INEQUATIONS 1. OPERATIONS On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on ajoute (ou lorsqu’on retranche) un même nombre aux deux membres de cette inégalité. Si a < b alors < a b + c + c Exemple : x – 7 ≥ 4 x – 7 ≥ 4 + 7 + 7 x ≥ 11

On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) par un même nombre strictement positif les deux membres de cette inégalité. Si a < b et c > 0 alors < a b × c × c En revanche, on doit changer le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) par un même nombre strictement négatif les deux membres de cette inégalité. Si a < b et c < 0 alors < a b × c × c

Exemples : 5x ≤ – 35 –3x > – 8 5x – 35 – 3x – 8 ≤ > 5 5 – 3 – 3 – 3 est négatif donc on change le sens de l’inégalité – 3x – 8 ≤ > 5 5 – 3 – 3 x ≤ – 7 x <

2. RESOLUTION Résoudre une inéquation, c’est trouver tous les nombres x qui vérifient cette inégalité. Exemple : 3x +2 < 6x – 7 3 × 5 + 2 = 15 + 2 = 17 6 × 5 – 7 = 30 – 7 = 23 < 3 × 5 + 2 6 × 5 – 7 Donc 5 est une solution de 3x +2 < 6x – 7 3 × (– 4) + 2 = – 12 + 2 = – 10 6 × (– 4) – 7 = – 24 – 7 = – 31 < 3 × (– 4) + 2 6 × (– 4) – 7 Donc (– 4) n’est pas une solution de 3x +2 < 6x – 7

Inéquation 1 : – 3x + 4  – 2 – 3x + 4 – 2 – 4  – 4 – 3x  – 6 On change le sens car – 3 est négatif. – 3x – 6  – 3 – 3 x  2 Pour les inéquations, on représente les solutions sur une droite graduée. (Cette représentation consiste à tracer un axe gradué et orienté sur lequel on colorie la partie représentant les nombres qui sont solutions). Ici, les solutions sont les nombres inférieurs ou égaux à 2, on colorie donc sur la droite graduée tous les nombres à gauche de 2, 2 inclus. 2

Inéquation 2 : x + 5 < 4(x + 1) + 7 On développe. x + 5 < 4x + 4 + 7 On réduit. x + 5 < 4x + 11 x + 5 4x + 11 – 4x < – 4x – 3x + 5 < 11 – 3x + 5 11 – 5 < – 5 – 3x < 6 On change le sens car – 3 est négatif. – 3x 6 > – 3 – 3 x > – 2 – 2

Le plus avantageux signifie le moins cher, donc 18 + 0,20x < 0,50x c. Mise en inéquation Un opérateur téléphonique propose les deux tarifs suivants : Tarif 1 : 0,50 € la minute Tarif 2 : Un abonnement de 18 € par mois, puis 0,20 € la minute. A partir de combien de minutes par mois, le tarif 2 est-il plus avantageux ?  Choix de l’inconnue : x désigne le nombre de minutes de communication dans le mois.  Mise en inéquation : Prix avec le tarif 1 : 0,50x Prix avec le tarif 2 : 18 + 0,20x Le plus avantageux signifie le moins cher, donc 18 + 0,20x < 0,50x

 Résolution de l’inéquation : 18 + 0,20x < 0,50x 18 + 0,20x – 0,20x < 0,50x – 0,20x 18 < 0,30x 60 < x (ou x > 60)  Conclusion : A partir de 60 minutes de communication mensuelles, le tarif 2 est le plus avantageux.