Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation Contraintes - Déformation J.C. Charmet © 2002

I Milieux Déformables I-1 Forces Externes et Équilibre Mécanique I-2 Comportement d’une Structure I-3 Raideur et Rigidité

I-1 Forces Externes : Équilibre Mécanique Équilibre des Forces Équilibre des Moments

I-2 Comportement d’une Structure : Essai de Traction F Dl F Élasticité Plasticité FM F Dl FR FE F Dl Rigidité de la Structure F=KDl K Rupture

I-3 Raideur et Rigidité : Géométrie de la Structure et Comportement du Matériau Rigidité de la Structure F=KDl F Dl2 F Dl1 S l2 l1 F2 Dl F1 F ~ S <= Expérience => Dl ~ l S2 l S1 e s Contrainte Déformation Raideur du Matériau F Dl Dl l F1 F2 Dl2 l2 Acier Dl1 l1 Plastique

II Forces de Contact II-1 Forces Internes : Action et Réaction II-2 Forces Internes : Répartition Homogène II-3 Forces Internes : Répartition non Homogène II-4 Vecteur Contrainte : État Local Plan

II-1 Forces Internes : Action et Réaction B F(A/B) = -F(B/A) La Résultante des Forces Internes est toujours Nulle

II-2 Forces Internes : Répartition Homogène Le Vecteur Contrainte T Force par unité de Surface [MPa] est indépendant du point dans la section S

II-3 Forces Internes : Répartition non Homogène Le Vecteur Contrainte T dépend du point M dans la section S

II-4 Vecteur Contrainte : État local F n F M T n F F T M n T dépend : du point M dans la section S : de l’orientation n de la section S

III Contraintes III-1 Tenseur des Contraintes III-2 Représentation des Contraintes Plan

III-1 Tenseur des Contraintes III-1.1 Repère local : Traction, Cisaillement III-1.2 Tenseur des Contraintes : Définition III-1.3 Tenseur des Contraintes : Symétrie III-1.4 Contraintes Principales et Axes Propres III-1.5 Sollicitations Principales III-1.6 Invariants du Tenseur des Contraintes III-1.7 Sphérique et Déviateur des Contraintes Plan

III-1.1 Tenseur des Contraintes : Repère Local Facette de centre M et de normale n snr T M t T(M,n) n snn n, r, T coplanaires Trièdre local direct n, r, t snn = T n Traction > 0 Compression <0 snr = T r Cisaillement snt = T t = 0

III-1.2 Tenseur des Contraintes : Équilibre local des Forces x3 x2 dS1 T1 x1 x3 x2 x1 T(n) n -T1 x3 x1 dS T2 -T2 x2 -T3 dS2 T3 x3 x1 x2 dS3 Ti=sijnj

III-1.3 Tenseur des Contraintes : Équilibre local des Moments x3 x2 x1 dx1 dx3 dx2 dx1 dx2 s12 dx2 dx3 = s21 dx3 dx1 s31 dx1 dx3 s13 dx3 dx2 = s31 dx2 dx1 s32 dx2 dx3 s23 dx3 dx1 = s32 dx1 dx2 s21 s23 s13 s12 s11 s12 s13 s21 s22 s23 s31 s32 s33 sij =sji Le Tenseur des Contraintes s est Symétrique

III-1.4 Tenseur des Contraintes : Contraintes Principales et Axes Propres s11 s12 s13 s21 s22 s23 s31 s32 s33 n M A X3 X2 X1 M N T SI 0 0 0 SII 0 0 0 SIII Sil = aij sjk akl

III-1.5 Tenseur des Contraintes : Sollicitations Principales Traction - Compression Uniaxiale Biaxiale Triaxiale s1 = s2 = s3 = -p Hydrostatique s1 0 0 0 s2 0 0 0 0 s1 0 0 0 0 0 0 0 0 s1 s1 0 0 0 s2 0 0 0 s3 -p 0 0 0 -p 0 0 0 -p s1 = s2 = s s

