LES PROBLÈMES ADDITIFS

I. Les situations et les problèmes associés TD : analyse de problèmes II. Les propriétés des opérations TD : une situation pour découvrir l’associativité III. Traitement : avant les procédures expertes TD : compétence des élèves en calcul IV. Traitement : les techniques opératoires V. Quel enseignement des structures additives ? TD : Analyse d’un enseignement

I. Les situations et les problèmes associés 1. Les situations modélisées par l’addition A. Les situations de composition Deux grandeurs se composent pour en donner une troisième, par exemple deux « parties » qui font le « tout ». Exemples : Dans la classe, il y a 14 filles et 12 garçons, quel est l'effectif de la classe ? Dans la corbeille il y a 7 clémentines, Maxime y dépose 5 bananes, combien y a­t­il de fruits dans la corbeille ? Un commerçant achète une armoire 125 € et la revend avec un bénéfice de 140 €. Combien le commerçant a­t­il vendu cette armoire ? Alex a acheté une baguette de pain à 0,8 € et un croissant à 0,9 €. Combien doit­il à la boulangère ?

I. Les situations et les problèmes associés 1. Les situations modélisées par l’addition B. Les situations de variation (ou de transformation) La mesure d’une grandeur subit une variation (transformation) au cours du temps. Exemples : Julie possédait 42 billes, elle en gagne 15, combien en possède­t­elle ? Maud mesurait 1,55 m à 14 ans, depuis elle a grandi de 18 cm, combien mesure­t­elle aujourd’hui ? Le prix du timbre poste a augmenté de 10 c, il coûtait un demi­euro, combien coûte­t­il maintenant ? Raphaël joue au jeu de l’oie, son pion était sur la case 16, il jette le dé et il fait un 5. Sur quelle case posera-t-il son pion ?

I. Les situations et les problèmes associés 1. Les situations modélisées par l’addition C. Les situations de comparaison Dans ces situations, deux mesures d’une même grandeur sont comparées. Exemples : Julie possède 42 billes, Maud en a seulement 15. Combien de billes Julie a-t-elle de plus que Maud ? Mélina mesure 1,55 m, son amie Éléonore mesure 7 cm de plus qu’elle. Quelle est la taille d’Éléonore ? Au jeu de l’oie, le pion de Tom est sur la case 28, Léa est en avance de 8 cases. Quel est le numéro de la case du pion de Léa ? Raphaël avait 14 ans le 1er janvier 2 000, quel âge aura­t­il le 1er janvier 2 007 ?

I. Les situations et les problèmes associés 1. Les situations modélisées par l’addition D. Des situations complexes, plus rares à l’école Situations 4 : Composition de variations Julie joue aux billes, elle en gagne 15 à la récréation du matin et 7 à celle de l’après­midi. Combien en a­t­elle gagné ? Situations 5 : Composition de deux comparaisons Rachel a 4 ans de plus que Nathan. Nathan a 3 ans de plus que Claire. Quelle est la différence d’âge entre Rachel et Claire ? Situations 6 : Transformation d’une comparaison Karim grandit plus vite que sa sœur Sonia. L’an dernier il mesurait 12cm de plus qu’elle, cette année l’écart s’est encore creusé de 3cm. Combien de cm Karim mesure­t­il de plus que Sonia ?

I. Les situations et les problèmes associés 2. Les situations modélisées par la soustraction La soustraction n’est pas seulement l’opération « inverse » de l’addition. Elle permet de modéliser directement diverses situations. Situations de composition de grandeurs Aujourd’hui, 7 élèves sur 29 sont absents, combien y a-t-il de présents ? Situations de variation de la mesure d’une grandeur Jean possède 265 €. Il achète une paire de patins à roulettes à 120 €. Combien lui reste­t­il ? Situations de comparaison de deux mesures d’une grandeur Rachel a 15 ans. Sa sœur Clara a 7 ans de moins. Quel est l’âge de Clara ? Ces situations sont aussi modélisées par l’addition, toutes ces situations sont celles du champ conceptuel des structures additives.

I. Les situations et les problèmes associés 3. Trois problèmes par situation Julie avait 14 billes, elle en a gagné 7, combien en a­t­elle maintenant ? Julie avait 14 billes, elle a joué et elle en a maintenant 21. Que s’est­il passé ? Julie a gagné 7 billes, elle en a maintenant 21. Combien avait­elle de billes avant le jeu ? ? +7 21 14 Pour un seul des trois problèmes, c’est l’addition qui donne le résultat. L’opération qui modélise la situation ne donne pas toujours le résultat. 4. Et les problèmes qui combinent les situations...

