Modélisation Bond Graph 3- Équations déduites du Bond Graph 3.1 Du Bond Graph au schéma bloc 3.2 Bond Graph et fonctions de transfert 3.3 Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

3.1 Du Bond Graph au schéma bloc R : R R : f er Гm U I E I Гe Ω Se : U 1 : I GY : k 1 : J Se : Гc Ω eL I : L I : J er R f - - - + + Гr U E Гm k k I I Ω 1/L ∫ Du Bond Graph au schéma bloc PAG + FM

Du Bond Graph au schéma bloc PAG + FM - - + + - + + Гr U U E Гm k k I I Ω Ω k Гr - E + + + I + Ω U U k - - R f Du Bond Graph au schéma bloc PAG + FM

Expression possible des fonctions de transfert Гm + + I Ω U + k - E k Électrique : Mécanique : U-E = (R+L.p).I E = k. Ω Гm+ Гr = (f+J.p).Ω Гm = k.I Expression possible des fonctions de transfert Du Bond Graph au schéma bloc PAG + FM

3.2 Bond Graph et fonctions de transfert : chemin causal Se : U 1 4 R : Rm I : L GY 8 I : Jm 5 I : Jc 2 3 6 7 TF Alternance de liens et de nœuds telle que : - pour le Bond-graph acausal, la séquence forme une chaîne simple - tous les nœuds dans la séquence ont une causalité complète et correcte - deux liens du chemin causal ont en un même nœud des orientations causales opposées ( sauf en présence d’un GY, R, I ou C ) Chemin causal simple ( on suit la même variable ) e1 e3 Se:U 1 I:L I:L 1 R:Rm f3 f2 Chemin causal mixte direct ( présence d’un GY ) e3 e6 I:L 1 GY 1 I:Jm f3 f4 Chemin causal mixte indirect ( passage par un élément I, C ou R ) e3 e1 Se:U 1 I:L 1 R:Rm f3 f2 Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Boucle causale Chemin causal fermé entre deux éléments de l’ensemble (R, C, I) partant d’un lien et revenant à ce lien sans parcourir un même lien plus d’une fois dans la même direction 1/p e3 e2 ∫ f3 e3 I:L 1 R:Rm f3 f2 1 - f2 Gain : e2 R Se : U 1 4 R : Rm I : L GY 8 I : Jm 5 I : Jc 2 3 6 7 TF Au carré car on passe deux fois dans T ou G dans une boucle Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Gain d’une boucle causale « linéaire » n0 et n1 : Nombre total de changements d’orientation des liens aux jonctions 0 quand on suit la variable de flux, aux jonctions 1 quand on suit la variable d’effort mj , 1/mj , rk , 1/rk : Modules des éléments TF ou GY de la boucle, compte tenue de la causalité Au carré car on passe deux fois dans T ou G dans une boucle : produit des fonctions de transfert des éléments de la boucle Exemple précédant : n0 = 0 n1 = 1 pas d’élément TF ou GY Eléments de la boucle : Rm / élément I Gain : Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

application e3 e4 e5 e6 I:L 1 GY 1 I : Jm f3 f4 f5 f6 R : Rm 5 1 4 7 8 2 5 1 4 7 8 Se : U 1 GY 1 TF I : Jc 6 3 I : L I : Jm Calcul du gain de boucle : Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Gain d’un chemin causal « linéaire » Fonction caractéristique d’un chemin causal : - la fonction caractéristique lie la variable de sortie de l’élément situé à l’origine du chemin à la variable d’entrée de l’élément formant l’extrémité du chemin - dans le cas où le chemin causal traverse des éléments non-linéaires, on ne peut plus le caractériser par un gain ou une fonction de transfert Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Exercice 1 + V1 K1 F m1 f I : m1 I : m1 Se : F 1 : V1 Se : F 1 : V1 R : f C : 1/K1 C : 1/K1 Sans amortissement Échange d’énergie entre deux éléments sans dissipation : résonance Avec amortissement Couplage entre élément I,R Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Exercice 2 : identification des boucles « petit truc » Boucles : K  fc ou K  Kc : impossibles R : R2 R : fc e10 e2 f10 f2 2 10 e5 e7 e1 e4 e8 5 1 4 4 7 8 Se : Cm 1 TF : N 1 I : Jc f5 f7 f8 f1 f4 9 e3 e6 6 6 e9 f9 3 f3 f6 I : Jm C : 1/K C : 1/Kc Boucle 3 : Jm  Jc Impossible ! Boucle 1 : Jm  K Boucle 3 : Jc  Kc Boucle 2 : Jm  R2 Boucle 5 : Jc  K Boucle 4 : Jc  fc Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