III-1.6 Tenseur des Contraintes : Les Invariants Tensoriels 0 SII 0 0 0 SIII s11 s12 s13 s21 s22 s23 s31 s32 s33 I1= SI + SII + SIII = skk =3 sm =Tr(s) I2= SI SII+ SII SIII + SIII SI = (s11 s22 - s122) + (s11 s33 - s132) + (s22 s33 – s232) I3= SI SII SIII = Det(s) Caley-Hamilton 6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles d’Euler

III-1.7 Tenseur des Contraintes : Sphérique et Déviateur sm 0 0 0 sm 0 0 0 sm Sphérique S Tr(S)= Tr(s) s11- sm s12 s13 s21 s22 - sm s23 s31 s32 s33 - sm + Déviateur D Tr(D)= 0 sm Contrainte Normale Moyenne (Traction ou Compression) + sd sd Contrainte Déviatorique Moyenne (Cisaillement) p1(µ) 0 0 0 p2(µ) 0 0 0 p3(µ) p Tenseur des Directions Tr(p)=0 et Tr(p2)=3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 sm 6 Composantes = sm + sd + µ +3 Angles d’Euler

III-2 Représentation des Contraintes III-2.1 Contraintes Octaédriques III-2.2 Espace des Contraintes III-2.3 Critères de Plasticité et de Rupture III-2.4 Ellipsoïde des Contraintes III-2.5 Cercle de Mohr Principal III-2.6 Cercles de Mohr III-2.7 Cisaillement Simple Plan

III-2.1 Représentation des Contraintes : Contraintes Octaédriques x1 x2 x3 Déviateur D Tr(D)= 0 D1 0 0 0 D2 0 0 0 D3 + sd Contrainte Déviatorique Moyenne (Cisaillement) sm Contrainte Normale Moyenne (Traction ou Compression) Sphérique S Tr(S)= Tr(s) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 sm n sd snr sm snn snn = sm snr = sd

III-2.2 Représentation des Contraintes : Espace des Contraintes sI sII sIII O = + H Sphérique sd sm Déviateur s2 s1 s3 M s1 0 0 0 s2 0 0 0 s3

III-2.3 Représentation des Contraintes : Critères de Plasticité et de Rupture Limite de Rupture sR en Traction sur S sI sIII O sd sII sP Limite Plastique en Cisaillement sP sur P P R Point R M s(M) sd P Point P s1 sR s1 (R) = sR et sd (R) < sP sd (P) = sP et s1 (P) < sR

III-2.4 Représentation des Contraintes : Ellipsoïde des Contraintes Lorsque n appartient à un plan principal, T appartient au même plan

III-2.5 Représentation des Contraintes : Cercle de Mohr Principal Facettes contenant la direction principale x3 de normale  au plan x1 x2 O snr snn s1 0 0 0 s2 0 0 0 s3 Facette de normale x1 x1 x2 x3 r n t C R snn = T n = n s n = OC+Rcos2q snr = T r = n s r = -Rsin2q R= OC= snr snn s2x2 s1x1 T snn= s1 snr= 0 T b 2q n Facette de normale x2 x3 x1 x2 r n t r t Facette de normale n x3 x1 x2 n q T snn= s2 snr= 0 T b

III-2.6 Représentation des Contraintes : Cercles de Mohr Facette dont la normale n appartient à un plan principal (x1 x2) t r n s1 0 0 0 s2 0 0 0 s3 x1 x2 x3 snn snr T snr snn s3 s1 s2 Facette dont la normale n n’appartient pas à un plan principal x2 x3 n t r x1 snn snr s1 s3 s2 snr snn T

III-2.7 Représentation des Contraintes : Cisaillement Simple 0 0 0 x1 x2 snr snn x1 -t t x2 X1 -s X2 s X1 X2 -s 0 0 0 s 0 0 0 0 Le cisaillement est maximal sur les facettes orientées à 45° des facettes principales

IV Loi Fondamentale de la Dynamique IV-1 Conditions aux Limites IV-2 Bilan des Forces : Équilibre Dynamique IV-2 Équation de l’Équilibre Dynamique IV-3 Exemple : Prisme pesant IV-4 Application : Optimisation en Compression Plan

