DU TRAITEMENT DU SIGNAL BASES THEORIQUES DU TRAITEMENT DU SIGNAL ETUDE DES SIGNAUX DETERMINISTES ESINSA3 Thierry PITARQUE Université de Nice - Sophia Antipolis ESINSA I3S pitarque@unice.fr Je vais vous présenter les travaux effectués dans le cadre de ma thèse intitulé … Ces travaux ont été effectués au laboratoire I3S en collaboration avec la DCN ST-Tropez.

Plan du cours I Etude des signaux déterministes continus 1)Notion de signaux et systèmes 2)Energie et puissance 3)Représentation fréquentielle 4)Filtrage II Etude des signaux déterministes discrets 1)L’échantillonnage 2)Signaux déterministes discrets III Le TNS

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 4.2 Transmission de signaux

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 1) Notion de filtre : - On appelle filtre un système linéaire et invariant dans le temps. - Un filtre agit sur un signal d’entrée pour donner un signal de sortie. Les signaux ici sont continus. - Un filtre est représenté habituellement sous la forme suivante : - un système est dit linéaire s’il obéit au principe de superposition : alors un système est dit invariant dans le temps si son comportement se reproduit de façon identique au cours du temps : alors une propriété importante d’un système linéaire et que si on met à l’entrée une exponentielle complexe alors le signal de sortie est aussi une exponentielle complexe de module et de phase modifiées : filtre

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 1) Notion de filtre : - On caractérise un filtre par sa réponse en fréquences H(f) ou sa réponse impulsionnelle h(t). - 2 propriétés importantes pour un filtre : - un filtre est stable si à toute entrée bornée correspond une sortie bornée. mathématiquement la réponse impulsionnelle a une aire bornée : - un filtre est causal si la sortie ne précède pas l’entrée. mathématiquement la réponse impulsionnelle est causale :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 1) Notion de filtre : - En pratique un système n’est jamais linéaire quel que soit le signal d’entrée mais plutôt dans une gamme de fréquences ou pour une dynamique faible. - Les problèmes classiques de non linéarité sont la saturation, l’hystérésis et l’offset. - Voici la réponse impulsionnelle d’une salle de conférences :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 1) Notion de filtre : - exemples : - le modulateur est un système linéaire non invariant, ce n’est pas un filtre - le quadrateur est un système non linéaire invariant, ce n’est pas un filtre - le circuit RC est un système linéaire invariant, c’est un filtre. modulateur quadrateur

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 2) Filtrage fréquentiel - On appelle filtrage fréquentiel , le traitement consistant à augmenter, atténuer ou simplement supprimer certaines composantes fréquentielles d’un signal. - Le filtrage fréquentiel d’un signal est réalisé à l’aide d’un filtre. - La relation fondamentale d’un filtre est donnée par : Y(f) le spectre du signal de sortie y(t) est complexe X(f) le spectre du signal d’entrée x(t) est complexe H(f) la réponse en fréquences du filtre est complexe est le gain du filtre est la phase du filtre

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 2) Filtrage fréquentiel - Ne pas confondre la réponse en fréquences d’un filtre H(f) et sa fonction de transfert H(p). - H(p) permet l’étude des régimes transitoires des filtres, ce que ne permet pas la réponse en fréquences qui suppose le régime permanent établi. - Si le domaine de convergence de H(p) contient l’axe imaginaire , alors : - Par TF inverse - On appelle , la réponse impulsionnelle du filtre . - En effet si l’entrée est un dirac appelé aussi impulsion , la sortie du filtre est la réponse à une impulsion ou réponse impulsionnelle h(t). , le dirac étant l’élément neutre de la convolution. - Vérification :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 2) Filtrage fréquentiel - On remarque qu’une impulsion (signal transitoire) injectée à l’entrée d’un filtre ne donne pas un dirac mais un signal de durée finie alors qu’un cosinus (signal permanent) donne en sortie un cosinus déphasé et d’amplitude modifiée. - Physiquement, h(t) ne peut pas commencer avant t=0 puisque c’est la réponse à une impulsion en t=0 et que la sortie ne peut pas précéder l’entrée. h(t) doit etre causale. - Un filtre est dit physiquement réalisable s’il est causal et stable (a toute entrée bornée correspond une sortie bornée). t t 1 filtre filtre

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 3) Energie et puissance avant et après filtrage - Filtrer un signal revient également à lui prélever une partie de son énergie. Il est donc important de considérer les notions d’énergie du signal avant et après filtrage dans le temps et en fréquence. Pour les signaux périodiques, on considèrera la puissance. - Rappel : d’où Pour un signal à énergie finie, la Densité Spectrale d’Energie est définie par : - la relation fondamentale en énergie des filtres est donc : - Par TF inverse : avec -Rappel sur le théorème de Parseval :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 3) Energie et puissance avant et après filtrage - Pour les signaux périodiques, on considère la puissance puisque l’énergie est infinie : - Sa fonction d’autocorrélation est avec

