ANALYSE DES SERIES CHRONOLOGIQUES METHODES ET APPLICATIONS EN HYDROLOGIE Danièle VALDES-LAO 2006-2007

INTRODUCTION Les séries chronologiques: moyen de description des cours d’eau, des aquifères … BIBLIOGRAPHIE: Mangin, A., 1984. Pour une meilleure connaissance des systèmes hydrologiques à partir des analyses corrélatoires et spectrales. J. Hydrol. 67, 25–43. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., 1976. Time Series Analysis Forecasting and Control. Holden Day (575pp.).

INTRODUCTION Notion de système en hydrologie D’après Jacquet (1971) : « toute structure, dispositif ou procédé réel ou abstrait qui relie avec un pas de temps donné, une entrée, une cause ou une impulsion (de matière, d’énergie ou d’information) à une sortie, un effet ou une réponse (de matière, d’énergie ou d’information) X(t) Y(t) SYSTEME t t 1 2 3 4 1 2 3 4 entrée X(t) sortie Y(t) Exemple: DEBIT Exemple: PLUIE Méthodes d’analyse des chroniques 1] Analyse simple: analyse de la structure d’une chronique - L’analyse corrélatoire (étude de la perte d’information du signal) - L’analyse spectrale (analyse fréquentielle du signal) 2] Analyse croisée: relation entre les chroniques - Le corrélogramme croisé (étude de la dépendance linéaire entre signaux) - Le spectre croisé

PLAN I] LE CORRELOGRAMME SIMPLE II] LE CORRELOGRAMME CROISE III] L’ANALYSE FREQUENTIELLE IV] APPLICATIONS SOUS MATLAB

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LE CORRELOGRAMME SIMPLE AUSSI APPELE FONCTION D’AUTOCORRELATION r(k) Il caractérise la perte d'information dans un signal, ou plus exactement, la vitesse à laquelle l'information est perdue. x0 x1 x2 .. xn r(0) r(1) r(2) .. r(m) X(t) r(k) 1 X(t)= R(k)= t k 1 2 3 4 n -3 -2 -1 1 2 3 4 m n = longueur de la chronique = valeur ponctuelle au temps t = valeur moyenne du paramètre k = lag ou décalage temporel (k = 0 à m) m = troncature fixée à n/3 (Mangin, 1984)

LE CORRELOGRAMME SIMPLE 1 2 3 4 lag k=1 1 2 3 4 lag k=2 1 2 3 4 lag k=3 1 2 3 4 k=1 k=2 k=3 k=m x0 x1 x1 x2 x2 x3 . . x0 x2 x1 x3 x2 x4 x0 x3 x1 x4 x2 x5 x0 xm x1 xm+1 x2 xm+2

LE CORRELOGRAMME SIMPLE Le corrélogramme simple est une fonction symétrique: r(k) 1 k -3 -2 -1 1 2 3 4 m L’EFFET MEMOIRE (Mangin, 1984) Définition: temps correspondant à une valeur de 0,2 du corrélogramme simple Interprétation: quantifie l’inertie, la mémoire du système (durée d’influence d’un évènement sur la chronique) 0,7j 1,1j

LE CORRELOGRAMME SIMPLE APPLICATION A DES CHRONIQUES DE CRUE 0.7 j 1.1 j Site A Augmentation de l’inertie 1.4 j 2.1 j Site B 1.8 j 3.4 j Site F

LE CORRELOGRAMME SIMPLE APPLICATION A UN SIGNAL ALEATOIRE: BRUIT BLANC 1 Bruit blanc Corrélogramme

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LE CORRELOGRAMME CROISE Le correlogramme croisé r(k) caractérise la dépendance linéaire entre deux chroniques: la chronique d’entrée xt et la chronique de sortie yt X(t) Y(t) SYSTEME t t 1 2 3 4 1 2 3 4 entrée X(t) sortie Y(t) r(k) = écart type de X = écart type de Y n = longueur des chroniques k . . . -2 -1 1 2 3 4 . . . = valeur ponctuelle au temps t = valeur moyenne du paramètre = valeur ponctuelle au temps t = valeur moyenne du paramètre k = lag ou décalage temporel (k = 0 à m) m = troncature fixée à n/3 (Mangin, 1984)

