Les Maths sont plus faciles avec Monsieur 1ère préparatoire Les Maths sont plus faciles avec Monsieur Emad Sabet Tel: 0124665267 – 24923087 Emado_maths@hotmail.com Emado_maths@yahoo.com Maths-blog.co.cc

Expressions d`un ensemble Les ensembles Un ensemble est: un collection d`objet bien définis Les objets qui forment un ensemble sont appelés les éléments. Expressions d`un ensemble 1) Par une liste : X= {1, 2, 3, 4, 5} , Y= {a, b} - on désigne l`ensemble par une lettre majuscule X, Y, Z, A, B,…. - écris les éléments en les séparent par une virgule 1, 2, 3, 4,…… - entoure les éléments par des accolades { } ne répètes pas l`élément. L`ensemble des chiffres de 3272 est {3, 2, 7} - l`ordre n`a pas d`importance {3,5} = {5,3} il faut faire la différence entre 5 est {5}. 5 est un élément mais {5} est un ensemble. Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

2) Par une propriété caractéristique : X = {a : a est un nombre impair, 1< a <9} Exemple : Exprime par une liste puis par une propriété caractéristique l`ensemble des nombres pairs de 4 à 92 Solution Par une liste : X = {4, 6, 8, 10,…….90, 92} Par une propriété caractéristique: X = {a : a est un nombre pair, 4 ≤ a ≤ 92} 3) l`ensemble vide ou phi Ø : ne contient aucun élément { } Exemple : L`ensemble des nombres entiers compris entre 1 et 2 est { } ou Ø Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

appartenances ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ Sortie se lit appartient à 7 {2, 7, 5} ∩ ∩ ∩ se lit n`appartient pas à 7 {2, 3, 5} ∩ et utilisent avec les éléments ∩ ∩ se lit partie de ou inclus dans {7} {2, 7, 5} ∩ ∩ se lit n`est pas une partie de ou n`est pas inclus dans {7} {2, 3, 5} ∩ ∩ et utilisent avec les ensembles ∩ Ø est inclus dans n`importe quel autre ensemble. Ø {2, 7, 5} ∩ Ø {a, b} ∩ Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Intersection : ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ Exemple : ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ Sortie A B se lit A inter B ∩ A B = les éléments communs ∩ ∩ X Y = {x:x X et x Y} ∩ ∩ Exemple : Si A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 5, 6} *1 *5 ∩ Alors A B = {3, 4} *3 *4 *2 *6 X Y = Y X ∩ ∩ X Ø = Ø ∩ Si X = {1, 2, 3} , Y = {4, 5, 6} représente X Y ∩ ∩ alors A B = Ø Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Union ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ Exemple : ∩ Sortie A B se lit A union B A B = tous les éléments de A et B ∩ ne répètes pas les éléments X Y = {x:x X ou x Y} ∩ ∩ ∩ Exemple : Si A = {3,4,6} , B = {4, 5, 6, 9} *5 *3 *4 Alors A B = ∩ {3, 4, 6, 5, 9} *6 *9 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Ensemble référentiel E ou U: contient tous les éléments La différence ( - ) X – Y = {x:x X , x Y} ∩ ∩ X = {1,2,3} , Y = {2,3,5} alors X – Y = {1} alors Y – X = {5} Complémentaire X\ , Y\ Ensemble référentiel E ou U: contient tous les éléments X\ = {x:x E , x X} ∩ ∩ E Exemple : 1 X 3 8 9 4 E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , X = {2,5,6,7} 6 2 7 5 X\ = {1,3,4,8,9} Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Les nombres naturels N N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,……} Remarques: Nombres de compte = {1,2,3,4,…..} 1) Le plus petit nombre naturel est le zéro 2) Les nombres pairs naturels sont {0,2,4,6,….} Le plus petit nombre pair est zéro 3) Les nombres impairs naturels sont {1,3,5,7,…} Le plus petit nombre impair est 1 4)Les nombres premiers sont {2,3,5,7,11,13,17,…} Le plus petit nombre premier est 2 0 et 1 ne sont pas nombres premiers Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

et on l’écrit sous la forme 16 = 24 Les facteurs d`un nombre alors 3 et 5 chacun est appelé un facteur de 15 15 = 3 × 5 Si tous les facteurs sont égaux, alors le produit est appelé Puissances par exemple : 16 = 2 × 2 × 2 × 2 et on l’écrit sous la forme 16 = 24 2 est appelé la base et 4 est appelé la puissance Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

13 = 1×1×1=1 , 23 = 2×2×2=8 33 = 3×3×3=27 , 43 = les nombres carrés: C`est les nombres qui peuvent être représentés par des carrés 12 = 1×1= 1 , 22 = 2×2 = 4 , 32 = 3×3 = 9 4×4 = 16 , 52 = 5×5 = 25 42 = les nombres cubes: C`est les nombres qui peuvent être écrits par des cubes 13 = 1×1×1=1 , 23 = 2×2×2=8 33 = 3×3×3=27 , 43 = 4×4×4=64 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

x0 se lit x puissance zéro. Pour tout nombre x : x0 =1 tel que (x ≠ 0) x0 se lit x puissance zéro. il est égal à 1 10 = 1 , 20 = 1 , 30 = 1 , 40 = 1 , 50 = 1 4 16 1 9 1 8 27 22 32 42 12 Quel est le nombre de carrés de la cinquième figure? 13 23 33 Quel est le nombre de cubes de la quatrième figure? 52 = 25 43 = 64 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Les nombres entiers Z {……., , 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….} Z = -5, -4, -3, -2, -1, Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …….} nombres entiers positifs Z- = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, ..….} nombres entiers négatifs Le plus grand nombre négatif est -1 Le zéro ni positive ni négatif Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Choisi N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z- Z- N , Z , Z+ , Z- , Z- Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