I. Les situations et les problèmes associés 5. Les difficultés tiennent à différents facteurs A. Des facteurs « mathématiques » Les grandeurs de la situation Les relations dans la situation Les nombres en jeu dans la situation

I. Les situations et les problèmes associés 5. Les difficultés tiennent à différents facteurs A. Des facteurs « mathématiques » Les grandeurs de la situation Les relations dans la situation Les nombres en jeu dans la situation B. Et d’autres... La complexité linguistique de l’énoncé La place de la question dans le texte La chronologie de l’énoncé qui respecte ou non celle de la situation (de transformation d’état) Le bus est parti avec 45 passagers après l’arrêt « Mairie » où 7 personnes sont descendues et 12 sont montées. Combien de passagers occupaient le bus avant cet arrêt ? Le nombre d’étapes pour résoudre le problème et la gestion des résultats intermédiaires L’interprétation personnelle subjective et/ou sociale de l’énoncé

TD : Analyses de problèmes et de leur facilité Problèmes posés à l’entrée en CE2 a. Un pâtissier a fait le matin 275 croissants. A midi il lui en reste 65. Combien en a-t-il vendus ? b. Agnès a 215 billes. Marc a 196 billes. Combien de billes Agnès a-t- elle de plus que Marc ? c. Une grenouille parcourt 65 cm en trois sauts. Son premier saut était de 20 cm et le second de 23 cm. De quelle longueur était le troisième saut ? d. Dans une classe de CE2, il y a 26 enfants. 19 sont des filles. Combien y a-t-il de garçons ? Résultats a. Soustraction 275 - 65 ou 210 avec ou sans unités 59,2% ; autres réponses 36,9% ; (démarche additive 18,9%). b. 19 27,3% ; autres réponses 68,4%. c. 22 29,6% ; 26 11,0% ; 43 6,4% ; autres réponses 44,4%. d. Réponse ou procédure correcte 66,2% ; 45 4,4% ; autres réponses 17,5%.

TD : Analyses de problèmes et de leur facilité Problèmes posés à l’entrée en 6e a) Julie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8 billes de plus que le matin. Pourtant la journée avait mal commencé : à midi elle avait perdu 2 billes ! Que s’es-t-il passé l’après-midi ? b) Jean paie 48 euros, il lui reste alors 26 euros. Combien d’argent avait-il avant son achat ? Résultats a) Elle a gagné 10 billes : 21,2% ; Elle a gagné : 5,5% ; Elle a gagné 6 billes : 15,8% ; AR : 26,0%. b) RE : 88% ; addition avec résultat faux : 3,9% ; soustraction : 3,6% ; AR : 3%.

TD : Analyses de problèmes et de leur facilité Problèmes posés en fin de 6e en 1997 Résultats Pyramide de gauche complète : R = 58 % Pyramide de droite complète : R = 20 %

TD : Analyses de problèmes et de leur facilité Problèmes pour petits et grands... a) Une bouteille et son bouchon pèsent ensemble 110 grammes. La bouteille pèse 100g de plus que le bouchon. Combien pèse le bouchon ? b) J’ai acheté 10 sucettes. Si chacune d’elles avait coûté 5 centimes de moins, j’en aurai eu 2 de plus. Combien coûte une sucette ?

II. Propriétés de l’addition et de la soustraction 1. L’addition est commutative et associative En changeant l’ordre et le regroupement des nombres qu’on ajoute, on ne change pas leur somme. Commutativité : a + b = b + a Associativité : (a + b) + c = a + (b + c) Exemple : (17 + 58) + 13 = 75 + 13 = 88 (17 + 58) + 13 = 50 + 10 + 10 + (7 + 3) + 8 = 88 Pas la soustraction : 17 – (10 – 3) = 10 mais (17 – 10) – 3 = 4 Remarque : (a + n) – (b + n) = a + n – b – n = a - b.

