Transmittance complexe Diagramme de Bode Fonction de transfert Enseignement d’électronique de Première Année – Module GE2 IUT de Chateauroux

Quadripôles Définition Représentation circuit électrique possédant deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie il est dit linéaire s’il ne comporte que des éléments linéaires il est dit passif s’il ne comporte que des composants passifs (résistance, inductance, capacité) Représentation V1 et I1 sont aussi notés Ve et Ie (idem (V2,I2) <=> (Vs,Is) )

Filtres Quadripôle répondant à des critères de comportement en fonction de la fréquence Il peut agir sur l’amplitude du signal (pour supprimer certaines bandes de fréquences) Ou agir sur la phase du signal sans changer l’amplitude (filtre à temps de propagation de groupes constant par exemple)

Transmittance complexe Définition C’est le rapport, en notation complexe, qui existe entre la tension en sortie du quadripôle et la tension en entrée de ce quadripôle Mathématiquement : Note : ce calcul s’effectue en régime harmonique donc en utilisant les impédances complexes des éléments du circuit (ZL(jw) = Ljw pour une inductance …)

Transmittance complexe Exemple : circuit RC Calcul de T(jw) loi des mailles : et loi d’Ohm : élimination de I : finalement : w0 est la pulsation de coupure du circuit on note t0 la constante de temps du circuit

Gain et déphasage Gain Déphasage Il exprime le rapport de l’amplitude du signal de sortie sur l’amplitude du signal d’entrée en décibel (dB) Déphasage Il exprime le décalage angulaire (en degré ou radian) sur un diagramme de Fresnel entre les signaux d’entrée et de sortie

Gain et déphasage Exemple : circuit RC Rappel Gain soit : Déphasage

Diagramme de Bode Définition : c’est la représentation graphique de G(w) et de j(w) sur un diagramme semi-logarithmique

Diagramme de Bode Exemple : circuit RC

Diagramme Asymptotique Justification du diagramme de Bode asymptotique Soit : Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain Cas de l’amplitude pour L’atténuation étant faible, on l’assimile à une constante égale au gain en 0, ici 0 dB d’où une asymptote horizontale à Y=0 pour Pour on peut écrire : Dans ce repère cartésien, l’équation du gain s’écrit : où X0 correspond à w0 C’est une droite qui passe par Y=0dB en w = w0 avec une pente de -20dB par décade (Y diminue de 20dB pour un accroissement unitaire de X ce qui représente 1 décade)

Différents types de filtres Avec critère en amplitude Filtre passe-bas : on laisse passer les signaux de en deça d’une fréquence F0 et on les atténue au-delà Filtre passe-bande : on laisse passer les fréquences comprises entre F1 et F2; les signaux à F<F1 et F>F2 sont atténués Filtre passe-haut : on préserve les signaux à F>F0 et on atténue ceux à F<F0 |Vs| 0dB F0 F |Vs| F0 F |Vs| 0dB F0 F |Ve| |Ve| |Ve| |Vs| 0dB F0 F |Ve| |Vs| F1 F2 F |Ve| |Ve| |Vs| F0 F |Vs| 0dB F0 F |Vs| 0dB F0 F |Ve| |Ve| |Ve|

Différents types de filtres Critères en amplitude (suite) Filtre coupe bande : on supprime les signaux à F compris entre F1 et F2 Réjecteur de fréquence : on supprime 1 ou plusieurs fréquences Critères de phase On impose un retard constant ou déterminer en fonction de la fréquence au signal |Vs| 0dB F0 F |Vs| 0dB F0 F |Ve| |Vs| F1 F2 F |Ve| |Ve| |Vs| F0 F |Vs| 0dB F0 F |Vs| 0dB F0 F |Ve| |Ve| |Ve| js F je

Ordres des filtres Pente de coupure Filtre du premier ordre On ne peut pas réaliser une coupure aussi franche que sur les exemples précédents Pente de coupure = ordre du filtre x 20 dB/décade Filtre du premier ordre La pente sera de 20dB par décade Conséquences Le signal continue à passer après la fréquence de coupure Il faut un ordre important pour une coupure franche Ordre élevé = composants nombreux; sensibilité à la tolérance plus importante

Visualisation de l’ordre sur un passe-bas 0dB w0/10 w0 10w0 w Ordre 1 : Pente à -20dB/décade -20dB Ordre 2 : Pente à -40dB/décade -40dB -60dB Ordre 3 : Pente à -60dB/décade Calcul à 10w0 : -20dB signifie que l’amplitude est divisée par 10 -40 dB signifie une division de l’amplitude par 100 -60 dB implique une division par 1000 de l’amplitude

Filtre passe-bas d’ordre 1 Transmittance complexe du passe-bas Gain Déphasage Diagramme de Bode 0dB w0/10 w0 10w0 w 0 w0/10 w0 10w0 w Pente à -20dB/décade -p/2 -20dB -20dB

Filtre passe-bas d’ordre 1 Réponse temporelle à un échelon de tension Définition de Ve A partir de la transmittance complexe Passage au domaine temporel (voir math fin d’année) Multiplier par jw implique une dérivation, d’où l’équation différentielle : Se résolvant en : en prenant une condition initiale nulle

Filtre passe-bas d’ordre 1 En vert, l’entrée avec E = 5v En rouge, le signal de sortie (constante de temps = 1s)