0 est l`origine de la droite numérique Les nombres rangements du plus petit au plus grand de gauche à droite. Les nombres positifs à droite le zéro Les nombres négatifs à gauche le zéro 4 < 6 (< inférieur à) et 5 > 2 (> supérieur à) -4 < -1 , 5 > -2 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

b) le grand nombre négatif est le plus petit -5 -2 < La comparaison a) 0 < les nombres positifs 0 < 3 , 0 > les nombres négatifs 0 > -2 b) le grand nombre négatif est le plus petit -5 -2 < c) le nombre positif > le nombre négatif 3 > -7 Exercices : a) Range dans l`ordre croissant 3 , -5 , 7 , -2 , 0 , 1 Solution : -5 , -2 , 0 , 1 , 3 , 7 b) mets le signe convenable < , >  1) 3 ..… 0 2) -9 ….. -2 3) 1 ….. -1 4) 0 ….. -5 5) -2 ..…. 7 6) 3 .…. 8 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Les opérations dans Z : +, –, x, ÷ 1) L`addition et la soustraction : -5 , 3 + 4 = 7 , 5a + 2a = 7a , 10X – X = 9X Si les deux nombres ont les mêmes signes on prend le même signe et on addition. b) -5 +7 = 2 , 3 – 9 = -6 Si les deux nombres ont des signes différents on prend le signe du plus grand nombre et on soustrait. c) - 4+4 = , 6 – 6 = Si les deux nombres sont égaux et ont des signes différents Alors le résultat est 0 d) -3+5-6+2+7-8= 14 - 17 = - 3 Si on a plusieurs des signes on addition les nombres positifs ensemble et les nombres négatifs ensemble Monsieur/ Emad Sabet

2) La multiplication et la division : , +×+ = + , +×– = – , –×+= – –2 × –3 = 6 , 4 × 5 = 20 , 2 ×– 4= –8 , –3×4 = –12 5×a = 5a , -3×b = -3b , x×Y = XY b) – ÷ – = + , + ÷ + = + , + ÷ – = – , – ÷ += – –8 ÷ –2 = 4 , 6 ÷ 3 = 2 , 6 ÷ – 2 = – 3 , –12 ÷ 6 = –2 - 4 2 9a 9 3X 3 = 0 = n`a pas de sens = a = X c) suppression les parenthèses : (-3) + 5 + (-12) + 8 – (-2) = - 3 + 5 -12 +8 +2 = 15 -15 = 0 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

| | Valeur absolue |3| = 3 et |-3| = 3 | | Le nombre d’unités de 0 à 3 est égal au nombre d’unités de 0 à –3 tandis que 3 et –3 sont dans des sens opposés du nombre zéro. Le symbole| |est utilisé pour exprimer la valeur absolue |3| = 3 et |-3| = 3 Si |x|= 5 alors x = 5 ou x = -5 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

- - 5 a) |-5|=…… b) |-6|+|4|=….. c) –[|-7|-|-1|]=…… Exemble Complète : 5 a) |-5|=…… b) |-6|+|4|=….. c) –[|-7|-|-1|]=…… d) Si |x|= 9 alors x =….. ou ….. e) Si |C|=10 alors C=….. ou ….. 6 + 4 = 10 - [7 - 1] = - 6 9 -9 10 -10 Simplifie: - , -|-4|= 4 |-6|-|3| = 6 – 3 = 3 - (5 + 1) = - 6 -(|-5|+|-1|) = Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Les nombres Rationnels Q Un nombre rationnel peut être écrit sous la forme où a et b sont des nombres entiers et b ≠ 0 Exemples : N={0,1,2,3,4,5,6,…..}, Z={……,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…..} Z+={1,2,3,4,5,…..} , Z-={-1,-2,-3,-4,-5,……}, Z*= Z - {0} N Z Q*= Q - {0} Q Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Remarques: 1) Chaque nombre rationnel est représente représente les nombres rationnels sur la droite numérique Remarques: 1) Chaque nombre rationnel est représente par un point unique d`une droite graduée ; X X 2) Les nombres rationnels égaux sont représentes par le même point d`une droite numérique X Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

X Sortie X Suivant précédent représente les nombres rationnels suivantes sur la droite numérique , 1 -1 X 1 -1 X Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Remarques: Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Écris quatre nombres égal le nombre Remarques: 5) = n`a pas de sens, n`a pas de sens 6) un nombre rationnel peut s`écrire sous une infinité de forme Écris quatre nombres égal le nombre 7) est un nombre entier si a est divisible par b, Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Formes différentes d’un nombre rationnel Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Ecris le nombre 0.581 sous la forme d`un nombre rationnel Exemple 1: . . Ecris le nombre 0.581 sous la forme d`un nombre rationnel Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

- - - Sortie Comparaison et ordre dans Q 2 5 a) 0 < le nombre positif, < 2 5 0 > le nombre négatif - > 4 5 2 5 - b) le grand nombre négatif est le plus petit - < 1 5 4 5 c) le nombre positif > le nombre négatif > - Range dans l`ordre croissant les nombres: L`ordre croissant Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Exemple1: 6 2 - 3 2 5 2 2 8 2 On met le même dénominateurs - -4 -3 -2 1 2 3 -1 X X X X X 6 2 5 2 2 3 2 8 2 l`ordre décroissant - - Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Exemple 2: Sortie a b c d c d et a b si a x d > b x c alors > On met le même dénominateurs Entre deux nombres rationnels il y a infinité des nombres Rationnels 4 5 2 3 Exemple 4: Trouve trois nombres rationnels compris entre et 12 15 10 15 On met le même dénominateurs il y a un nombre 21 30 22 30 23 30 24 30 20 30 On multiple x 2 Les trois nombres sont Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

, Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie 2 + 3 = 3 + 2 , ( ) 2 + 3 + 4 = 2 + 3 + 4 ( ) ( ) ( ) Suivant la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel 2 + 3 = 3 + 2 , ( ) 2 + 3 + 4 = 2 + 3 + 4 ( ) ( ) ( ) Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Complète le tableau: Sortie Suivant précédent L`opposé de 0 est 0 , Le 0 ni positif ni négatif Complète le tableau: Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Exemple: Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

- X - = - x + = - , - + , + x + = + , + x - = - 2 X -3 = 6 , 2 x 3 = -6 , 2 x -3 = -6 5 1 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