FONCTION de TRANSFERT : Règle de Mason Tk(s) : fonction de transfert du kième chemin causal reliant l’entrée u à la sortie y Produit 3 à 3 ….. Fonction de transfert d’une boucle Produit 2 à 2 des fonctions de transfert des boucles disjointes Dk : se calcule comme D(s) mais en ne retenant que les boucles causales ne touchant pas le kième chemin causal Boucles disjointes, pas un seul lien commun parcouru dans le même sens en suivant la même variable Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Fonction de transfert du chemin : I : m1 V1 K1 2 F m1 F 4 Se 1 : V1 R : f f 1 3 Entrée : effort F Sortie : position x ? Fonction de transfert x/F C : 1/K1 Il est plus simple de travailler sur un bond graph en causalité dérivée ! Il n’y a qu’un seul chemin possible reliant la sortie x à l’entrée F  k = 1 e3 x=q3 Fonction de transfert du chemin : Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Identification de l’ensemble des boucles touchant le chemin : I : m1 2 F 4 Se 1 : V1 R : f 1 3 Aucune boucle disjointe : i=2 ; j=0 C : 1/K1 Il n’existe aucune boucle causale ne touchant pas le chemin  D1(s) = 1 Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Un seul chemin causal de U à Ωm R : Rm Fonction de transfert ? 2 Ωm 5 1 4 7 8 Se : U 1 GY 1 TF I : Jc Ωc 6 3 I : L I : Jm Bond-Graph en causalité dérivée : pas de simplification pôle-zéro à réaliser Un seul chemin causal de U à Ωm Ωm U 1 GY : k 1 Fonction de transfert : 1/k Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Identification de l’ensemble des boucles touchant le chemin causal R : Rm 1 GY I : Jm GY 1 R : Rm Boucle 2 : I : L 1 GY I : Jm GY 1 I:L R : Rm 2 Ωm 5 1 4 7 8 Se : U 1 GY 1 TF I : Jc Ωc 6 3 I : L I : Jm Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM R : Rm 2 Ωm 5 1 4 7 8 Se : U 1 GY 1 TF I : Jc Ωc 6 3 I : L I : Jm Boucle 3 : Boucle 4 : Il n’existe aucune boucle causale ne touchant pas le chemin  D1(s) = 1 Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

Entraînement : Établir la fonction de transfert sur le Bond Graph simplifié ( inertie ramenée au moteur ) Construire la fonction de transfert : Bond Graph et fonctions de transfert PAG + FM