IV-1 Loi Fondamentale de la Dynamique : Conditions aux Limites Au Point M de la Surface : n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface) f n x1 f1 f2 f3 s11 s12 s13 s21 s22 s23 s31 s32 s33 1 = => s11 s12 f1 s21 s22 f2 f1 f2 f3 s11 s12 M f n x3 x1 x2 s22 s21 x2 => s11 s12 0 s21 s22 0 0 0 0 f = 0 La normale n à une surface libre de charge est direction principale à valeur propre = 0

IV-2 Loi Fondamentale de la Dynamique : Bilan des Forces : Équilibre Dynamique Au Point P en Surface : P n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface) f n V S X Force Extérieure Appliquée (/ unité de volume) X Au Point M en Volume : M g Accélération g mG=SF => = + = = Conditions aux Limites Théorème de la Divergence DivDs + rX = rg

IV-3 Loi Fondamentale de la Dynamique : Équilibre Dynamique : DivDs dx3 dx1 x2 x1 x3 dx2 mG=SF projection des Forces sur l’axe x1 s12 s12+ dx2 s12 x2 +( - s12) dx1 dx3 rX1 dx1 dx2 dx3 = X1 rg1 dx1 dx2 dx3 g1 s11 s11+ dx1 s11 x1 +( - s11) dx2 dx3 s13 s13+ dx3 s13 x3 +( - s13) dx1 dx2 s13+ dx1 x1 s11 x1 s12 x2 s13 + = rX1 rg1 DivDs = s11 x1 s12 x2 s13 + s21 s22 s23 x3 s31 s32 s33 DivDs + rX = rg sij xj + = rXj rgi

IV-4 Loi Fondamentale de la Dynamique : Exemple : Prisme pesant g a h P L = 1 ax+by+r kx+ly +t kx+ly +t cx+dy +s s(x,y ) = ax kx kx cx+dy +s => a n C.L. en y=h-xcotga n C.L. en x=0 0 kx kx cx+dy +s => 0 0 0 -rg(h-xcotga-y) => C.L. en y=0 F by +r ly+t ly +t dy +s -1 = b = l = 0 r = t = 0 => : s(0,y)n=0 y a k+d rg = a = 0 k+d = rg => Équilibre Statique : DivDs + rX = 0 0 kx kx cx+dy +s cosa sina k = 0, d = rg s = - rgh c = rgcotga => = : s(x,y)n=0 : F =- htga s(x,0)dx = rg htga (h-xcotga) dx = rg h htga = -P 1 2

Équilibre de la tranche dz IV-5 Loi Fondamentale de la Dynamique : Application : Optimisation en Compression Contrainte maximale admissible sS = sS P0 P0 P l h sS s(h) = s(0) = sS s(h) s(h) = P0 l P P = rghl l h 1 s(0) s(0) = P0+P l Profil évolutif sS < sS s(0) = s(h)+ rgh l(z+dz) dz l(z) rg Équilibre de la tranche dz l(z) = l e rg sS z - sS l(z) + rg l(z)dz = sS l(z+dz)

V Déformations V-1 ‘Ut Tensio sic Vis’ V-2 Tenseur des Déformations V-3 Représentation des Déformations Plan

V-1 ‘Ut Tensio sic Vis’ V-1.1 Robert Hooke V-1.2 Translation, Rotation et Déformation V-1.3 Conservation de la Masse V-1.4 Champ de déplacement V-1.5 Exemple : le Glissement Simple V-1.6 Les Grandes Déformations V-1.7 Petites Déformations et Superposition V-1.8 Séparer Rotation et Déformation V-1.9 Continuité et Compatibilité des Déformations Plan

V-1.1 ‘Ut Tensio sic Vis’ : Robert Hooke Pour supporter un chargement un milieu matériel doit se déformer Dl l g A l’échelle microscopique Extension Glissement g t l l+Dl s g t l l+Dl s A l’échelle macroscopique

V-1.2 ‘Ut Tensio sic Vis’ : Translation, Rotation et Déformation l+Dl s j t Rigide Déformable l Translation l Rotation l Seule la Déformation modifie les Longueurs et les Angles