2 x 3 = 3 x 2 ( ) 2 x 3 x 4 = 2 x 3 x 4 ( ) ( ) ( ) Sortie Suivant Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel 2 x 3 = 3 x 2 ( ) 2 x 3 x 4 = 2 x 3 x 4 ( ) ( ) ( ) Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

0 , Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

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Le terme algébrique 5 se compose de deux facteurs Sortie 2a , - 4x2Y , 3ab , X , 5 Sont des termes algébrique Un terme algébrique est le produit de deux facteurs au moins. 2a se compose de deux facteurs (2 facteur numérique ou coéfficient) (a facteur algébrique) - 4X2Y se compose de quatre facteurs - 4 , X , X , Y X se compose de deux facteurs (car X = 1X) (1 facteur numérique ou coéfficient) (x facteur algébrique) 5 se compose de deux facteurs 5X0 (X0 = 1) (5 x 1 = 5) (5 facteur numérique ou coéfficient) Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

C`est la somme des puissances des symboles Le degré d`un terme C`est la somme des puissances des symboles =5X0 X=X1 2a1b1 5 Zéro degré , X premiere degré , 2ab deuxième degré 4x2Y troisième degré , -3a2b2 quatrième degré Compléte le tableau : Terme algébrique Coéfficient Degré 3 7ab3c -8X2b XY2 3 5 7 -8 3 1 3 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

L`expression algébrique Une expression algébrique est la somme de deux termes au moins 5x+2 , a – 4 , a2 +3a - 1 , - 4x2Y + XY - X Sont des expressions algébrique Remarques : 3a5b Un terme monome 3X2 + Y deux termes binome 5X3 – 7X + 4 trois termes trinome 2x3 + 3X2 – X + 5 plus que trois termes Polynome Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

3 trinome 5 binome 2 5 polynome 4 5 Sortie 4X3 – XY + 5 Le degré d`un expression Le degré d`un expression est la plus grand degré des terme 4X3 – XY + 5 (troisieme degre) 2X2 +x – 3 (deuxieme degre) X – 5 (premiere degre) X3Y3 – X2Y2 + XY – 2 (sixieme degre) Complete le tableau : Expression algebrique Nombre de termes Nom degre 2a2b+3ab2 –a2cb2 X2Y2 – 3XY4 a2b-3ab3+2a3b2+b4 3 trinome 5 binome 2 5 polynome 4 5 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Termes semblables 2X , 4X , X , -3X sont des termes semblables Les termes semblables ont même lettre et même puissance 2X , 4X , X , -3X sont des termes semblables a2b, -5a2b, 3ba2 sont des termes semblables X, X2, X3 ne sont pas des termes semblables ab2, a2b, a2b2 ne sont pas des termes semblables Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Addition et soustraction des termes semblables Pour additionner ou soustraction des termes semblables On additionne et soustrait les coeffitions des termes semblables Exemple 1: Reduis l`expression algebrique 9a – 4b – 2c – 5a + 7b +3c solution (9a – 5a) + (– 4b +7b) + (– 2c + 3c) = 4a + 3b + c Exemple 2: Dans la figure ci-contre, donne l`expression algebrique qui exprime la somme des aires des rectangles solution la somme des aires des rectangles = 3X2 + 11X + 6 3X2 + 2X + 9X + 6 = Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Exemple : Reduis l`expressions algebrique : 3X2Y + 4XY2 – 2Y3 + 3 + X2Y + 3Y3 - 4 solution (3X2Y + X2Y) + + 4XY2 (- 2Y3 + 3Y3) + (3 – 4) 4X2Y + 4XY2 + Y3 – 1 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

1) - X - = + , + x + = + , - x + = - , + x - = - 2) a x a = a2 , Multiplication des termes algebriques On multiple le signe x le signe le nombre x le nombre, lettre x lettre Remarques: 1) - X - = + , + x + = + , - x + = - , + x - = - 2) a x a = a2 , 2 x a = 2a , a x b = ab 5a 3b = 15ab 5X2 3X3 = 15X5 am an = am+n Pour la multiplication, on additionne les puissances si les bases sont semblables. X2 X3 = X5 , -2X6 -5X2 = 10X8 Exemple : Un rectangle de 4cm de longueur et 3cm de largeur calcule son aire solution 4X×3X = Aire du rectangle = longueur× largeur = 12X2 cm2 Trouve : 2X3×5X2Y×(-3XY3) = - 30 X6 Y4 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Suivant précédent Dans La figure ci-contre X x X = X2 a) Aire de A = ……………. X x Y = XY b) Aire de B = ……………. X x Y = XY c) Aire de C = ……………. d) Aires de A + B + C = ….. X2 + XY+ XY = X2 +2XY X2 2XY e) complete: X(X+2Y) =……. + …….. Dans La figure ci-contre X x X = X2 a) Aire de A = ……………. X(3Y-X) = 3XY –X2 b) Aire de B = ……………. X2 +3XY–X2 = 3XY c) Aire de A + B = ……………. Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

On divise le signe÷le signe le nombre÷le nombre Lettre÷lettre division des termes algebriques On divise le signe÷le signe le nombre÷le nombre Lettre÷lettre Remarques: 1) - ÷ - = + , + ÷ + = + , - ÷ + = - , + ÷ - = - 2) a5 ÷ a2 = a3, -2a2 ÷ a = -2a , a2 ÷a2 = 1 Pour la division, on soustrait les puissances si les bases sont semblables. Exemples , , Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Exemple : On met 3 boules dans une boite comme indique la figure. calcule le rapport entre le volume des 3 boules et la capacite de la boite solution le diametre est 2r , la longueur de la boite = 2r + 2r + 2r = 6r la largeur de la boite = 2r la hauteur de la boite = 2r Volume de la boite = L×l×h = 6r×2r×2r = 24r3 Volume des 3 boules Le rapport = Capacite de la boite = = = 1 : 2 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