II. Propriétés de l’addition et de la soustraction 1. L’addition est commutative et associative En changeant l’ordre et le regroupement des nombres qu’on ajoute, on ne change pas leur somme. Commutativité : a + b = b + a Associativité : (a + b) + c = a + (b + c) Exemple : (17 + 58) + 13 = 75 + 13 = 88 (17 + 58) + 13 = 50 + 10 + 10 + (7 + 3) + 8 = 88 Pas la soustraction : 17 – (10 – 3) = 10 mais (17 – 10) – 3 = 4 Remarque : (a + n) – (b + n) = a + n – b – n = a - b. 2. Zéro est neutre pour l’addition

II. Propriétés de l’addition et de la soustraction 1. L’addition est commutative et associative En changeant l’ordre et le regroupement des nombres qu’on ajoute, on ne change pas leur somme. Commutativité : a + b = b + a Associativité : (a + b) + c = a + (b + c) Exemple : (17 + 58) + 13 = 75 + 13 = 88 (17 + 58) + 13 = 50 + 10 + 10 + (7 + 3) + 8 = 88 Pas la soustraction : 17 – (10 – 3) = 10 mais (17 – 10) – 3 = 4 Remarque : (a + n) – (b + n) = a + n – b – n = a - b. 2. Zéro est neutre pour l’addition 3. L’addition et la soustraction sont compatibles avec l’ordre L’addition (la soustraction) du même nombre n à deux nombres a et b ne change pas leur ordre. Si a < b, alors a + n < b + n et a - n < b - n.

TD : Une situation pour découvrir l’associativité « L’autobus » : une situation proposée en CE2 Dans un autobus, il y a … personnes. Il en monte … et il en descend … Combien y a-t-il de voyageurs quand l’autobus repart ? Procédures induites par les valeurs numériques (VD) Dans un autobus, il y a 16 personnes. Il en monte 4 et il en descend 8 Dans un autobus, il y a 19 personnes. Il en monte 6 et il en descend 6

TD : Une situation pour découvrir l’associativité « L’autobus » : une situation proposée en CE2 Dans un autobus, il y a … personnes. Il en monte … et il en descend … Combien y a-t-il de voyageurs quand l’autobus repart ? Procédures induites par les valeurs numériques (VD) Dans un autobus, il y a 16 personnes. Il en monte 4 et il en descend 8 Dans un autobus, il y a 19 personnes. Il en monte 6 et il en descend 6 Résultats Spontanément 10% des élèves utilisent l’associativité, le pourcentage augmente après médiation du professeur, mais un enseignement spécifique est nécessaire.

III. Avant les procédures expertes 1. Comptage, surcomptage et décomptage Le comptage : procédure qui consiste à compter des objets, des représentations concrètes ou figurées. A. Un exemple de comptage pour ajouter Julie aime jouer aux billes. Elle a sept billes avant la partie. Durant la partie, elle gagne deux billes. Combien a­t­elle de billes après la partie ?

III. Avant les procédures expertes 1. Comptage, surcomptage et décomptage Le comptage : procédure qui consiste à compter des objets, des représentations concrètes ou figurées. B. Un exemple de comptage pour soustraire Aline possède huit billes, elle en donne une à chacun de ses cinq amis. Combien de billes lui reste­t­il ?

III. Avant les procédures expertes 1. Comptage, surcomptage et décomptage Le surcomptage : procédure qui consiste à compter depuis un nombre N pour ajouter à N ou pour retrancher N. Le décomptage : procédure qui consiste à compter « à rebours » depuis un nombre N pour retrancher à N. C. Un exemple de surcomptage pour ajouter Julie aime jouer aux billes. Elle a sept billes avant la partie. Durant la partie, elle gagne deux billes. Combien a­t­elle de billes après la partie ?

III. Avant les procédures expertes 1. Comptage, surcomptage et décomptage Le surcomptage : procédure qui consiste à compter depuis un nombre N pour ajouter à N ou pour retrancher N. Le décomptage : procédure qui consiste à compter « à rebours » depuis un nombre N pour retrancher à N. D. Un exemple de surcomptage pour soustraire Aline possède huit billes, elle en donne une à chacun de ses cinq amis. Combien de billes lui reste­t­il ?

III. Avant les procédures expertes 1. Comptage, surcomptage et décomptage Le surcomptage : procédure qui consiste à compter depuis un nombre N pour ajouter à N ou pour retrancher N. Le décomptage : procédure qui consiste à compter « à rebours » depuis un nombre N pour retrancher à N. E. Un exemple de décomptage pour soustraire Aline possède huit billes, elle en donne une à chacun de ses cinq amis. Combien de billes lui reste­t­il ?

