Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 2 Principes de tarification de base

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Ajustement des sinistres L'objectif de l'actuaire en tarification est d'estimer chacun des éléments de l'équation de base déterminée précédemment pour la période future où les taux seront effectifs : Prime = Sinistres + LAE + Dépenses de souscription + Profit Nous avons précédemment appris les ajustements nécessaires à effectuer aux primes. Durant ce chapitre, nous allons nous concentrer aux ajustements devant être effectués aux sinistres et dépenses reliées aux sinistres. Particulièrement, mous allons voir les ajustements pour les points suivants : - Sinistres majeurs / Catastrophes - Développement des sinistres - Changement du niveau de sinistre à travers le temps

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Sinistres majeurs Les sinistres très élevés ne sont pas très fréquents, mais sont quand même attendus dans le monde de l'assurance. Ces sinistres auront donc tendance à créer beaucoup de volatilité dans notre expérience passée, cette volatilité peut rendre la projection de nos sinistres dans le futur plus difficile. Par exemple, si un sinistre avec une période de retour de 20 ans survient durant notre dernière année d'expérience, nous ne pouvons pas assumer qu'un sinistre similaire surviendra durant notre période de tarification future.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Sinistres majeurs À première vue, on pourrait penser que simplement exclure ces sinistres majeurs serait suffisant. Cependant, même si ces sinistres surviennent rarement, il faut quand même les considérer pour déterminer la prime devant être chargée aux assurés afin que l'assureur atteint son profit visé en moyenne sur plusieurs années. Une méthode plus adéquate serait donc d'imposer une « valeur maximale » que peut prendre nos sinistres (i.e. 100K, 200K,1M...) et de ré-allouer l'excédent proportionnellement aux années de l'expérience passée utilisée. Cette valeur maximale est souvent être déterminée au jugement de l'actuaire en regardant des distributions des sinistres et en sélectionnant un certain percentile. (i.e. 95e, 98e, 99e percentile...)

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Sinistres majeurs Exemple 1, en utilisant une valeur maximale de 1M, déterminer le facteur d'ajustement devant être appliqué uniformément aux sinistres des années passées une fois la valeur maximale appliquée.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Sinistres majeurs Exemple 1, suite... Dans le tableau de la diapositive précédente, voici comment sont calculé les colonnes afin d'obtenir le facteur d'ajustement de : (2) = Nombre de sinistres majeurs (> 1M) (3) = Montant total des sinistres majeurs (> 1M) sans ajustements (4) = Montant excédent la valeur maximale de 1M = (3) – (2) * 1M (5) = Montant total des sinistres une fois la valeur maximale appliquée = (1) – (4) (6) = % d'ajustement (Excess Ratio) = (4) / (5) (7) = Facteur d'ajustement final = 1 + Total de (6) Facteur d'ajustement final = 1+ 28,718,201 / 1,812,529,158 = = 1.016

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Catastrophes Pour des raisons similaires aux sinistres majeurs, les catastrophes devront elles être complètement exclues et ré-allouée proportionnellement à chaque année de l'expérience passée. Contrairement aux sinistres majeurs qui sont des sinistres individuels ayant une sévérité très élevée, les catastrophes, elles, représentent plutôt un seul événement engendrant une quantité élevée de réclamations. Le montant de ces réclamations peut être très élevé comme il peut être d'un niveau normal. C'est plutôt le nombre anormal de réclamations engendrés qui nous cause problème. C'est pour cette raison qu'on ne peut pas simplement appliquer une « valeur maximale » aux sinistres d'une catastrophe, il faut carrément les exclure de notre expérience et les ré-allouer de façon proportionnelle

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Développement des Sinistres Un assureur vendant une police d'assurance traditionnelle promet de payer tous sinistres survenant durant le terme de la police. Pour cette raison, même après l'expiration de la police d'assurance, l'assureur est exposé à payer pour tous sinistres encore ouverts étant survenus durant le terme, qu'ils soient déclarés ou non... Il faudra donc prendre en compte tout développement futur des sinistres lors de la tarification des polices. Afin d'y arriver, l'actuaire en tarification utilisera généralement les facteurs de développement (CDF) déterminés par un actuaire corporatif s'occupant des réserves. Il faut aussi s'assurer que les facteurs utilisés pour la ligne d'affaire en question soient pertinents et adéquats.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les sinistres En plus d'ajuster les sinistres à leur niveau ultime, il sera nécessaire de projeter les sinistres au niveau de notre période future de tarification selon l'inflation les affectant. L'inflation de la Prime Pure (Loss Cost) pourrait être directement estimé, mais il est recommandé, si possible, d'estimer séparément l'inflation de la fréquence et de la sévérité des sinistres afin de gagner en précision. f: Inflation de la fréquence s: Inflation de la sévérité Inflation de la Prime Pure = (1+ f) * (1+ s) -1 En pratique, pour déterminer les facteurs d'inflations à utiliser, des régressions linéaires sur la fréquence, la sévérité et la prime pure historique peuvent être utilisées.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Période d'inflation Pour chaque année de notre expérience, nous allons appliquer le facteur d'inflation de la date moyenne d'accident à la date moyenne d'accident de la période où nos nouveaux taux entreront en vigueur. En d'autres mots, pour chaque année, le facteur d'inflation pour sinistres sera égale à : a= facteur d'inflation de la prime pure n= nombre d'années entre les deux dates moyennes d'accident de la police Facteur d'inflation = (1+a)^n Notes Pour les dates moyennes d'accident, nous allons toujours supposer que les sinistres surviennent uniformément durant l'année