3X2 - 4X - 2 - X2 - 4X + 7 = 2X2 - 8X + 5 Sortie Addition et soustraction des expressions algebriques Exemple1: Additionne les expressions algebriques 2X – 5Z + Y et 7X + 4Y – 2Z solution Methode horizontale Methode verticale 2X – 5Z + Y + 7X + 4Y – 2Z 7X + 4Y - 2Z 2X + Y – 5Z (2X+7X)+ (-5Z -2Z)+ (Y + 4Y) = 9X -7Z +5Y 9X +5Z -7Z Exemple 2 : Determine la somme: 3X2 - 4X - 2 et - X2 - 4X+7 solution 3X2 - 4X - 2 - X2 - 4X + 7 = 2X2 - 8X + 5 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Exemple 3 : solution Soustrait :- deuxieme – (premiere) soustrait l`expression -a2-5ab+4b2 de l`expression 3a2-2ab-2b2 solution Soustrait :- deuxieme – (premiere) 3a2-2ab-2b2 – (-a2-5ab+4b2)= 3a2-2ab-2b2 + a2 + 5ab - 4b2 = (3a2 +a2 ) + (-2ab + 5ab) + (-2b2 - 4b2) = 4a2 + 3ab - 6b2 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Exemple 4 : Quelle est l`augmentation de X2 - 5X - 1 à solution Augmentation : premiere – (deuxieme) X2 - 5X - 1 - (3X2 + 2X – 3) = X2 - 5X - 1 - 3X2 - 2X + 3 = - 2X2 - 7X + 2 Exemple 5 : Quelle est la diminution de 2X – 8Y - Z à 3X – 3Y + Z , 2X – 4Y – 8Z ? solution Diminution : deuxieme – (premiere) Deuxieme = 3X – 3Y + Z + 2X – 4Y – 8Z = 5X – 7Y – 7Z 5X – 7Y – 7Z – (2X – 8Y - Z ) = 5X – 7Y – 7Z – 2X + 8Y + Z = 3X + Y – 6Z Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

- - - X (3X + 5) = 3X2 + 5X -3a (2a + 4b) = 6 a2 12 ab Multiplication d`un terme par une expression algebrique X (3X + 5) = - 3X2 + 5X -3a (2a + 4b) = 6 a2 - 12 ab 2XY (3X2 – 2Y2) = 6 X3 Y - 4 X Y3 Simplifie: 3(1 - 2X) – (X2 - 5X + 3) + 2X(X + 3) Puis trouve la valeur numerique pour X = -2 solution 3 - 6X - X2 + 5X - 3 + 2X2 + 6X = X2 + 5X La valeur = (-2)2 + 5 × -2 4 – 10 - 6 = = Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

1) deux parenthèses de deux termes semblables et différents au signe de milieu (X + 2Y) (X – 2Y)= X2 - 4Y2 Carré du première - Carré du deuxième (X-Y)(X+Y) = X2 – Y2 (X-5)(X+5) = X2 – 25 Remarque : (X-Y)(X+Y) = X2 – Y2 (X-Y)(X+Y) X2 – Y2 = Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

- 2) Carré du binôme (Parenthèse a deux termes au carré) (X+Y)2 = Carré du premier terme (même signe) 1er x 2eme x 2 + carré du deuxième terme (X+Y)2 = (X-Y)2 = X2 – 2XY + Y2 X2 + 2XY + Y2 1er x 1er même signe 1er x2eme x2 + 2eme x2eme X x X X x 3 x 2 3 x 3 2 =( 3 +X ) X2 + 6X + 9 Trouve le produit : (2X+5)2 = 4X2 + 20X + 25 (3X-4Y)2 = 9X2 - 24XY + 16Y2 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

X2 Y2 Sortie X2 +XY +XY +Y2 = X2 +2XY +Y2 (X+Y)(X+Y) = (X+Y)2 = X2 Dans La figure ci-contre X2 Y2 a) Aire de A + Aire de D =………...+ …………… b) Aire de B + Aire de C = …..…..+ ………... XY XY = 2XY c) Aire du carre = ……………. A+B+C+D = X2 +XY +XY +Y2 = X2 +2XY +Y2 (X+Y)(X+Y) = (X+Y)2 = X2 +2XY +Y2 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

=(5 (2X- (2 +3X) =( 2 +X) ( 4 +2X) 6X2 - 11X - 10 2X2 +8X +8 3) deux parenthèses de deux termes différents 1er x1er (produis des moyens + produis des extrême) +2ème x 2ème 4X -15X =(5 (2X- (2 +3X) 6X2 - 11X - 10 -11X 4X 4X =( 2 +X) ( 4 +2X) 2X2 +8X +8 8X (X+1)(X+2) = X2 +3X +2 (X-2)(X-3) = X2 - 5X +6 (2X-3)(X+5) = 2X2 +7X -15 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Le produit des 3X+2 et 2X+5 represente l`aire du rectangle: Complete : 3X x 2X 3X x 5 2 x 2X 2 x 5 (3X+2)(2X+5) = ……….. + ….….. + ……… + …….. 6X2 15X 4X 10 = …….. + …... + ….... + …….. 6X2 19X 10 = …….. + …….. + ……. Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Compléte: e) (X+5Y)(X-5Y) = a) (3X+2)(X+7) = f) (X-4)(X+4) = b) (3X-2)(X-7) = X2 -16 3X2 - 23XY+14 c) (3X-2)(X+7) = 3X2 +19XY-14 g) (2X+Y)2 = 4X2 +4XY+Y2 d) (3X+2)(X-7) = 3X2 -19XY-14 h) (2X-Y)2 = 4X2 - 4XY+Y2 Dans La figure ci-contre Determine l`aire de la partie hachurée Aire grand rectangle (5X+Y)(3X+Y) = 15X2 +8XY+Y2 Aire petit rectangle Y(2X+Y) = 2XY+Y2 L`aire de la partie hachurée = (5X+Y)(3X+Y) – Y(2X+Y) = 15X2 +8XY+Y2 -2XY -Y2 = 15X2 +6XY Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie (X-Y)(X-Y)= (X-Y)2 = X2-2XY+Y2 Y2 Y(X-Y) =Y2 +XY -Y2 = XY XY a) Aire de A = ……………. (X-Y)(X-Y)= (X-Y)2 = X2-2XY+Y2 Y2 Y(X-Y) b) Aire de D + Aire de C = ……… + ..……. =Y2 +XY -Y2 = XY c) Aire de B + Aire de C + Aire de D = XY XY-Y2 Y2 = 2XY ………..…+ ……….…… +…………. X2 - 2XY+Y2 (X-Y)2 = ……...…….. 2XY X2 +Y2 = (X-Y)2 + …….. Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Produit de deux expressions (X+3)(X2+X+1) = La methode horizontale : (X+3)(X2+X+1) = X(X2+X+1) +3(X2+X+1) = X3 + X2 + X + 3X2 + 3X + 3 = X3 + 4X2 + 4X + 3 La methode verticale : X2 + X + 1 X + 3 X3 + X2 + X 3X2 + 3X + 3 X3 + 4X2 + 4X + 3 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

