1 Gestion des voitures médecins d'Urgences-Santé Michel Gendreau Émilie Frot¹ Gilbert Laporte Frédéric Semet¹ Centre de recherche sur les transports Université de Montréal ¹Université de Valenciennes Hainaut-Cambrésis Journée Santé Montréal – 16 novembre 2001

2 Le contexte En plus des ambulances, assez nombreuses, Urgences-Santé déploie sur son territoire un petit nombre de voitures médecins qui interviennent dans un petit nombre de cas précis. Objectif : trouver des sites d’attente pour ces voitures pour pouvoir répondre rapidement aux appels.

3 Vision statique Utilisation de modèles classiques de localisation. Le territoire à desservir et les points d’attente possibles sont représentés sous forme de graphe sur lesquels on peut définir divers modèles d’optimisation.

4 Formalisation Le territoire est découpé en zones qui correspondent à des points de demande. V : ensemble des points de demande W : ensemble des sites d’attente d i : demande de la zone i (i  V) t ij : temps de déplacement du site j au point i

5 Modèle de couverture On définit un délai maximal d’intervention r. Un site j « couvre » une zone i si t ij  r. Pour chaque zone i, on peut trouver le sous- ensemble W i des sites qui la couvrent. On cherche une affectation de véhicules aux sites de W telle qu’il y ait au moins un véhicule affecté à chaque sous-ensemble W i.

6 Couverture maximale Le modèle précédent néglige le fait qu’en pratique le nombre de véhicules est limité (fixé à une certaine valeur K), il faut donc plutôt chercher une affectation de ces K véhicules qui maximise la demande couverte par ceux-ci. On définit des variables y i qui indiquent si les sites sont couverts ou non et on maximise la demande couverte  d i y i.

7 Limites du modèle de couverture maximale Ce modèle ne tient pas compte du fait qu’on est dans un environnement dynamique dans lequel les véhicules affectés à des requêtes ne sont plus disponibles. En fait, le positionnement des véhicules sur les sites devrait se faire sur la base du nombre de véhicules actuellement disponibles.

8 Solution possible Une solution consiste donc à déterminer séparément pour chaque nombre possible k de véhicules (k = 1,…,K) l’affectation optimale des véhicules aux sites. Il faut cependant alors repositionner les véhicules restants sur les sites après chaque requête et chaque retour de véhicule.

9 Une difficulté Avec un grand territoire et un petit nombre de véhicules médecins, on risque de devoir repositionner sans arrêt les véhicules, ce qui n’a pas de sens en pratique. Contribution principale de ce projet: développer un modèle qui permette de limiter les repositionnements de véhicules.

10 Le modèle proposé Un modèle de couverture maximale qui détermine simultanément les affectations de véhicules aux sites pour toutes les nombres possibles de véhicules disponibles, c’est-à- dire pour k = 1,…,K. On limite le nombre de repositionnements entre les configurations à k et à (k+1) véhicules à une valeur  k.

11 Objectif Il faut prendre en compte le fait que toutes les configurations (valeurs de k) ne sont pas toutes aussi probables. Si on appelle q k la probabilité qu’on soit dans une configuration à k véhicules, on va maximiser   d i y ik q k.

12 Les valeurs de q k Les q k sont des paramètres fondamentaux du modèle, mais on ne possède pas a priori leur valeur. Comment l’estimer? On peut se baser sur le taux de disponibilité moyen des véhicules (la probabilité p K qu’un véhicule donné soit disponible quand on a K véhicules) et utiliser une loi binômiale de paramètres (K, p K ).

13 Calcul de p K On estime tout d’abord la charge moyenne de travail à partir du temps de traitement d’un appel et du taux d’appels. On calcule ensuite le temps pour les pauses, les changements d’équipes, etc. Ceci nous permet par un calcul simple de déduire p K.

14 Expérimentations numériques Données de l’île de Montréal : –3049 points de demande –64 sites –demandes proportionnelles aux populations des zones Deux séries de tests r = 8 minutes

15 Première série On veut évaluer l’impact qu’a  k sur la probabilité qu’un appel soit couvert. Tests réalisés avec K = 10 et des q k aléatoires. On permet de déplacer aucun, un seul, la moitié ou tous les véhicules. Résultat: impact négligeable d’  k.

16 Deuxième série On laisse varier K. q k donnés par les lois binômiales avec trois scénarios de charge de travail. Aucun repositionnement permis. Les tests permettent de voir clairement l’impact du nombre de véhicules sur la probabilité de couverture et les temps de réponse.

17 Conclusions Les tests montrent qu’on peut intégrer des contraintes limitant les repositionnements de véhicules dans un modèle de couverture maximale. Les résultats numériques doivent être interprétés avec prudence, surtout pour les valeurs faibles de K.