V-1.3 ‘Ut Tensio sic Vis’ : Conservation de la Masse x x = F (X) dx = GradF(X) dX = g dX X g = x1 X1 X2 X3 x2 x3 dv dx dV x X dX g = dv dV m m = rdV = rdv r g r = r

V-1.4 ‘Ut Tensio sic Vis’ : Champ de Déplacement dx = g dX x = F (X) X x u u = X - x du = ( - ) = (X) g G d dX dX dx X x = u1 X1 X2 X3 u2 u3 G u(X) u(X+dX) Tenseur Gradient de Déplacement u(X+dX) = u(X) + (X) G dX Translation + Rotation Déformation

V-1.5 ‘Ut Tensio sic Vis’ : Exemple : Glissement Simple = 1 g 0 0 1 0 0 0 1 + = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 g 0 0 0 0 0 0 0 x = g X = d G + u = G X X = Y = x = X = u = gY u y = gY Y x y u

V-1.6 ‘Ut Tensio sic Vis’ : Les Grandes Déformations x y 1 2 3 =( ) d G + x = g X X x 1 = 0 0 ½ 1 G = ½ 1 0 0 2 G G 1 2 = + ½ 1 ½ 1 = ½ 1 0 0 2 G 1 = 0 0 ½ 1 G Les Grandes Déformations ne sont pas Additives

V-1.6 ‘Ut Tensio sic Vis’ : Petites Déformations et Superposition + =( ) d G’ x’ = g’X X x’ u’ = G’X u’ u’’ u’’ = G’’x’ =( ) d G + x = g X X u u = G X x d + =( ) G’’ x = g’’x’ x’ = X +( G’’ G’ + ) =( ) d + G’’ x = g’’x’ x’ =( ) + d G’ G’’ ( ) X G G’’ + G’ = => G G’’ + G’  Gij < 1% => Principe de Superposition : les Petites Déformations sont Additives

V-1.7 ‘Ut Tensio sic Vis’ : Séparer Rotation et Déformation X x + =( ) d G x = g X x  = X ( + )( + ) G tG d u X u = G X = ( ) + e W = X ( + ) tG G  + G W e = + tG - tG Déformation Symétrique = 2 e G + Rotation Antisymétrique = 2 G - tG W x1 x2 u u = G X l l2 = L2(1+g11)2+(g12L)2 g11L g12L l =L {(1+g11)2+g122} l l  L(1+g11) L

V-1.8 ‘Ut Tensio sic Vis’ : Continuité et Compatibilité des Déformations soit RotD = 0 G = ( ) dX du = G dX + e W Continuité => du intégrable e W => = RotD e -RotD W =tGrad w RotG = Grad w => Vecteur tourbillon w  dX = dX W dw = Grad w dX intégrable si RotD(Grad w) = 0 Inc( )= RotD(RotG ) = RotG(RotD ) = 0 [Inc( )]rl= drmidlkj = 0 e Avec DivDInc( )=0

V-2 Tenseur des Déformations V-2.1 Repère local : Extension, Distorsion V-2.2 Tenseur des Déformations : Définition V-2.3 Déformations Principales et Axes Propres V-2.4 Invariants du Tenseur des Déformations V-2.5 Sphérique et Déviateur des Déformations V-2.6 Changement de Volume et de Forme Plan

V-2.1 Tenseur des Déformations : Repère local Au point M segment unitaire direction l elr t u(M,l) (M,l ) = u e l (M) ell l, r, u coplanaires Trièdre local direct l, r, t ell = u l Extension > 0 Contraction < 0 elr = u r Distorsion elt = u t = 0

V-2.2 Tenseur des Déformations : Définition (M,l ) = u e l (M) u3 1 x1 x3 x2 M u3l3 l3 l2 l1 l3 u2l2 l2 u(l) x1 1 u1l1 l1 l u1 u2 eij =eji x2 1 Le Tenseur des Déformations e est Symétrique

V-2.3 Tenseur des Déformations : Déformations Principales et Axes Propres e11 e12 e13 e21 e22 e23 e31 e32 e33 l M A X3 X2 X1 M L U EI 0 0 0 EII 0 0 0 EIII Eil = aij ejk akl