1) X2 + 2XY X2 2XY = + = X + 2Y X X X 2) 2ab + 6ac + 12ad 2ab 6ac 12ad On divise chaque terme par ce terme 1) X2 + 2XY X2 2XY = + = X + 2Y X X X 2) 2ab + 6ac + 12ad 2ab 6ac 12ad = b + 3c + 6d + + = 2a 2a 2a 2a X2 + 14X X X2 14X + 2 3) = + = 7 7X 7X 7X 4) (X2 + X) ÷ X = X + 1 3a + 1 5) (15a + 5) ÷ 5 = 3X + 1 6) (15X4 + 5X3) ÷ 5X3 = Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

÷ = b + 3C + 6d Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

- 3XY2 Factorisation par le PGCD Exemple 1: On trouve le PGCD et divise chaque terme par le PGCD Exemple 1: Factorise 3X2Y3 – 9X3Y4 + 12X3Y2 solution Le PGCD est 3 X2 Y2 On divise chaque terme par le PGCD - 3XY2 3X2Y3 – 9X3Y4 + 12X3Y2 = 3X2Y2 ( Y + 4X) Exemple 2: Factorise 3a(4a + 5b) – 2b(4a + 5b) solution Le PGCD est (4a + 5b) (4a + 5b)( 3a – 2b) 3a(4a + 5b) – 2b(4a + 5b) = 3) 21X2Y3Z2 – 14X3Y2 + 7XY = 7XY (3XY2Z2 – 2X2Y + 1) Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

n Puissance Multiplication répètee : a n base a Se lit a puissance n 25 = 2×2×2×2×2 =32 , (5a) 0 = 1 a0 = 1 tel que a ≠ 0 , 50=1 , 20=1 , 5a0 =5×1 =5 + Si n est un nombre pair (-2)4 = 24 =16 n (- a) - Si n est un nombre impair (-2)5 = -25 = -32 Remarques : a) am × an = am+n , 23 × 22 = 25 Dans la multiplication on additionne les puissances d`une même base. a m - n 24 Dans la division on soustrait les puissances d`une même base c) a m + an dans l`addition et la soustraction on calcule chaque terme. 53 – 52 = 125 – 25 = 100 , 23 + 24 = 8 + 16 = 24 Monsieur/ Emad Sabet

Statistiques Sortie Suivant précédent Lecture et analyse des donnees Diagramme en batons 6000 5000 4000 3000 2000 1000 Vaches Buffes Moutons Milliers des tetes Chevres Chameaux 2001 2002 2003 2004 2005 Annees On utilise des diagrammes pour éclairer les données pour les analyser facilement Le tableau ci-contre représente le nombre de quelques animaux en Egypte pour la période de 2001 à 2005 Les nombres sont en milliers On trace deux axes perpendiculaires sur l`axe vertical on représente le type d`animaux et les années sur l`axe horizontal. Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Suivant précédent Pièces plantées des produits de l`hiver Type 6700 6600 6500 6400 6300 6200 6100 Pièces plantées des produits de l`hiver Type 2001 2002 2003 2004 2005 Total 6286 6479 6571 6482 6607 Années 2001 2002 2003 2004 2005 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Distribution des touristes selon leur nationalité de 2002 à 2006 Nationalité 2002 2003 2004 2005 2006 Américains 171 188 257 298 340 % 3.3% angle Arabe 1128 1322 1496 1703 1922 21.7% Européens 3584 4204 5920 6120 6260 69% Autres Nationalités 309 331 431 487 561 6% Total 5192 100 Secteurs circulaires Le tableau ci-contre indique le nombre De touristes en milliers qui ont visité l`Egypte pendant 5 années a) Calcule le nombre des touristes de 2002 à 2006 3.1% 3.2% 3.5% 3.7% 2003 =188+1322+4204+331=6045 b) Donne les pourcentages à un dixième prés de 2002 à 2006 21.9% 18.5% 19.8% 21.2% Le pourcentage est calculé comme suit : nombre x 100 total 69.5% 73.1% 71.1% 68.9% Américains 2003 = 188 x100 = 6045 3.1 % Arabe 2003 = 1322 x100 = 6045 21.9 % 5.5% 5.3% 5.7% 6.2% Européens 2003 = 4204 x100 = 6045 69.5% 6045 8104 8608 9083 Autres Nationalités 2003 =331 x100 = 6045 5.5% Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet Distribution des touristes selon leur nationalité de 2002 à 2006 Nationalité 2002 2003 2004 2005 2006 Américains 171 188 257 298 340 % 3.3% angle Arabe 1128 1322 1496 1703 1922 21.7% Européens 3584 4204 5920 6120 6260 69% Autres Nationalités 309 331 431 487 561 6% Total 5192 100 c) Transforme les pourcentages à la mesure d`un angle d`un secteur circulaire 3.1% 3.2% 3.5% 3.7% La mesure d`angle est calculé comme suit 120 110 11.50 12.50 130 360 x pourcentage 100 21.9% 18.5% 19.8% 21.2% L`angle des Américains 2002 = 76.50 780 790 66.50 710 360 x 3.3 100 =11.88 = 120 L`angle d` Arabe 2002 = 69.5% 73.1% 71.1% 68.9% 360 x 21.7 100 2480 2500 2630 2560 2480 =78.12 = 780 L`angle des Européens 2002 = 5.5% 5.3% 5.7% 6.2% 360 x 69 100 = 248.4 = 2480 220 200 190 20.50 22.50 L`angle des Autres Nationalités 2002 = 6045 8104 8608 9083 360 x 6 100 =21.6 = 220 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie 5.5 % 69.5 % 3 % 22 % Angle 110 790 2500 200 Suivant précédent d) Represente le tableau par des secteurs circulaires Nationalités Américains 2003 Arabe 2003 Européens 2003 Autres Nationalités 2003 5.5 % pourcentage 69.5 % 3 % 22 % Angle 110 790 2500 200 Solution Aut 5.5% Arabe 22 % 11%Am Européens 69.5% Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Representation des données Le Mode : est la valeur que l`on trouve le plus dans une distribution. Le mode de 5, 6, 10, 13, 17, 17, 22 est ..... a)22 b)13 c)19 d)17 Le tableau d`effectifs suivant indique les poids des élèves Poids (kg) 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Nombre d`élèves 1 2 4 6 7 5 3 élèves mode 1) Quel est le poids le plus répandu? 2) Quel est le nombre d`élèves qui ont le poids le plus répandu? 8 7 6 5 4 3 2 1 Solution 1) le poids le plus répandu est 35 kg 2) le nombre d`élèves qui ont le poids le plus répandu est 7 élèves 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Kg Les poids d`élèves Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Médiane Suivant précédent Pour déterminer la médiane : 1) on range les valeurs dans l`ordre croissant ou décroissant 2) si les nombres impairs on prend la valeur médiane n + 1 2 Dans les groupes de 9 élèves la taille médiane sera la 5ème 25, 32, 40, 48, 50, 52, 58 La médiane est 48 3) si les nombres pairs on prend la demi-somme des deux valeurs n n 2 2 et +1 13 2 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12 La médiane est 6 + 7 = 2 = 6.5 Dans les groupes de 10 élèves la taille médiane sera la moitié de la somme de la 5ème et 6ème Taille médiane = 161 + 162 = 2 323 = 2 161.5 cm Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie La moyenne = la somme de valeurs ÷ le nombre de valeurs Suivant Moyenne arithmétique La moyenne = la somme de valeurs ÷ le nombre de valeurs 6 + 4 + 1 + 3 + 7 + 9 30 Calcule la moyenne de 6, 4, 1, 3, 7 la moyenne = = = 6 5 5 Janvier Le Caire Alexandrie Louxor Assouan Max Min 19.1 8.6 18.3 9.3 23 5.4 23.8 8 Trouve la moyenne arithmétique des températures maximales en Janvier La moyenne 19.1 + 18.3 + 23 + 23.8 84.2 = = = 21.05 = 21 4 4 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

