LES PROBABILITES

I. GENERALITES ET VOCABULAIRE

L’univers noté Ω est l’ensemble des résultats possibles Un événement est une partie de l’univers : Résultat obtenu après l’épreuve L’événement contraire d’un événement A est l’ensemble Ā des éléments de Ω n’appartenant pas à A

La probabilité d’un événement p(X), correspond aux chances de réalisation de cet événement Nombre de cas favorables p(X) = Nombre de cas possibles (Ω) Exemple : Lancer de dé Ω= {1;2;3;4;5;6} On considère l'événement A "Avoir un pair" A={2;4;6} p(A) = 3/6=1/2 Ā ={1;3;5} p(Ā)=1-p(A)=1/2

Des événements A et B sont disjoints ou incompatibles si A∩B=Ø Des événements sont compatibles si A∩B existe A B Ω A B Ω A∩B

PROPRIETES p(Ω)=1 p(Ā)=1-p(A) Probabilité de réunion de 2 événements Si A et B incompatibles alors p(AUB)=p(A)+p(B) Si A et B compatibles p(AUB)=p(A)+p(B)-p(A∩B)

Exemple : Lancer de dé Ω= {1;2;3;4;5;6} A "Avoir un pair" A={2;4;6} p(A)=1/2 B "Avoir un nombre >4" B{5;6} p(B)=2/6=1/3 A∩B ={6} p(A∩B)=1/6 AUB ={2;4;5;6} p(AUB)= ½ +1/3 -1/6=4/6

Probabilités conditionnelles Expriment la probabilité de réalisation d’un événement B sachant que l’événement A est réalisé « proba de B sachant A »: p(B/A)=pA(B) EXEMPLE Soit A l’événement « le résultat est pair » et B « le résultat et > 4 » Réalisation de A={2 ; 4 ; 6} Réalisation de B une fois A réalisé : B est réalisé dans 1 cas sur 3 (le 6) Donc P(B/A) = 1/3

p(A∩B) Donc P(B/A) = _________ p(A∩B) = p(B/A) p(A) p(A) = p(A/B) p(B) Si A et B sont dépendants : La réalisation d’un événement a une influence sur celle de l’autre p(A∩B) P(B/A) = _________ p(A) Donc p(A∩B) = p(B/A) p(A) = p(A/B) p(B) Vérification : p(A∩B) = 1/6 et p(A)=1/2 1/6 p(B/A) = ____ = 2/6 = 1/3 1/2 Si A et B sont indépendants : Quand la réalisation d’un des 2 événements n’a pas d’influence sur celle de l’autre p(A∩B) = p(A) x p(B) p(B/A) =p (B)

Deux machines M1 et M2 fabriquent des tiges Deux machines M1 et M2 fabriquent des tiges. Elles produisent respectivement 1/3 et 2/3 de la production. M1 sort 5% de tiges défectueuses et M2 6%. Soit les événements A   : « la tige est fabriquée par M1 » ; B : « la tige est fabriquée par M2 » ; D « la tige est défectueuse » 1. Proba que la tige soit fabriquée par M1? P(A)=1/3 2. On tire une tige de la production de M1. Quelle est la proba qu’elle soit défectueuse? p(D/A)=5/100 3. On tire une tige de la production. Quelle est la proba pour qu’elle provienne de M1 et qu’elle soit défectueuse? p(A∩D)=p(D/A)p(A)=5/100 x 1/3 = 1/60 4. On tire une tige de la production. Quelle est la proba pour qu’elle soit défectueuse? p(D)= p((A∩D)U(B∩D))= p(D/A)p(A)+ p(D/B)p(B)= 1/60 + 6/100 x 2/3 = 17/300 5. Quelle est la probabilité qu’une pièce défectueuse ait été fabriquée par M1? p(A/D) = p(A∩D)/p(D)= 1/60 / 17/300 =1/60 X 300/17 = 5/17