V-2.4 Tenseur des Déformations : Les Invariants Tensoriels EI 0 0 0 EII 0 0 0 EIII e11 e12 e13 e21 e22 e23 e31 e32 e33 I1= EI + EII + EIII = ekk =3 em =Tr(e) I2= EI EII+ EII EIII + EIII EI = (e11 e22 - e122) + (e11 e33 - e132) + (e22 e33 – e232) I3= EI EII EIII = Det(e) Caley-Hamilton 6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles d’Euler

V-2.5 Tenseur des Déformations : Sphérique et Déviateur em 0 0 0 em 0 0 0 em Sphérique S Tr(S)= Tr(e) e11- em e12 e13 e21 e22 - em e23 e31 e32 e33 - em + Déviateur D Tr(D)= 0 em Déformation Normale Moyenne (Extension ou Contraction) + ed ed Déformation Déviatorique Moyenne (Distorsion) p1(µ) 0 0 0 p2(µ) 0 0 0 p3(µ) p Tenseur des Directions Tr(p)=0 et Tr(p2)=3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 em 6 Composantes = em + ed + µ +3 Angles d’Euler

V-2.6 Tenseur des Déformations : Changement de Volume et de Forme x1 x2 x3 e1dx1 e2dx2 e3dx3 dx1 dx3 dx2 dV= dx1 dx2 dx3 e1 0 0 0 e2 0 0 0 e3 e = dv=(1+e1) dx1 (1+e2)dx2 (1+e3)dx3 Variation Relative de Volume dv- dV dV = e1 + e2 + e3 = Tr(e) = Div u e dv dv dV Sphérique S Déviateur D Changement de Volume à Forme Constante Changement de Forme à Volume Constant

V-3 Représentation des Déformations V-3.1 Déformations Octaédriques V-3.2 Ellipsoïde des Déformations V-3.3 Cercle de Mohr Principal V-3.4 Cercle de Mohr et Déformation V-3.5 Cercles de Mohr V-3.6 Glissement Pur et Glissement Simple Plan

V-3.1 Représentation des Déformations : Déformations Octaédriques x1 x2 x3 Déviateur D Tr(D)= 0 D1 0 0 0 D2 0 0 0 D3 + ed Déformation Déviatorique Moyenne (Distorsion) em Déformation Normale Moyenne (Extension - Contraction) Sphérique S Tr(S)= Tr(e) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 em l ed elr em ell ell = em elr = ed

V-3.2 Représentation des Déformations : Ellipsoïde des Déformations u1 u2 = u3 e1 u1 e2 u2 u3 e3 l l u n u l Lorsque l appartient à un plan principal, u appartient au même plan

V-3.3 Représentation des Déformations : Cercle de Mohr Principal Directions  à la direction principale x3  au plan x1 x2 O elr ell e1 0 0 0 e2 0 0 0 e3 Direction x1 x1 x2 x3 r l t C R ell = u l = l e l = OC+Rcos2q elr = u r = l e r = -Rsin2q R= OC= elr ell e2 x2 e1 x1 u ell= e1 elr= 0 u b 2q l Direction x2 x3 x1 x2 r l t r t Direction l x3 x1 x2 l q u ell= e2 elr= 0 u b

V-3.4 Représentation des Déformations : Cercle de Mohr et Déformation x1 x2 e1 0 0 0 e2 0 0 0 e3 e = Plan principal x1 x2 u x X ell elr e1 e2 x x = X + u ell elr e1 e2 2q C u 2q ell elr e1 e2 X x u X q e1 ell elr e2 q x X u

V-3.5 Représentation des Déformations : Cercles de Mohr Direction l appartenant à un plan principal (x1 x2) t r l e1 0 0 0 e2 0 0 0 e3 x1 x2 x3 ell elr u elr ell e3 e1 e2 Direction l n’appartenant pas à un plan principal x2 x3 l t r x1 ell elr e1 e3 e2 elr ell u