choisis Sortie 1) Le mode de 5, 6, 15, 5, 10, 13, 15, 15, 22 est ..... 1) 22 2) 13 3) 5 4) 15 5 + 6 + 10 + 4 + 3 + 2 2) La moyenne de 5, 6, 10, 4, 3, 2 est ..... 6 30 1) 30 2) 6 3) 5 4) 10 = 6 3) La médiane de 5, 6, 10, 3, 2 est ..... L`ordre: 2, 3, 5, 6, 10 1) 5 2) 3 3) 10 4) 6 L`ordre: 2, 3, 4, 5, 6, 10 3) La médiane de 5, 6, 4, 10, 3, 2 est ..... 4 + 5 1) 4 2) 4.5 3) 5 4) 6 2 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Le segment est noté AB ou BA Notions géométriques 1) Le segment A B Un segment est un ensemble formé d’une succession de points reliant deux points. les deux points sont appelés les extrémites du segment Le segment est noté AB ou BA AB = BA Nous écrirons: la logueur de AB = 6cm ou AB = 6 cm Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

une droite noté par deux points quelconques qui lui appartiennent. 2) La droite: Une droite est formée d’une succession de points reliant deux points définis ou non définis (a une infinité de points) L A B C D une droite noté par deux points quelconques qui lui appartiennent. La droite est notée AB = BA = AC = BD = AD = L il existe une seule droite passant par deux points. Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

3) La demi droite A B C D Une demi-droite est une partie de la droite Une demi-droite noté par le point origine et n`importe quel autre point qui lui appartient La demi - droite est noté AB = AC = AD Remarques: AB AB ∩ AB ∩ Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

4) L`angle Un angle c’est la réunion de deux demi-droites de même origine. A B AB ∩ AB = BAC ou CAB L’origine (A) est appelée le sommet de l’angle et les deux demi-droites AB AC , sont appelées les côtés de l’angle. Bissectrice d’un angle D C Si AD est la bissectrice de ∠BAC Alors, m (∠ BAD) = m (∠ CAD) A B Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

ses côtés sont confondus Nature des angles 1) Angle nul : sa mesure est égale à 0 ses côtés sont confondus 2) Angle droit : sa mesure est égale à 900 3) Angle aigu: 00 < mesure de l’angle aigu < 900 4) Angle obtus : 900 < mesure de l’angle obtus < 1800 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

A C B 5) Angle plat : sa mesure est égale à 1800 et ses côtés forment une droite A C B A,B,C sont alignes 6) Angle rentrant : B A 1800 < mesure de l’angle rentrant < 3600 C Trouve l`angle rentrant de l`angle 1500 360 – 150 = 2100 150 210 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

relations entre les angles 1) Angles adjacents: D Deux angles sont adjacents: s’ils ont le même sommet et un côté commun. C A B et les deux autres côtés situés de part et d’autre du côté commun BAD et CAD ont même sommet A AD est côté commun les côtés AB , AC situés de part et d’autre du côté commun AD Alors les angles BAD et CAD sont adjacents Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