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 3) Energie et puissance avant et après filtrage - Pour les signaux périodiques, la Densité Spectrale de Puissance est la TF de la fonction d’autocorrélation : - De même que le spectre d’un signal périodique est une suite infinie de diracs de poids complexe Xn, la DSP est une suite infinie de diracs de poids réel - La puissance moyenne P est l’intégrale de la DSP : - Le théorème de Parseval devient : en fréquence, la puissance est la somme infinie des poids

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 4) Fenêtrage temporel - On appelle fenêtrage temporel, l’action de multiplier un signal de durée infinie x(t) par une “fenêtre” w(t) pour obtenir un signal de durée finie plus proche d’un signal physique. - La fenêtre la plus simple est la fenêtre rectangulaire mais il en existe bien d’autres (Hamming, Hanning, Kaiser, Harris, Blackmann, triangulaire, Bartlett, Chebychev, …).

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 4) Fenêtrage temporel - L’effet de cette fenêtre temporelle sur le spectre du signal est très important : - Un fenêtrage temporel correspond à une convolution des spectres du signal de départ et de la fenêtre. - Ne pas confondre le fenêtrage avec le filtrage d’un signal : - Exemple du fenêtrage d’un cosinus par une fenêtre rectangulaire : f 1/2 f0 -f0

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 4) Fenêtrage temporel. - pour un cosinus x(t) et la fenêtre de Hanning w(t) : f 1/2 f0 -f0

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 4) Analyse d’un filtre en blocs-diagramme. - Très souvent, un système général peut être décomposé en sous-systèmes soit en série, soit parallèles ou bouclés. - Si chaque sous-système est un système linéaire invariant dans le temps, c.a.d. un filtre, le système général est aussi un filtre dont on peut calculer la réponse en fréquences globale H(f) à partir des réponses en fréquences des sous-systèmes : - exemple 1 : pour des filtres en série, H(f) est le produit des réponses en fréquences. - exemple 2 : pour des filtres en parallèle, H(f) est la somme des réponses en fréquences. H1(f) H2(f) H1(f) H2(f)

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 4) Analyse d’un filtre en blocs-diagramme. - exemple 3 : pour un filtre avec rebouclage, H(f) est donné par : -Attention, chaque réponse en fréquences individuelle doit tenir compte des autres sous-systèmes ou bien être isolée des filtres suivants ( par exemple en électronique avec un ampli opérationnel). H1(f) H2(f)

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 5) filtres élémentaires. - Voici quelques réponses en fréquences de filtres simples. - Le gain pur : - Le dérivateur : - L’intégrateur : - Le retard pur : (sa réponse impulsionnelle est un dirac retardé) H(f)

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 5) filtres élémentaires. - Soit le filtre passe-bas élémentaire : - Que se passe-t-il si on met à l’entrée un signal périodique ? (le signal de sortie est-il périodique ? peut-il être à énergie finie ?) f f Xn -F0 -2F0 2F0 F0

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 5) filtres élémentaires. - si F0 < B/2 < 2F0 , on ne garde que le continu et le fondamental : - si x(t) est un signal réel, X0 est réel et le signal de sortie est périodique : - si B/2 < F0 , on ne garde que le continu, le signal de sortie n’est pas périodique mais il n’est pas à énergie finie. f f -F0 F0

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 5) filtres élémentaires. - en puissance : - si F0 < B/2 < 2F0 et x(t) réel - si B/2 < F0, le signal y(t)=KX0 n’est pas périodique f -F0 -2F0 2F0 F0 f -F0 F0 f

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 6) filtres sans distorsion. - On a vu qu’un filtre modifiait l’amplitude et la phase des composantes sinusoidales du signal d’entrée. - En filtrage, ceci peut être voulu, par exemple, pour ne garder que les fréquences basses d’un signal. - En transmissionde signal, au contraire, on souhaite transmettre un signal d’un point à un autre sans distorsion. - On suppose que le canal de transmission peut être modélisé idéalement comme un système linéaire invariant dans le temps, c.a.d. un filtre. - On définit le canal sans distorsion idéal , d’atténuation K et de retard t0 c.a.d. le filtre de gain K et de retard t0 sur le signal d’entrée x(t). - Idéalement, à la réception on a le signal y(t) : - D’où la réponse en fréquences idéale H(f) du canal sans distorsion et sa réponse impulsionnelle :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 6) filtres sans distorsion. - pour réaliser un canal sans distorsion, il faut un gain constant quelle que soit la fréquence et une phase fonction linéaire négative de la fréquence. - ceci est irréalisable physiquement car la réponse impulsionnelle est un dirac. - En fait, en pratique, on souhaite réaliser ces conditions seulement pour les fréquences où le signal d’entrée a un contenu spectral. - On dit que la bande passante du canal doit contenir le support fréquentiel du signal à l’entrée du canal de transmission. - En pratique si on souhaite transmettre de la parole dont voici la densité spectrale d’énergie, Il suffit que le filtre pour 3400 300 f en Hz

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 6) filtres sans distorsion. - En pratique dès qu’on s’éloigne du canal idéal on a distorsion linéaire : - on a distorsion d’amplitude si - on a distorsion de phase si - S’il y a des éléments non linéaires dans le canal de transmission, on a alors de la distorsion non linéaire.