III. Avant les procédures expertes 1. Comptage, surcomptage et décomptage Remarque : les procédures de comptage, surcomptage et décomptage reposent essentiellement sur l’aspect ordinal du nombre. Aline possède F billes, elle en gagne C. Combien de billes a-t-elle ? Suite : Pourtant, après un surcomptage de 8 à 12, des élèves concluent de manière cardinale : « 8 et 4, ça fait 12 » .

III. Avant les procédures expertes 2. Écritures additives : vers le calcul raisonné A. Comptage organisé En comptant sur des « constellations », les enfants peuvent manipuler les nombres et reconnaître des écritures additives équivalentes. Un exemple : 3 + 4 = 2 + 5

III. Avant les procédures expertes 2. Écritures additives : vers le calcul raisonné B. Les arbres de calcul Le jeu du télégramme La classe est partagée en groupes. Chaque groupe reçoit une feuille de papier, en haut de la feuille est marqué un nombre sous forme additive : 4 + 5 + 2 + 1 + 3 + 2 + 6 L’élève A recopie en remplaçant deux nombres par leur somme et plie la feuille pour cacher l’écriture qu’il a lue tout en laissant voir ce qu’il a écrit. Il passe la feuille à l ’élève B qui fait de même. Le jeu se poursuit jusqu’au résultat. Alors on compare les travaux des groupes.

III. Avant les procédures expertes 2. Écritures additives : vers le calcul raisonné B. Les arbres de calcul Vers le dessin des arbres Chaque groupe relie les nombres additionnés dans la liste. 4 + 5 + 2 + 1 + 3 + 2 + 6 4 + 5 + 2 + 1 + 3 + 2 + 6 5 + 5 + 2 + 3 + 2 + 6 10 + 5 + 2 + 1 + 3 + 2 5 + 5 + 5 + 2 + 6 10 + 5 + 5 + 1 + 2 5 + 5 + 5 + 8 10 + 10 + 1 + 2 10 + 5 + 8 10 + 10 + 3 15 + 8 20 + 3 23 23

III. Avant les procédures expertes 2. Écritures additives : vers le calcul raisonné B. Les arbres de calcul Le dessin des arbres Chaque groupe résume par un arbre le calcul effectué 4 + 5 + 2 + 1 + 3 + 2 + 6 4 + 5 + 2 + 1 + 3 + 2 + 6 5 + 5 + 5 + 8 10 + 5 + 5 + 1 + 2 10 + 5 + 8 10 + 10 + 3 15 + 8 20 + 3 23 23

III. Avant les procédures expertes 3. Le calcul raisonné Un calcul raisonné est une procédure qui repose sur les propriétés des nombres et des opérations, il peut être effectuer mentalement ou à l’aide de l’écrit. A. Le retour au cinq Il repose sur : les compléments à 5 et les tables « 5 + … » Exemple : 4 + 3 = (4 + 1) + (3 - 1) = 5 + 2 = 7 ou 4 + 3 = 4 + (1 + 2) = (4 + 1) + 2 = 5 + 2 = 7

III. Avant les procédures expertes 3. Le calcul raisonné Un calcul raisonné est une procédure qui repose sur les propriétés des nombres et des opérations, il peut être effectuer mentalement ou à l’aide de l’écrit. A. Le retour au cinq Il repose sur : les compléments à 5 et les tables « 5 + … » Exemple : 4 + 3 = (4 + 1) + (3 - 1) = 5 + 2 = 7 ou 4 + 3 = 4 + (1 + 2) = (4 + 1) + 2 = 5 + 2 = 7 B. Le passage à la dizaine Il repose sur : les compléments à 10 et la numération décimale Exemple : 9 + 3 = (9 + 1) + (3 - 1) = 10 + 2 = 12 ou 78 + 43 = (70 + 8) + (40 + 3) = (70 + 30 + 10) + (8 + 2 + 1) = 100 + (10 + 10) + 1 = 121

III. Avant les procédures expertes 3. Le calcul raisonné C. L’usage des doubles Il repose sur : la connaissances des doubles Exemple : 8 + 7 = 8 + (8 - 1) = (8 + 8) - 1 = 16 - 1 = 15 ou 8 + 7 = (7 + 1) + 7 = (7 + 7) + 1 = 14 + 1 = 15