2) Angles complémentaires Deux angles sont complémentaires: si la somme de leurs mesures est égale à 900 Trouve les complémentaires des angles de mesures 400 , 600 Le complémentaire de 40 est 90 – 40 = 500 Le complémentaire de 60 est 90 – 60 = 300 3) Angles supplémentaires Deux angles sont supplémentaires: si la somme de leurs mesures est égale à 1800 Trouve les supplémentaires des angles de mesures 400 , 600 Le supplémentaire de 40 est 180 – 40 = 1400 Le supplémentaire de 60 est 180 – 60 = 1200 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

1) Deux angles adjacents formés par l’intersection Remarques 1) Deux angles adjacents formés par l’intersection de demi-droite et une droite…………. sont supplémentaires Si m BAD = 700 D 700 Alors m CAD = 180 – 70 = 1100 C A B E D m CAE = 180 – (40+90) = ? 400 180 – 130 = 500 C A B 2) Si Deux angles adjacents sont supplémentaires alors…….. (les deux demi-droite sont alignes) D Si m(∠BAD) + m(∠CAD) = 1800 1100 700 sont alignes Alors AB et AC C A B Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Angles opposés par le sommet Si deux droites sont sécantes alors Les angles opposés par le sommet A M D ont la même mesure. m (∠ AMD) = m (∠ CMB) , C B m (∠ AMC) = m (∠ DMB) Exemple: dans la figure ci contre A D M Si m(∠ AMC) = 500 500 500 Alors : m (∠ AMC) = m (∠ DMB) = 500 C B m(∠ AMD) = m (∠ CMB) = 180 – 50 = 1300 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Angles formés autour d’un point La somme des mesures des angles formés autour d’un point est égale 3600 D C Si m CAE = 1300 , m CAD = 1000 1000 700 A ? B , m DAB = 700 1300 E Alors m BAE = 360 – ( 130 + 100 + 70) = 360 – 300 = 600 D 1100 C 300 A B m(∠CAE) = 360 – ( 110 + 30 + 90) = 360 – 230 = 1300 E Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Exercices 1) m(∠BAD) = 1800 - 120 = 600 2) m(∠DAE) = 1200 1) m(∠BAD) = 1800 - 120 = 600 C A B E D 2) m(∠DAE) = 1800 - (50 + 400 ) = 500 400 180 – 90 = 900 C A B E D F x x 3) m(∠BAD) = m(∠DAE) = m(∠EAF) = m(∠FAC) = .… x x = 180 ÷ 4 = 450 C A B Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

ME MA MB Sortie 4) AB ∩ CD = {M} est la bissectrice de l`angle AMC x 1160 m(∠BMC) = 1160 x B M A Trouve: m(∠AMC) , m(∠AMD) , m(∠AME) Solution D m(∠AMC) = 180 – 116 = 640 m(∠AMD) = m(∠CMB) = 1160 m(∠AME) = m(∠CME) = 64 ÷ 2 = 320 Complète: B 360 – ( 75 + 130 + 50) = 1050 1) m(∠BMD) = …….. 1300 500 B 750 A M MA MB 2) ……. , ……. Sont alignes D Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Constructions géométriques 1) Construction la bissectrice d’un angle C D BD est la bissectrice de ABC ABD = m CAD m B A Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

2) Construction la perpendiculaire à une droite d’un point à l’extérieur d’elle. A * L C B AD ┴ BC D Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

3) Construction la médiatrice d`un segment la médiatrice: c`est la droite perpendiculaire à un segment passe par le milieu C AD = DB A B D CD ┴ AB D CD est la médiatrice de AB Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

4) Construction un angle égale un autre angle B A C\ B\ A\ Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Superposition Sortie Deux polygones sont superposables si : 1) les côtés correspondants ont même longueur 2) les angles correspondants ont même mesure Les polygones ARBEK et OHCEK sont superposables Complète : E C B EK CH =......, EK =...... BR RA EB HO =......, EC =...... H R commun KA KO =......, KE côté……….….aux polygones m (∠ C) = m (∠ ......) B K AKE m (∠ OKE) = m (∠ ......) A O R m (∠ H) = m (∠ ......) , KEB m (∠  KEC) = m (∠  ......) A m (∠ O) = m (∠ ......) Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Superposition des triangles Un triangle a 6 éléments, 3 côtés et 3 angles _ _ Le symbole _ est utilisé pour la superposition qui se lit superposable à Premier cas de superposition de deux triangles Deux triangles ayant deux côtés respectifs de même longueur et l’angle compris entre ces côtés de même mesure, sont superposables. et le Dans le ABC DHE D A AB = DH AC = DE H E B C m (∠ A) = m (∠ D) _ _ donc ABC DHE et _ BC = HE , m (∠ B) = m (∠ H) , m (∠ C) = m (∠ E) Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

et le _ _ _ Deuxième cas de superposition de deux triangles Dans le Deux triangles ayant un côté de même longueur et deux angles Respectifs de même mesure, sont superposables. et le Dans le ABC DHE D A AC = DE m (∠ A) = m (∠ D) , H E B C m (∠ C) = m (∠ E) _ _ donc ABC DHE et _ AB = DH , BC = HE , m (∠ H) = m (∠ B) Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

et le _ _ _ Troisième cas de superposition de deux triangles Deux triangles ayant les trois côtés respectifs de même Longueur sont superposables et le Dans le ABC DHE AB = DH D A AC = DE BC = HE H E B C _ _ donc ABC DHE et _ m (∠ A) = m (∠ D) , m (∠ B) = m (∠ H) , m (∠ C) = m (∠ E) Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

et le _ _ _ Quatrième cas de superposition de deux triangles Dans le Deux triangles rectangles ayant l’hypoténuse de même longueur et Un côté de l’angle droit de même longueur, sont superposables. A et le Dans le ABC DHE AB = DH AC = DE C B m (∠ B) = m (∠ H) D _ _ donc ABC DHE et _ BC = HE , E m (∠ A) = m (∠ D) , H m (∠ C) = m (∠ E) Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

et le Exercices 1) AM = BM , CM = DM Démontre que ▲ AMC ≡ ▲ BMD solution M et le Dans le AMC BMD D MC = MD A MA = MB m (∠ CMA) = m (∠ BMD) Opposé par le sommet A donc AMC ≡ BMD DCB x * 2) Complète: 1) ABC ≡ ……… C B x * D CD 2) m (∠A) = m(∠…….) 3) AB = ……. CA 4) ……….. = BD D Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