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Période d'inflation Similaire à l'inflation des primes, l'actuaire en tarification peut très bien déterminer que l'inflation de l'expérience passé n'est pas prédictive du futur. Lorsque ce sera le cas, il faudra donc diviser la période de « trend » en deux : 1) Période d'inflation affectant l'expérience passée 2) Période d'inflation future La date où l'inflation passée finit et l'inflation future commence sera déterminée au jugement de l'actuaire. Par défaut, ce sera la data moyenne d'accident de la dernière période de l'expérience passée.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les sinistres Exemple 2 : Avec un facteur d'inflation de la prime pure de 1%, calculer le facteur d'inflation des sinistres de l'année d’accident 2011, si les nouveaux taux seront en vigueur du 1er Janvier 2015 au 31 Décembre (supposer des polices 1 ans seulement)

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les sinistres Exemple 2 : Suite... Date moyenne d'accident de l'année de survenance 2011 : Comme les données sont regroupées en années de survenance, la date moyenne d'accident sera simplement égale au point milieu de l'année soit le 1er Juillet (en supposant que les sinistres surviennent uniformément à travers les années) Date moyenne d'accident de la période future où les taux entreront en vigueur: Les polices qui seront écrites au nouveau taux seront écrites entre le 1er Janvier 2015 et le 31 Décembre La date moyenne d'écriture est donc le milieu de cette période, le 30 Juin Pour ce qui est de la date moyenne d'accident de ces polices, nous allons supposer que les sinistres arrivent en moyenne au milieu du terme des police. Comme les polices ont tous un terme de 1 ans, la date moyenne d'accident sera donc 6 mois plus tard que le 30 Juin 2015 soit le 1er Janvier er Janvier 2016 – 1er Juillet 2011 = 4.5 ans Facteur d'inflation = 1.01^4.5 =

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique « Overlap Fallacy » À première vue, on pourrait penser que l'inflation et le développement des sinistres sont des ajustements se chevauchant. Cependant, ce n'est pas le cas! On se rappelle que les sinistres de notre expérience passée ne sont pas développés à l'ultime au début de notre analyse. L’application de l'inflation met ces pertes au niveau de pertes similaires arrivant dans notre période de tarification future. Ces pertes futures sont toujours « immatures » et doivent donc quand même être développés à un leur niveau ultime comme le démontre l'exemple ci-dessous :

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Dépenses reliées aux sinistres Tel que mentionné au début de la deuxième partie, il existe deux types de dépenses reliées aux sinistres : ALAE : Allocated Loss Adjustment Expenses ULAE : Unallocated Loss Adjustment Expenses Ces dépenses doivent bien sûr être prient en considération lors de la tarification d'une ligne d'affaire. Pour les dépenses ALAE, elles seront par défaut incluent avec les pertes pour des fins de tarifications, car elles varient proportionnellement avec le montant des sinistres. Les dépenses ULAE, elles, varient plutôt en fonction du nombre de sinistres déclarés. Cependant, comme elles sont difficilement attribuables à des sinistres en particulier ou même à une période en particulier, on ne peut pas tout simplement les traiter de la même façon que les ALAE.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Dépenses reliées aux sinistres Allocation des ULAE Une façon de considérer les ULAE lors de la tarification sera de calculer un facteur d'ajustement moyen aux sinistres afin d'allouer les ULAE aux sinistres : Facteur d'ajustement pour ULAE = 1+ ULAE payé / (Sinistres payés + ALAE payés) Note : Les données ci-dessus sont calculées en fonction d'années civiles et non d'années de survenance, car nous ne pouvons pas vraiment associé les ULAE payés pour une année de survenance en particulier. La moyenne de plusieurs années pourra bien sûr être utilisée, cependant, lors de notre sélection, il ne faudra pas oublier qu'on essaie de projeter les ULAE futures Même si le facteur d'ajustement est calculé en fonction des ALAE et sinistres payés par année civile, il sera quand même appliqué sur des années d’accident une fois les sinistres développés et les facteurs d'inflation appliqués.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Dépenses reliées aux sinistres Exemple 3, Calculer le facteur d'ajustement à appliquer aux sinistres selon les données ci-dessous :

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Exercices Voici quelques exercices des examens antérieurs de la CAS pertinents à la matière de cette section : Exam 5 - Spring 2012 : #7 Exam 5 - Spring 2011 : #7 Exam 5 - Spring 2010 : #21, #24, #27a) Exam 5 - Spring 2009 : #27, 30b)-c) Exam 5 – Spring 2008 : #26b) Note Les exercices sont disponibles sur la site de la CAS à l'adresse suivante :