3.3 Du Bond Graph à la représentation d’état Modèle sous la forme X : vecteur d’état  n variables d’état U : vecteur de commande - dimension m Y : vecteur de sortie – dimensions r n équations différentielles r relations algébriques Matrice de commande Matrice d’état Matrice de couplage états / sorties Matrice de couplage Entrées/Sorties Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Procédure d’établissement des équations d’état 1. Numéroter les liens du graphe 2. Établir la liste : des variables de commande ( liées aux sources ), des variables d’énergie et de co-énergie associées 3. Choisir comme variable d’état les variables d’énergie p et q correspondant respectivement à des éléments I ou C en causalité intégrale. Inscrire sur le BG les dérivées de ces variables d’état 4. Exprimer les variables de co-énergie de chaque élément I ou C en causalité intégrale en fonction des variables d’état correspondantes en utilisant les relations caractéristiques de ces éléments 5. Exprimer les dérivées des variables d’état en utilisant les relations fournies par les éléments : 0, 1, TF, GY, R et les implications de causalité 6. Ecrire les équations d’état Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Variable d’état si l’élément I ou C est en causalité intégrale Rappel p = I.f Elément I Variable d’état si l’élément I ou C est en causalité intégrale Variable d’énergie Variable de co-énergie q = C.e Elément C On cherche à écrire : Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM R : Rm Application 2 1. 5 1 4 Se : U 1 GY I : Jeq 3 I : L 2. Liste des variables de commande (liées aux sources), variables de co-énergie et énergie : p3, p5 U = e1 3. Deux éléments I en causalité intégrale  deux variables d’état indépendantes 4. Relations caractéristiques des éléments I : Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM 5. Exprimer les dérivées des variables d’état en utilisant les relations fournies par les éléments : 0, 1, TF, GY, R et les implications de causalité Jonction 1 Élément R Gyrateur 6. Ecrire les équations d’état Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Construction des matrices d’état et de commande Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Présence d’une causalité dérivée R : Rm Présence d’une causalité dérivée 2 5 1 4 7 8 Se : U 1 GY 1 TF I : Jc 6 3 I : L I : Jm Deux éléments I en causalité intégrale  deux variables d’état indépendantes p6 et p3 Pour un élément en causalité dérivée, son « état » dépend des autres composantes du vecteur d’état. ICI, p8 dépend de p6 et p3 Equation algébrique qui traduit une relation statique entre ce qui aurait pu être deux composantes du vecteur d’état. Dans une étape du processus de construction des matrices d’état, nous avons utilisé une relation algébrique (càd en élémi nant p8, variable associée à l’élément en causalité dérivée) pour obtenir une des équations ( en ppoint6) Les logiciels de simulation ne font pas ce type d’élimination De plus dans le cas général, les équations constitutives des éléments I,R ou C sont non-linéaires : l’élimination algébrique n’est pas toujours faisable !! On obtient alors un ensemble d’équations différentielles associées aux éléments en causalité intégrale et un ensemble d’équations algébriques (ou contraintes) associées aux éléments en causalité dérivée . Solutions pour causalité dérivée : Utiliser un solveur acceptant les équations implicites On a ici rendre le modèle explicite (c’est ce qui a été fait ici- équations explicites en p6 (en factorisant p6) Modifier le modèle pour éviter dès la phase de construction les caualités dérivées en affinant le modèel  attention aux problèmes de raideur numérique des équations Équation algébrique + Système « algébro-différentiel » Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Boucle / chemins et équations d’état L’équation d’état relative à un BG peut s’établir à partir des notions de gains de chemins causaux et de gains de boucles causales  Termes diagonaux aii de la matrice d’état : somme des gains des boucles causales entre l’élément I ou C associé à la variable d’état xi et le ou les éléments R  Termes non diagonaux aij : somme des gains des chemins causaux allant de l’élément I ou C associé à la variable d’état xj vers l’élément I ou C associé à la variable d’état xi, multipliés par le gain de l ’élément I ou C associé à la variable d’état xj ! Ajout oral des remarques p87 – M. Vergé  Les termes bij de la matrice de commande : somme des gains des chemins causaux partant de la source j vers l’élément I ou C associé à la variable d’état xi Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM R : Rm Application 2 1. 5 1 4 Se : U 1 GY I : Jeq 3 I : L Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

RANG de la matrice d’état N éléments de stockage d’énergie ( I ou C ) en causalité intégrale système d’ordre n Le vecteur d’état est formé de façon systématique par les variables d’effort associées aux éléments I et des variables de flux associées aux éléments C Définition : Rang structurel de la matrice d’état = ordre du système – nombre de valeurs propres nulles Rang A = q = n - k K valeurs propres nulles Ordre du système n Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Bond Graph minimal Nombre de variables d’état = Rang de A THEOREME Le rang de la matrice d’état associée à un BG initialement en causalité intégrale ( ou le nombre de valeurs propres différentes de zéro ) est égal au nombre d’éléments I ou C ( initialement en causalité intégrale sur le BG en causalité intégrale ) admettant une causalité dérivée quand on met le BG en causalité dérivée. Rang A = q = (ni)i - (ni)d Nbre d’éléments I ou C en c.i. sur le BG en c.d. Nbre d’éléments I ou C en c.i. sur le BG en c.i. Bond Graph minimal Nombre de variables d’état = Rang de A Du Bond Graph à la représentation d’état PAG + FM

