Oscillateur de Van der Pol De l’équation de définition de cet oscillateur, on tire : Soit, d’après (1) :
Oscillateur de Van der Pol L’équation différentielle de second ordre : est donc équivalente au système de 2 équations différentielles du premier ordre suivant :
Le modèle HKB avec oscillateurs couplés Equations : Dynamique du modèle : avec :
Contrôle moteur et coordination des mouvements Le modèle HKB (Haken, Kelso et Bunz) (1) La fonction potentiel V(F) est supposée être la somme de deux fonctions trigonométriques cos : (2) L’équation de mouvement est obtenue en combinant (1) et (2) :
pour différentes valeurs de b/a
Recherche analytique des états stationnaires Condition d’état stationnaire : Comme : La condition d’état stationnaire peut s’écrire : 1ères solutions : soit ou 2eme solution : soit et finalement
Diagramme de bifurcation dans le modèle HKB
Ce que le modèle HKB interprète Lorsque la fréquence augmente, les sujets ne peuvent maintenir une coordination en opposition de phase. Même à faible fréquence, seuls les régimes en phase ou en opposition de phase sont des régimes stables. Les systèmes ainsi coordonnés présentent des fluctuations critiques : à mesure que la fréquence s’approche de la valeur de bifurcation, il est de plus en plus difficile de maintenir le régime en opposition de phase (les fluctuations font franchir le seuil de bifurcation). le phénomène de ralentissement critique : à mesure que l’on s’approche de la fréquence de bifurcation, le système est de plus en plus lent à atteindre son état stationnaire suite à une perturbation.
Le phénomène de ralentissement critique
Généralisation du modèle HKB Modèle HKB également validé pour la coordination entre : Une jambe et un bras. Un bras et un stimulus visuel. Les jambes de personnes différentes (coordination visuelle). les mêmes principes de coordination s’appliquent à des systèmes dotés de propriétés structurales et fonctionnelles très diverses. la dynamique de la coordination est de nature informationnelle è cette dynamique peut être modifiée par l’apprentissage è couplage des dynamiques intrinsèque et extrinsèque