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Introduction L’eau constitue un défi particulier car son aspect et son mouvement peuvent prendre diverses formes. Les vagues sont le résultat de champs de forces complexes (gravité, vent, attraction de la lune, …) sur un élément assez homogène, l’eau. L’eau est aussi placée dans certaines conditions de contraintes (fonds marins, reliefs des côtes, …). Les vagues contiennent intrinsèquement une composante dynamique et ne sauraient se concevoir en dehors de leurs mouvements.

Surface calme d’allure rigide à laquelle des ondulations peuvent Eau calme Surface calme d’allure rigide à laquelle des ondulations peuvent être ajoutées sous la forme d’attributs d’affichage. Il s’agit de perturber la normale à la surface pour simuler l’apparence de vagues de faible amplitude comme suit : Soient S(u,v): l’équation de la surface représentant une étendue d’eau comme un lac calme ou de l’eau stagnante, P(u,v): une fonction de perturbation de la normale (fonction sinusoïdale) A cos 2  d(u, v) L : hauteur de la vague d L : longueur d’onde et d(u, v) : désigne la distance entre S(u, v) et une droite fixée au préalable D.

alors la surface perturbée est : Eau calme alors la surface perturbée est : S'(u, v ) = S(u, v) + P(u, v) * N(u, v) / ||N(u, v)|| où N(u, v) désigne la normale à la surface S à (u, v). P surface u surface N'(u, v) : S'u x S'v : la normale à la surface S' Su : S(u, v), Sv : S(u, v), Pu : P(u, v), Pv : P(u, v), etc. u v u v Sv + Pv N / ||N|| + P(N / ||N||)v Su + Pu N / ||N|| + P(N / ||N||)u  Sv+ Pv N / ||N||  Su + Pu N / ||N|| car, dans bien des cas, la surface S est plane ou bien la fonction de perturbation est relativement petite (eau calme).

Supposons que la droite D passe par les points Q et R Eau calme N'  Su x Sv + Pv (Su x N) / ||N|| + Pu (N x Sv) / ||N|| + Pu Pv (N x N) / ||N||2 N'  N + Pv (Su x N) / ||N|| + Pu (N x Sv) / ||N|| Calcul de d(u, v) Supposons que la droite D passe par les points Q et R Q P +  (Q - P) P S(u, v) [P – (P +  (Q - P))] * [S(u, v) – (P +  (Q - P))] = 0  = (S(u, v) – P) * (Q - P) d(u, v) = || S(u, v) – P – [(S(u, v) – P) * (Q - P) ] (Q – P) ||

Les vagues générées se déplacent dans une direction uniforme. Eau calme Tiré de Nelson L. Max, Vectorized Procedural Models for Natural Terrain. SIGGRAPH 81, 15(3), pp. 317-324. Les vagues générées se déplacent dans une direction uniforme.

Eau calme (approche radiale) P(u, v) = A cos 2  d(u, v) L où d(u, v) = || S(u, v) – C ||, C désigne un point source spécifié par l’usager ou généré aléatoirement. Cela permet d’obtenir un effet différent ou de simuler l’effet d’une goutte d’eau frappant la surface de l’eau. d

Eau calme (hauteur des vagues p/r au temps) P(t) = A cos 2  t T où t : temps, T : période de la vague.

Eau calme (combinaison des 2 modèles précédents) P(u, v, t) = A cos 2  d(u, v) + t L T où t : temps, T : période de la vague. Eau calme (superposition de plusieurs fonctions sinusoïdales d’amplitude et de mesure de distance différentes) Permet de générer des modèles intéressants d’ondes se chevauchant.

Vagues déferlantes et vagues océanes Les vagues déferlantes se brisent avec violence sous l’effet du vent ou de la faible profondeur des fonds en bordure du rivage. Le déferlement signifie que des particules d’eau se détachent de la surface de la vague : elles sont projetées en avant au-delà de la vague. Ces vagues dites vagues du vent sont plus intéressantes du point de vue visuel. Considérons la fonction de perturbation suivante : P(u, v, t) = A cos 2  d(u, v) – C t L où A : amplitude de la vague, d(u, v) : distance à partir du point source, t : temps, L : longueur d’onde, C : vitesse de propagation, T : période de la vague (= L / C), H : hauteur de la vague (2A).

Vagues déferlantes et vagues océanes Mouvement des molécules Mouvement de la vague Le mouvement d’une vague se distingue du mouvement de l’eau : la vague se déplace de manière linéaire à la surface de l’eau alors qu’une particule d’eau se déplace selon une orbite quasi circulaire. Lorsque la particule chevauche la crête de la vague, elle se déplace dans le sens de la vague. Au moment où la vague passe et que la particule tombe dans le creux entre 2 vagues, elle se déplace dans la direction opposée.

Forme des vagues déferlantes et océanes Si la cambrure ou la courbure en arc de la vague (S = A / L) est petite, alors les vagues ont généralement une forme sinusoïdale sinon elle évolue vers une crête plus pointue et un creux plus plat (sa forme se rapproche de celle d’une cycloïde).

Vagues océanes et vagues déferlantes Dans une vague idéale (océane), il n’y a pas de déplacement net d’eau i.e. la particule d’eau effectue une orbite complète dans le laps de temps qu’il faut à la vague pour effectuer un cycle complet. La vitesse orbitale moyenne d’une particule d’eau est donnée par : Qmoy = 2  A = 2  A C = 2  S C T L Si la vitesse orbitale à la crête dépasse la vitesse de la vague, C alors de l’eau passe par-dessus la vague et provoque une vague déferlante. Embruns : pluie fine soulevée par le vent au-dessus des vagues. Tiré de A. Fournier & W. T. Reeves, A Simple Model of Ocean Waves. SIGGRAPH 86, 20(4), pp. 75-84.

Vagues océanes et vagues déferlantes Puisque la vitesse moyenne, Qmoy, augmente lorsque S augmente, le rapport S = A / L d’une vague non déferlante est limité et correspond à une forme sinusoïdale. Comment déterminer la vitesse de propagation C ? Une approximation de C nous est donnée laquelle dépend de la profondeur p(u, v) de l’eau :  C = g L tanh 2  p(u, v) 2 L g = 9,81 m/sec2 Eau profonde (p  )  C  g L 2  Erreur de 5% si p > L/4 Peachey (86) Eau peu profonde (p  0)  C  g p(u, v) Erreur de 5% si p < L/20

Vagues océanes et vagues déferlantes Lorsqu’une vague entre dans une zone d’eau peu profonde, - L et C diminuent (T = L / C), - T reste identique, - l’amplitude A reste identique. La vitesse orbitale Q = 2  A ne change pas. T Puisque la vitesse orbitale Q ne change pas quand la vitesse de la vague C diminue, les vagues ont tendance à déferler lorsqu’elles s’approchent de la rive parce que la vitesse de l’eau Q dépasse la vitesse de la vague C. L’écume et les embruns créés par les vagues déferlantes et les vagues heurtant des obstacles peuvent être simulés au moyen d’un système de particules.

Plusieurs difficultés rencontrées … lorsque l’eau rencontre un obstacle comme par exemple un rocher, (Pour modéliser des vagues océanes, nous avons fait l’hypothèse qu’il n’y a pas de déplacement d’eau.) mettre de côté cette hypothèse dans de nombreuses situations, comme un fleuve s’écoulant le long d’une pente, lorsque les vagues déferlantes et les vagues heurtant des obstacles produisent de l’écume ou des embruns, etc. L’élaboration complète d’un modèle intégré reste néanmoins un défi à relever.