Analyse des données

Plan Lien entre les statistiques et l’analyse des données Propagation des erreurs Ajustement de fonctions

Échantillon vs population Une mesure échantillonne une population La distribution de l’échantillon approxime celle de la population La précision sur les estimations augmente avec la taille de l’échantillon N

Exemple de comptage

n = 100

n = 1000

n =

Précision sur la moyenne L’estimation de la moyenne s’affine avec N Population Échantillon

Erreur sur une variable dépendante

Propagation d’erreurs

x et y sont des variables indépendantes Et  x et  y sont des erreurs indépendantes Leurs effets s’additionnent quadratiquement

Propagation d’erreur pour des incertitudes indépendantes

Propagation d’erreurs (sans corrélations)

Moyenne pondérée Plusieurs mesures de x (x 1, x 2,... x i,,... x n ) Différentes précisions (  1,  2,...  i,,...  n ) On cherche la meilleure évaluation de la moyenne µ Les mesures précises doivent contribuer davantage

Moyenne pondérée Si tous les  i sont égaux,

Ajustement de courbes Soit f(x) une fonction physique On fait une mesure de f(x) en x = x 1 On cherche la probabilité que la mesure soit bonne

La probabilité totale est

La valeur de P ou de  2 nous dit si les mesures représentent bien la théorie

Ajustement En général, la situation est inversée On ne connaît pas f(x) Mais on connaît (ou on essaye) une forme –droite –polynôme –fonction arbitraire

Ajustement On cherche les a i qui maximisent P –Vraisemblance maximale –Maximum likelihood Ou qui minimisent  2 –Moindres carrés

Régression linéaire On veut passer la meilleure droite à travers n points expérimentaux

Régression linéaire On cherche a et b qui minimisent  2 2 équations, 2 inconnus (a et b)

Régression linéaire

Incertitudes égales (votre calculatrice)

Régression linéaire 5 mesures f(x) = 3x + 7 a=7b=3  2 = 10,1 a = 5,9b = 2,9  2 min = 5,9

Contours du  2

Incertitude sur les paramètres a et b dépendent des y i  a et  b dépendent des  i On applique la règle de propagation

Incertitude sur les paramètres

Incertitude et  2

La régression linéaire trouve le minimum du  2 Un écart-type sur les paramètres correspond à une augmentation de 1 du  2. Pourquoi ? Les courbes de niveau indiquent la corrélation entre les paramètres

Incertitude et  2 Gaussienne d’écart-type = 1 L’incertitude représente une variation de 1 du  2

Corrélation linéaire On peut toujours passer une droite par des points Mais ces points peuvent-ils être décrits par une droite ? Le coefficient de corrélation linéaire r nous donne la réponse

Corrélation linéaire b = 2,7 b’ = 0,33 r = sqrt(bb’) = 0,95 b = 0,29 b’ = 0,33 r = sqrt(bb’) = 0,31