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 6) filtres sans distorsion. a) filtre sans distorsion passe-bas - Si la bande passante du canal de transmission est de la forme [-B,B] on dit qu’on a un canal de transmission ( ou un filtre) sans distorsion idéal passe-bas. A l’aide du théorème de la dualité, D’où f f t

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 6) filtres sans distorsion. - le filtre sans distorsion passe-bas idéal n’est pas réalisable physiquement puisque sa réponse impulsionnelle n’est pas causale. Mais si on accepte un retard suffisant, on peut réaliser un filtre qui se rapproche du filtre idéal. Il suffit de considérer h(t) comme négligeable avant un temps -t1, de retarder h(t) de t1 et de garder la partie causale du signal obtenu : On peut aussi augmenter le temps de transmission t0 t t

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 6) filtres sans distorsion. b) filtre sans distorsion passe-bande - Si la bande passante du canal de transmission est de la forme [-F0-B,-F0+B]U [F0-B,F0+B] on dit qu’on a un canal de transmission ( ou un filtre) sans distorsion idéal passe-bande. La réponse en fréquences de ce canal idéal est : f f

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 6) filtres sans distorsion. c) filtre sans distorsion passe-haut - Si la bande atténuée du canal de transmission est de la forme [-B,B], on dit qu’on a un canal de transmission ( ou un filtre) sans distorsion idéal passe-haut. La réponse en fréquences de ce canal idéal est : d) filtre sans distorsion coupe-bande ou réjecteur - Si la bande atténuée du canal de transmission est de la forme [-F2,-F1]U [F1,F2], on dit qu’on a un filtre coupe-bande sans distorsion. La réponse en fréquences de ce filtre idéal est : Si F2-F1 est faible devant F1, on parle de filtre réjecteur.

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 7) distorsion linéaire. a) distorsion d’amplitude La distorsion d’amplitude signifie que certaines composantes fréquentielles du signal d’entrée n’ont pas été atténuées de la même façon par le filtre. Ex. Soit un signal de départ ~ carré atténuation basses fréquences atténuation hautes fréquences Expérimentalement on souhaite contrôler le module de la réponse en fréquences du filtre. D’où un gabarit qui précise les tolérances acceptées dans la bande passante et ailleurs . Fp : limite de la bande passante [Fp,Fa] : bande de transition Fa : limite de la bande atténuée d1 : atténuation dans la bande passante d2 : atténuation dans la bande atténuée f

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 7) distorsion linéaire. b) distorsion de phase Si le déphasage du filtre n’est pas linéaire en fonction de la fréquence, chaque composante fréquentielle du signal d’entrée subit un retard différent et le résultat donne la distorsion de phase. Le retard s’obtient pour chaque fréquence à partir de la phase avec la formule : Le délai de groupe est défini par : Dans le cas d’un filtre idéal, et Expérimentalement, la solution à la distorsion de phase s’appelle l’égalisation. Principe de l’égalisation : L’oreille humaine est insensible à la distorsion de phase : Somme de 2 sinus à 950 Hz et 2700 Hz, Somme de 2 sinus à 950 Hz et 2700 Hz déphasé de pi/4, pour écouter ce signal cliquer ici : pour écouter ce signal cliquer ici :

I Etude des signaux déterministes continus 4) Filtrage 4.1 Filtrage de signaux continus 8) distorsion non linéaire. La distorsion non linéaire est obtenue s’il existe des éléments non linéaires dans le canal de transmission. Modéliser un système non linéaire n’est pas simple car il n’ y a pas de représentation générale entre l’entrée et la sortie du système. Une caractéristique d’un système non linéaire est de faire apparaître des composantes fréquentielles absentes du signal d’entrée. Par exemple si à l’entrée du quadrateur y(t) = x(t)2, on met un cosinus de fréquence F0, on retrouve en sortie , une composante continue et un cosinus de fréquence double 2F0 : On ne peut plus utiliser la fonction de transfert mais on peut développer suivant les puissances de x(t) : Les puissances X(f)*X(f), X(f)*X(f)*X(f), …, donnent la distorsion non linéaire