et le 3) AB = AC , DB = DC , solution Dans le ABD ACD AB = AC DB = DC Démontre que AD est la bissectrice ∠BAC solution et le Dans le ABD ACD D C B AB = AC DB = DC AD cÔté commun donc ABD ≡ ACD et m (∠CAD) = m (∠BAD) Donc AD est la bissectrice ∠BAC Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

et le solution Dans le ABC ADE AC = AE AB = ED donc ABC ≡ EDA et 4) AC = AE , AB = DE , m(∠D) = m(∠B) = 900 C m(∠BAC) = 560 , BC = 5cm E Trouve: 5cm a) m(∠AED) b) la longueur de AD 560 solution D A B et le Dans le ABC ADE AC = AE AB = ED m(∠D) = m(∠B) = 900 donc ABC ≡ EDA et m (∠BAC) = m (∠DEA) = 560 BC = DA = 5cm Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Parallélisme Si L 1 // L 3 et L 2 // L 3 alors L 1 // L 2 1) Deux droites parallèles ne se coupent pas A B AB ∩ CD = Ø C D 2) Si deux droites sont parallèles à une troisième alors elles sont parallèles entre elles. L1 Si L 1 // L 3 et L 2 // L 3 alors L 1 // L 2 L2 L3 3) Si une droite coupe l`une de deux droites parallèles Alors elle coupe l`autre . L3 L1 Si L1//L2 et L3 coupe L1 alors elle coupe L2 L2 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Si L1 // L2 et L3 ┴ L1 alors L3 ┴ L2 * Sortie 4) Si une droite est perpendiculaire à l`une de deux droites parallèles alors elle est perpendiculaire à l`autre. L3 Si L1 // L2 et L3 ┴ L1 alors L1 L3 ┴ L2 L2 5) D`un point extérieur a une droite on peut tracer une seule droite A …………………….. parallèle a cette droite. * Du point A on peut tracer une seule droite parallèle à la droite BC B C Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Remarques Sortie Si une droite coupe deux droites parallèles alors 2 2 1 1 1) les angles alternes internes ont même mesure (Z) 3 3 3 3 3 4 4 4 4 m (∠3) = m (∠5) , m (∠4) = m (∠6) 6 6 6 6 5 5 5 5 5 2) les angles correspondants ont même mesure (F) 7 7 8 8 m (∠4) = m (∠8) , m (∠3) = m (∠7) , m (∠1) = m (∠5) , m (∠2) = m (∠6) 3) les angles intérieurs d`un même coté de la sécante sont supplémentaires (1800) ( ) m (∠4) + m (∠5) = 1800 m (∠3) + m (∠6) = 1800 , Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Si deux droites coupées par une secante déterminent: 1) Soit deux angles alternes internes de même mesure alors les droites sont parallèles. 2 1 B A Si m (∠3) = m (∠5) , m (∠4) = m (∠6) 3 4 Alors AB // CD 2) Soit deux angles correspondants de même mesure alors. 6 5 les droites sont parallèles C 7 D 8 Si m (∠4) = m (∠8) ou m (∠3) = m (∠7) , Ou m (∠1) = m (∠5) , ou m (∠2) = m (∠6) Alors AB // CD 3) Soit deux angles intérieurs d`un même cÔté de la sécante supplémentaires (1800) alors les droites sont parallèles Si m (∠4) + m (∠5) = 1800 Ou m (∠3) + m (∠6) = 1800 , Alors AB // CD Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Suivant précédent Si des droites parallèles découpent une droite des segments De même longueur alors elles découpent aussi sur toute autre Droites d`autre segments de même longueur. L5 L6 A X L1 Si L1 // L2 // L3 // L4 B Y L2 et AB = BC = CD alors C Z XY = YZ = ZK L3 D K L4 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie Exercices * solution * m (∠ABE) = m (∠DEH) correspondants 620 * 1) Détermine tous les angles égale l`angle ABE tel que AC//DF G * solution A B C * m (∠ABE) = m (∠DEH) correspondants 620 * m (∠ABE) = m (∠BEF) alternes internes D * E F m (∠ABE) = m (∠GBC) opposé par le sommet H 180 - 620 = 1180 Si m (∠ABE) = 620 alors m(∠BED) = ………. Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie 2) Dans la figure ci-contre: AB // CD , m(∠A) = 1150 650 m(∠D) = 650 B Est-ce que AC // ED Pourquoi ? 650 1150 C A solution . . . AB // CD et AC sécante . . . m (∠C) = 180 – 115 = 650 . . m (∠D) = m(∠C) = 650 . Alternes internes . . . AC // ED Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie 3) Dans la figure ci-contre : AB // CD , EF // CD 420 AB // CD , EF // CD m (∠A) = 420 et m(∠C) = 1170 420 E F 630 Trouve m (∠AEC) solution 1170 . . C D . AB // EF et AE sécante . . . m (∠A) = m (∠AEF) = 420 Alternes internes . . . EF // CD et EC sécante . . . m (∠FEC) = 180 - 117 = 630 intérieurs d`un même cÔté . . . m (∠AEC) = 42 + 63 = 1050 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Sortie 4) Dans la figure ci-contre: AO // DX // EY // BC , AX = XY = YC , AB = 12cm trouve la longueur de BE X D solution E . . Y . AO // DX // EY // BC et AX = XY = YC . . . AD = DE = EB = 12 ÷ 3 = 4cm B C . . . EB = 4cm Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés. Si ABC est un triangle rectangle en B alors A AC2 = AB2 + BC2 B AB2 = AC2 - BC2 C BC2 = AC2 - AB2 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

25 – 16 = 9 cm2 (x+3)2 + x2 = (15)2 - x2 Sortie Suivant précédent Monsieur/ Emad Sabet

h2 = (2500)2 – (1500)2 = 6250000 – 2250000 = 4000000 m2 Sortie précédent Monsieur/ Emad Sabet