LE CORRELOGRAMME CROISE A] LA FONCTION DE CORRELATION CROISEE r(k) fonction non symétrique avec k avec . . . -2 -1 1 2 3 4 k=-m k=-2 k=-1 k=0 k=1 k=2 k=3 k=m y0 xm y1 xm+1 y2 xm+2 . . . . y0 x2 y1 x3 y2 x4 y0 x1 y1 x2 y2 x3 x0 y0 x1 y1 x2 y2 x0 y1 x1 y2 x2 y3 x0 y2 x1 y3 x2 y4 x0 y3 x1 y4 x2 y5 . . x0 ym x1 ym+1 x2 ym+2 Si la fonction d’entrée x(t) est une fonction aléatoire pure corrélogramme croisé = réponse impulsionnelle

LE CORRELOGRAMME CROISE A] LA FONCTION DE CORRELATION CROISEE – exemple d’application La recharge de l’aquifère Intercorrélations PLUIE-PIEZOMETRIE 80j 120j 150j

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ANALYSE SPECTRALE Principe : Analyser le contenu fréquentiel d’un signal par transformée de Fourier TRANSFORMEE DE FOURIER Domaine temporel Domaine fréquentiel

ANALYSE SPECTRALE 3 étapes sont nécessaires: 1) Suppression de la tendance: une tendance dans un signal correspond à une variation de la moyenne du signal. La tendance s'exprime dans le spectre par une basse fréquence d'amplitude très forte masquant l'expression de toute autre composante spectrale. Enlever la tendance permet de centrer le signal et revient à le rendre plus ou moins stationnaire. 2) Calcul de la fonction d'autocorrélation: corrélation du signal avec lui-même pour des décalages temporels de plus en plus important → amplification des périodicités pré-existantes et atténuation du bruit (le bruit n'est pas autocorrélé). 3) Transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation: expression dans le plan de Fourier de la fonction d'autocorrélation

ANALYSE SPECTRALE Théorème de Fourier Les fonctions périodiques peuvent être décomposées en une somme de fonctions sinusoïdales: séries de Fourier Soit f une fonction périodique, de période T=2/intégrable sur tout intervalle fermé de R, on appelle série de Fourier de f, la série trigonométrique: Théorème de Fourier Toute fonction périodique f, non sinusoïdale, continue sur tout intervalle [ , +T] et dérivable sur cet intervalle, peut se décomposer en une somme infinie de fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples de celle de la fonction f = + Y1 + Y2 +...+ Yn +... T T T T T

Fréquence fondamentale ANALYSE SPECTRALE terme constant Fréquence fondamentale harmonique de rang 1 harmonique de rang 2 harmonique de rang n f(t) = A0 + Y1 sin(wt – j1) + Y2 sin(2wt – j2) +...+ Yn sin(nwt – jn) + ... Fréquence w Période T Fréquence 2w Période T/2 Fréquence nw Période T/n DECONVOLUTION par les séries de Fourier 1 2 n 3 4 5 Spectre de raies dans le plan de Fourier f(t) fonction périodique

ANALYSE SPECTRALE Intégrales de Fourier Pour les fonctions non périodiques il n'existe pas de séries de Fourier, mais on parle de transformée de Fourier, fonction continue de la fréquence (spectre continu). TRANSFORMEE DE FOURIER Domaine temporel Domaine fréquentiel Partie réelle est une fonction complexe Partie imaginaire Intégrales de Fourier Transformée de Fourier Transformée inverse

TF en sinus (imaginaire) ANALYSE SPECTRALE Rappel TF en cosinus (réelle) MODULE TF en sinus (imaginaire) PHASE On utilise le spectre d’amplitude qui est la valeur absolue de f(v)

ANALYSE SPECTRALE

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