V-3.6 Représentation des Déformations : Glissement Pur et Glissement Simple elr ell x2 0 e 0 e 0 0 0 0 0 x1 e 0 0 0 -e 0 0 0 0 x2 -e e x1 e X1 X2 -e X1 X2 x1 x2 e -e e e X1 X2 w x1 x2 g 0 2e 0 0 0 0 0 e 0 -e 0 0 0 0 0 La distorsion est maximale sur les directions orientées à 45° des directions principales La rotation w = -e Le glissement est le double de la distorsion g = 2e

VI Relation Contraintes - Déformation VI-1 Contraintes et Déformations VI-2 Lois de Comportement VI-3 s et e Nominales et Naturelles VI-4 Le Travail de Déformation Plan

VI-1 Contraintes et Déformations Description de l’État Mécanique Local Contraintes Déformations Définition (M,l ) = u e l (M) (M, n ) = T s n M dV V = Tr(e) = Div 2e = Grad + tGrad Symétrie sij= sji eij= eji Conditions aux limites Loi Fondamentale de la Dynamique sij xj + = rXj rgi (M) f s n DivDs + rX = rg Conservation de la Masse : Continuité e Inc( )= RotD(RotG ) = 0 [Inc( )]rl= drmidlkj = 0 Description Indépendante du Comportement du Matériau

VI-2 Lois de Comportement Équation d’État du Matériau s e d dt , }= 0 F{ Déformations Contraintes Solution du Problème => e s Élasticité Plasticité Viscosité Rupture Description du Comportement du Matériau

VI-3 s et e Nominales et Naturelles sn en F dl Dl Dl F Vraies l S l0 S0 Élasticité Plasticité Rupture s  sn e  en l0 S0 Nominales s > sn e < en Naturelles ou Vraies s = F S de = dl l Nominales sn= F S0 en= Dl l0 e = l0 l0+Dl dl l = Ln(1+ ) Dl l0 = Ln(1+ en) La Loi de Comportement du Matériau relie e et s Vraies

VI-4 Le Travail de Déformation VI-4.1 Travail des Forces Externes VI-4.2 Champs admissibles et Travaux virtuels VI-4.3 Relation avec la Thermodynamique VI-4.4 Réversibilités Thermique et Mécanique Plan

VI-4.1 Le Travail de Déformation : Travail des Forces Externes n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface) V S Forces de Surface : du + => Champ de déplacement du X Force Extérieure Appliquée (/ unité de volume) X -rg Force d’Inertie g Forces de Volume : = + + = = + = Équilibre Dynamique + Anti Symétrie dW = Tr(sde)

VI-4.2 Le Travail de Déformation : Champs admissibles et Travaux virtuels Cinématiquement admissible e’ u’ Continu dérivable Inc( )0 Dynamiquement admissible s* +r X* g* DivD =r n = f* =F{ } s’ e’ Loi de Comportement  n  f et DivDs’ + rX  rg Loi de Comportement Inc( )0 e*  =F{ } s* u’ s’ e’ Virtuels g* X* f* s* e* Virtuels dW = Tr( d ) s* e’ dW = Tr( d ) s e Récupérable (Élasticité) Dissipé (Viscosité Rupture) Bloqué (Plasticité) { f Solution réelle X g u e e’ = s s*

VI-4.3 Le Travail de Déformation : Relation avec la Thermodynamique E densité volumique d’énergie interne F densité volumique d’énergie libre S densité volumique d’entropie W densité volumique de travail reçu Q densité volumique de chaleur reçue V S q flux de chaleur sortant n T F=E-TS 1er principe = + -  et dE = Tr(sde)+dQ-dDivq - 0 + 2ème principe et  d1 = Tr(sde) – (dF+SdT) d2 = –d( GradT) q T intrinsèque thermique Incréments de dissipation volumique d = d1 + d2 0

VI-4.4 Le Travail de Déformation : Réversibilités Thermique et Mécanique d1 = Tr(sde) – (dF+SdT) d2 = –d( GradT) q T Mécanique Thermique Dissipation volumique d = d1 + d2 Réversibilité thermodynamique d = 0 Réversibilité Thermique d2 = 0 GradT =0 q T Réversibilité Mécanique d1 = 0 dF = Tr(sde) – SdT En particulier T = Cte Isotherme q = 0 Adiabatique En Isotherme : Élasticité parfaite dF = Tr(sde)