Filtre passe-bas d’ordre 1 Réalisations passives Circuit RC Circuit LR Réalisations actives

Filtre passe-bas d’ordre 2 Transmittance complexe du passe-bas Où w0 est la pulsation naturelle du filtre Et m le coefficient d’amortissement du filtre (m>0) Note : ce filtre est factorisable dans certains cas. Posons : il s’agit de factoriser dans R le dénominateur de T : C’est possible si et on a alors avec

Filtre passe-bas d’ordre 2 Transmittance complexe du passe-bas (suite) Pour m<1, T n’est pas factorisable Gain Remarque : on montre que pour , le gain présente un maximum en appelé pulsation de résonnance. Déphasage On établit la continuité de la phase en prenant

Filtre passe-bas d’ordre 2 Diagramme de Bode : l’amplitude (tracé pour fo=1Hz)

Filtre passe-bas d’ordre 2 Diagramme de Bode réel : déphasage Points particuliers Pour m>1, la courbe de déphasage possède 2 points d’inflexion Pour m<1, point d’inflexion unique en w=w0 (réciproquement en f=fo)

Filtre passe-bas d’ordre 2 Réponse à 1 échelon de tension Transformation fréquentielle  temporelle Cas usuel : on considère

Filtre passe-bas d’ordre 2 Résolution de l’équation caractéristique 2 cas de figure concrêts possibles m<1 soit D’<0 2 racines complexes conjuguées avec m>1 soit D’>0 2 racines réelles distinctes Note :

Filtre passe-bas d’ordre 2 Solution pour m<1 Conditions initiales Rappel : Solution pour m>1 Conditions initiales

Filtre passe-bas d’ordre 2 Tracé de la réponse à un échelon

Réalisations En actif En passif Structure de Sallen-Key Cellule de Rauch

Transmittance complexe Forme généralisée les w1i et w2i sont les pulsations de coupure des termes du premier ordre les w3i et w3i sont les pulsations naturelles des termes du second ordre les m3i et m4i sont les coefficients d ’amortissement des termes du second ordre K est un gain (dit « gain statique » lorsque u = 0)

Gain Déphasage Diagramme de Bode Note : si alors et si alors 0dB w0 w

Gain Déphasage Diagramme de Bode Note : (on considère toujours w > 0) Déphasage Diagramme de Bode p/2 Pente à +20dB/décade 20dB 0dB w0/10 w0 10w0 w 0 w0/10 w0 10w0 w -20dB

Justification du diagramme de Bode Soit : Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain Dans ce repère cartésien, l’équation du gain s’écrit : où X0 correspond avec w0 C’est une droite qui passe par Y=0dB en w = w0 avec une pente de +20dB par décade (Y augmente de 20dB pour un accroissement unitaire de X ce qui représente 1 décade)

Gain Déphasage Diagramme de Bode Note : et 20dB p/2 Pente à +20dB/décade 20dB p/2 0dB w0/10 w0 10w0 w 0 w0/10 w0 10w0 w -20dB

Gain Notes : si m > 1 le polynôme admet deux solutions réelles et T(jw) se factorise en et on se ramène à l’étude précédente si , le diagramme réel possède un dépassement. On appelle pulsation de résonance wc la pulsation telle que Déphasage

Diagramme de Bode 40dB p 0dB w0/10 w0 10w0 w 0 w0/10 w0 10w0 w -40dB Pente à +40dB/décade 40dB p 0dB w0/10 w0 10w0 w 0 w0/10 w0 10w0 w -40dB

Inverse d’une transmittance Le diagramme de 1/T(jw) s’obtient facilement à partir du diagramme de T(jw) en changeant les signes du gain et du déphasage 0dB w0 w 0 w0 w

Exemple pour Gain Déphasage Diagramme de Bode 0dB w0/10 w0 10w0 w Pente à -20dB/décade -p/2 -20dB -20dB

Produit de transmittances Le diagramme de Bode du produit de deux transmittances complexes s’obtient en faisant la somme des diagrammes de Bode de chacune des transmittances Soit : Soit G1 et j1 le gain et déphasage de T1(jw) Soit G2 et j2 le gain et déphasage de T2(jw) On a donc :

Exemple : K>1 Gain -20dB 0dB w1/10 w1 w2 10w2 w Pente à -20dB/décade -20dB 0dB w1/10 w1 w2 10w2 w Pente à -40dB/décade

Exemple : K>1 Déphasage 0 w1/10 w1 w2 10w2 w -p/2 -p

Domaine de Laplace L’étude d ’un quadripôle en régime harmonique se fait avec la transmittance complexe. Pour des études plus complexes, on recherche la fonction de transfert de Q on la note H(p)=V2(p)/V1(p) Pour déterminer H(p), on utilise les impédances complexes généralisées pour la résistance : R(p) = R pour la capacité : C(p) = 1/Cp pour l’inductance : L(p) = Lp Remarque : p, variable de Laplace, est un complexe

Domaine de Laplace Remarques pour passer du domaine de Laplace au régime harmonique, on prend p = jw on peut aussi, sous certaines conditions, passer du domaine temporel au domaine de Laplace par le biais d’une transformation dite « Transformation de Laplace » (l’inversion est aussi possible, cf. mathématiques 2ième d’année) intérêts en électronique l’assurance de conserver des polynômes en jw sans simplifier les j2 déterminer plus facilement les réponses à des signaux assez complexes