Gouvernabilité – Observabilité structurelles Une propriété est dite structurelle si elle ne dépend que du type d’éléments qui composent le système et de la façon dont ils sont interconnectés. THEOREME Un système modélisé par BG est structurellement gouvernable ( respectivement observable ) si et seulement si les conditions suivantes sont réalisées :  il existe un chemin causal liant une source ( respectivement un capteur ) à chaque élément I ou C en causalité intégrale quand le BG est en causalité intégrale Dualisation des sources : transformer source d’effor en source de flux et inversement Ce théorème peut être utilisé pour construire une architecture de commande et de mesure. Si tous les éléments en CI peuvent être mis en CD alors le rang de la matrice d’état est maxi – le rang de la matrice AB formée des colonnes de A et B est donc maxi quelquesoit la matrice de commande et donc quelquesoit la position et le nombre des sources – le concepteur n’a comme contrainte que des considérations d’ordre technique. Si certains I ou C initialement en CI restent en CI sans crée de conflit aux jonctions alors rangA non maxi. Rang AB sera maxi que si B comporte suffisamment (au moin nid) de colonnes linéairement indep de celles de A  nécessité d’avoirs au moins nid sources de cde bien placées. Réflexion idem pour mesure  tous les éléments I ou C admettent une causalité dérivée quand on met le BG en causalité dérivée et si nécessaire qu’on dualise les sources ( resp. les capteurs ) pour mettre les I et C restants en causalité intégrale en causalité dérivée. EEA / Commande des systèmes industriels PAG + FM

Modèles mathématiques EN CONCLUSION BG Description physique Modèles mathématiques matrice de transfert équations d’état lois E/S Outil d’aide modélisation conception analyse surveillance …. Il se place comme étape intermédiaire entre la description physique d'un système dynamique et la phase de construction d'un modèle mathématique, par représentation graphique des échanges de puissances entre les différents constituants du système La modélisation d'un système physique par bond graph ne nécessite pas l'écriture de lois générales de conservation. Elle repose essentiellement sur la caractérisation des phénomènes d'échanges de puissance au sein du système. Le modèle bond graph se situe entre le système physique et les modèles mathématiques classiques (matrices de transfert, équations d'état linéaires ou non linéaires). Le modèle peut être considéré comme un modèle de connaissance pour la simulation dont le but est de fournir les réponses du système à des oscillations connues, soit directement, soit à partir du bond graph si le logiciel le permet, soit à partir des équations mathématiques qui en sont déduites. Une autre démarche consiste à considérer le modèle bond graph comme un modèle à part entière, constituant un outil d'aide à la modélisation, à la conception, à l'analyse et à la surveillance grâce à sa structure causale. Passage systématique : au modèle d’état associé / schéma bloc / relations E-S pour un système linéaire Notion de boucles causales  estimation des modes du système Analyse commandabilité / observabilité SiMPLIFICATIONS / MODULARITE PERMET DE CONSTRUIRE DE FACON SYSTEMATIQUE DES MODELES MATH La causalité permet d’écrire systématiquement et de façon très structurée les relations qui caractérisent l’évolution dynamique du système et de combiner équa diff et équ algébriques Structure causale EEA / Commande des systèmes industriels PAG + FM

Permet de ne pas occulter les phénomènes physiques  structure physique équivalente Evite les développements mathématiques immédiats aspect « unifiant » ( langage unique ) analyse structurelle des systèmes : introduction d’observateurs / analyse observabilité – gouvernabilité Identification des possibilités de simplification du modèle ( mise en évidence de couplages … ) existence de logiciels ( affectation des causalités, mise en équation … ) : Camp-G, 20sim + interface avec solvers type ACSL, Matlab … systèmes complexes d’ordre élevé : adapter le modèle à l’analyse qui en est faite domaines d’application très vastes ( systèmes de production, économie ) EXEMPLES ( projet européen de véhicule à pile et combustible FUERO / chaîne de traction ferroviaire , moteurs à combustion interne … ) Pour le traitement de l’information Analyse sur structure physique et non modèle math  analyse et modifs + aisée Nombre de variable d’état / rang / modèle minimum Systèmes complexes d’ordre élévés : BG rapide : adapter le système à la fréquence des signaux : supprimer les éléments dynamiques lents + éléments résistifs et sources qui ne sont pas couplés causalement ( analyse des chemins ) aux éléments dynamiques restants – identification des éléments rapides/lents par analyse des boucles causales : gains statiques d’ordre élévé ou faible constante de temps Projet FUERO : renault, volvo, W, PSA ….  création d’une bibliothèque de composants : au final, modèle global ( estimation consommation, comportement … ) électrique/mécanique/thermique/électrochimique : boites connectable grâce à formalisme commun BG NOTA outils passage BG  solver idem pour Schémas blocs  solvers mais au-delà du schéma bloc, le BG introduit le concept de port d’énergie / liens de puissance. Exploitation possible : écriture directe des équations de lagrange. EEA / Commande des systèmes industriels PAG + FM