Méridienne sur un hyperboloïde La maquette Francis Ziegeltrum 2 mai 2015 Réunion CCS-Grenoble Images tirées de youtube „the hyperboloid Basilica de la Sagrada Familia“

Hyperboloïde de révolution

Hyperboloïde de révolution Par définition, l‘hyperboloïde de révolution est la surface engendrée par la rotation d’une droite quelconque autour d’un axe. Axe de rotation Droite génératrice

Hyperboloïde de révolution L‘hyperboloïde de révolution est une surface intermédiaire entre le cylindre et le cône à deux nappes. On passe d’un cylindre à un hyperboloïde en augmentant l’angle de déphasage. angle de déphasage

Les paramètres de l’hyperboloïde Trois paramètres définissent entièrement l‘hyperboloïde : Le diamètre de la base La hauteur L’angle de déphasage diamètre de la base hauteur

Livres traitant ce sujet Gnomonique analytique Joseph Mollet La gnomonique Denis Savoie

Réalisation d‘une méridienne sur un hyperboloïde Diamètre 100mm Déphasage -105° Hauteur 137,4mm Longueur du gnomon 60mm Longitude=-7°26‘ Latitude=47°39‘

La maquette est réalisée en plâtre au moyen d’un tour, une règle métallique matérialise la droite génératrice

Un rouleau de carton sert de support

Le plâtre est appliqué progressivement sur le carton et lissé avec la règle

L’hyperboloïde en plâtre est terminé

Méthode de calcul de la méridienne S B I Zh Xh Yh Gnomon P Nous voila enfin arrivés au cœur du sujet d’aujourd’hui: comment tracer un cadran solaire de temps moyen sur une surface réglée de révolution quelconque? Commençons par poser le problème. Nous avons nos 2 cercles qui portent les génératrices. A et B désignent les points d’accroche d’une génératrice. Le vecteur AB est donc un vecteur directeur de la génératrice passant par A et B Plaçons un gnomon perpendiculairement à l’axe de révolution. Le point P désigne l’extrémité du gnomon. Plaçons l’ensemble face au Soleil qui projette l’ombre de l’extrémité du gnomon sur la surface. Supposons que cette ombre soit projetée sur la gé A Un point I projection de P appartient à la surface réglée si et seulement si il appartient à une des droites génératrices.

Méthode de calcul de la méridienne S B I Zh Xh Yh Gnomon P Nous voila enfin arrivés au cœur du sujet d’aujourd’hui: comment tracer un cadran solaire de temps moyen sur une surface réglée de révolution quelconque? Commençons par poser le problème. Nous avons nos 2 cercles qui portent les génératrices. A et B désignent les points d’accroche d’une génératrice. Le vecteur AB est donc un vecteur directeur de la génératrice passant par A et B Plaçons un gnomon perpendiculairement à l’axe de révolution. Le point P désigne l’extrémité du gnomon. Plaçons l’ensemble face au Soleil qui projette l’ombre de l’extrémité du gnomon sur la surface. Supposons que cette ombre soit projetée sur la gé A Un point I projection de P appartient à la surface réglée si et seulement si les vecteurs sont coplanaires

Méthode de calcul de la méridienne S B I Zh Xh Yh Gnomon P Nous voila enfin arrivés au cœur du sujet d’aujourd’hui: comment tracer un cadran solaire de temps moyen sur une surface réglée de révolution quelconque? Commençons par poser le problème. Nous avons nos 2 cercles qui portent les génératrices. A et B désignent les points d’accroche d’une génératrice. Le vecteur AB est donc un vecteur directeur de la génératrice passant par A et B Plaçons un gnomon perpendiculairement à l’axe de révolution. Le point P désigne l’extrémité du gnomon. Plaçons l’ensemble face au Soleil qui projette l’ombre de l’extrémité du gnomon sur la surface. Supposons que cette ombre soit projetée sur la gé θ A Pour chaque point I on connait l’angle q positionnant le point A sur le cercle de base et la distance

Simulation du tracé de la méridienne calculs effectués avec Excel

Coordonnées pseudo-polaires Les coordonnées pseudo-polaires permettent de reporter point par point les courbes en 8 sur la surface de l’hyperboloïde I θ A

Coordonnées pseudo-polaires des courbes en 8 12h 13h 14h 15h Angle θ Distance AI intersection avril -20.3 49.7 25.4 62.2 47.4 62.3 71.9 50.8 01-mai -23.9 40.0 19.3 53.7 41.9 53.3 66.1 36.2 01-juin -31.7 25.6 10.6 42.8 33.6 42.4 55.3 22.9 solstice été -37.5 19.6 7.1 30.7 40.5 51.6 23.1 01-juil -40.0 18.5 6.5 30.4 41.3 51.3 25.3 01-août -41.2 26.7 11.6 48.8 35.6 50.0 57.5 37.2 intersection août 49.6 47.5 72.0 50.9 01-sept -18.0 51.4 26.6 63.1 48.4 63.2 73.3 51.8 équinoxe automne 7.4 67.9 39.1 73.0 58.7 72.5 87.2 62.5 01-oct 15.4 72.6 43.3 76.1 62.1 75.7 91.5 66.7 01-nov 36.1 85.3 55.1 86.0 71.2 85.8 96.1 83.2 01-déc 91.4 59.3 73.4 92.3 91.3 solstice hiver 42.2 92.7 58.3 92.5 88.8 01-janv 39.6 56.7 92.2 70.5 86.8 01-févr 24.3 86.4 49.0 87.8 64.6 87.9 81.8 87.4 01-mars -0.6 73.2 39.7 79.6 80.0 78.3 77.8 équinoxe printemps -14.4 61.9 33.1 72.2 72.7 76.0 67.7 01-avr -18.2 55.4 29.1 67.1 50.5 67.4 74.2 59.4

Coordonnées pseudo-polaires des courbes diurnes solstice d'été solstice d'hiver équinoxe Angle θ Distance AI 11:00   11:15 11:30 28.5 92.5 11:45 -62.3 1.1 36.5 92.7 12:00 -37.5 19.6 42.2 -14.4 61.9 12:15 -21.7 29.0 46.9 7.1 67.7 12:30 -10.0 34.5 51.0 92.6 18.4 70.1 12:45 -0.7 37.9 54.8 26.5 71.4 13:00 40.0 58.3 33.1 72.2 13:15 13.9 41.3 61.7 38.9 72.7 13:30 19.9 41.7 65.1 44.0 73.0 13:45 25.5 41.5 68.5 48.9 14:00 30.7 40.5 72.0 53.7 14:15 35.7 38.7 75.6 58.5 14:30 40.7 79.5 63.5 14:45 45.9 31.0 83.9 69.2 70.0 15:00 51.6 23.1 88.8 76.0 15:15 58.8 7.6 94.8 87.0 62.0 15:30 103.3 92.4

Exemple d’un rapporteur d’angle θ

Report des coordonnées sur la maquette

Mise en place du gnomon Les coordonnées pseudo-polaires de l’emplacement de la base du gnomon sont calculées en cherchant le point d’intersection de la droite portant le gnomon (axe Xh )avec une des génératrices de l’hyperboloïde. B Zh Xh Yh Gnomon P I Coordonnées pseudo-polaires Angle θ = 74,5° Distance AI= 104mm A

Retrouvez cet exposé sur ma page perso: http://francis. ziegeltrum