pour traiter l ’interface dans le domaine de calcul - conditions limites acceptables si le champ magnétique est perturbé loin des bords

Cas quasi 1-D : problème étudié Écoulement de fluide conducteur : profil de type Poiseuille (parabolique) Vide Conditions périodiques sur les bords verticaux Conducteur de courant Champ magnétique initiale vertical Résolution analytique du problème : équation de la dynamo 1-D By est constante Bx est construite par le champ de vitesse Analogie entre l ’équation de la dynamo 1-D et l ’équation de la chaleur Isolant Source chaude Conducteur de chaleur Source = Cisaillement Source froide

Cas quasi 1-D : Résultats Résultats analytiques Résultats numériques obtenus pour 3 maillages différents Convergence de l ’erreur, loi d ’échelle en dx^3.8 (en accord avec la théorie)

Cas 2-D : Problème étudié Allée de vortex corotatifs Paramètre du problème : Rm = UL /  (compare l ’advection à la diffusion du champ magnétique) Cas déjà traité (N.O. Weiss:Proc.Roy.Soc, ’66) reproductible avec notre code de calcul Lois d ’échelles théoriques établies par N.O. Weiss

Cas 2-D : Scénario et grandeurs pertinentes Advection du champ magnétique Étirement des lignes de champ Saturation de l ’énergie avec les dissipations Expulsion du champ magnétique du centre du vortex (reconnections) Équilibre convection-diffusion à l ’extérieur du vortex Maximum global Maximum local État stationnaire 800 400 200 100 40

Cas 2-D : Loi d ’échelle et comparaison Les valeurs obtenues suivent les lois d ’échelle Ecart d ’environ 2% avec la théorie, pour les énergies globales (mieux que N.O.Weiss qui obtient des erreurs de 10 à 15%) Ecart d ’environ 10% avec la théorie, pour le maximum local (moins bien que N.O. Weiss qui obtient la bonne valeur théorique) Le ‘ scénario ’ de N.O. Weiss est vérifié

Conclusion + Validation du code de calcul 2-D - cas quasi 1-D : convergence de l ’erreur correcte - cas 2-D : Lois d ’échelle et scénario retrouvés Élaboration d ’un code de calcul 3-D cylindrique non cinématique (avec rétroaction du champ magnétique) Hydrodynamique Électromagnétique Couplage + Parallélisation Effet dynamo