Monsieur le président, messieurs les rapporteurs et membres du jury, mesdames messieurs, je me propose de vous présenter quelques points forts de mon mémoire de thèse intutilé:

Directeur de thèse : Christian Rombaut Outils et méthodologie d’étude des systèmes électriques polyphasés Généralisation de la méthode des vecteurs d’espace

Plan Introduction Caractérisation vectorielle des modulateurs Association Modulateur - Sources Commande d’une machine pentaphasée Conclusion

Introduction Plan Formalismes existants Quels outils ? Exemples d’utilisation

Introduction Formalismes existants Étude des systèmes électriques Formalisme matriciel Phaseurs complexes ou vecteurs d’espace Voyons maintenant un exemple dans le détail. Comment utiliser ces outils pour caractériser vectoriellement les modulateurs d'énergie Après une rapide description du modulateur étudié, nous définirons des espaces vectoriels ainsi que des familles de vecterus qui lui sont associées. En fin, nous verrons comment se caractérise un modulateur qui est piloté aux valeurs moyennes

Introduction Formalismes existants Formalisme matriciel Espaces vectoriels

Introduction Formalismes existants Formalisme matriciel Espaces vectoriels Applications linéaires d’espaces vectoriels ou morphismes

Introduction Formalismes existants Phaseurs complexes Pour les systèmes triphasés : Commande des onduleurs 1 a 2 3 4 5 6 0 et 7 1 a 2 3 4 5 6 0 et 7 Équations des machines électriques Utilisation des connaissances de géométrie Rotation plane d’angle q Multiplication par exp(jq).

Introduction Quels outils ? Est-il nécessaire d’introduire de nouveaux outils? OUI, si Synthèse de méthodes généralisables

Introduction Quels outils ? Noyau et image d’un morphisme Barycentre et produit mixte Produit scalaire et vectoriel Au service d’un formalisme vectoriel

Introduction Quels outils ? les modulateurs d’énergie les systèmes électriques polyphasés Un formalisme vectoriel pour étudier : Une généralisation de la méthode des phaseurs complexes

Introduction Exemples d’utilisation Noyau et image d’un morphisme Machine triphasée avec q barres rotoriques. Plus généralement, morphismes à matrice rectangulaire Alimentation d’une charge triphasée par onduleur de tension deux niveaux Plus généralement, détermination et exploitation des degrés de liberté de commande d’un modulateur

Introduction Exemples d’utilisation Barycentre et produit mixte Calcul des durées de conduction des interrupteurs d’un onduleur Prise en compte des durées minimales de conduction des interrupteurs d’un onduleur de courant

Introduction Exemples d’utilisation Produit scalaire et vectoriel Prise en compte des saturations de commande d’un onduleur Calcul des durées de conduction des interrupteurs Expression du couple d’une machine électrique

Caractérisation vectorielle des modulateurs Plan Modèle du modulateur étudié Familles et espaces vectoriels associés Pour une commande « aux valeurs moyennes »

Caractérisation vectorielle des modulateurs Modèle du modulateur étudié vc1 vc3 vc4 vc2 p tensions p sources de courant p sources de courant ic1 ic2 ic3 icp vt1 vt2 vtk Référence de potentiel k sources de tension it1 it2 it3 k courants k sources de tension

Associer deux espaces au MODULATEUR Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés Associer deux espaces au MODULATEUR Espace de dimension p Ecp Du côté des p sources de courant Du côté des k sources de tension Espace de dimension k Etk

Modulateur côté sources de courant Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés Modulateur côté sources de courant Espace de dimension p Ecp Base orthonormée :

Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés Espace de dimension p Ecp Modulateur côté sources de courant Différentes valeurs de vck Famille de vecteurs tension

Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés Exemple : onduleur triphasé deux niveaux Référence de potentiel vc1 ic1 vc1 = ± E vc2 = ± E vc3 = ± E 2 s o u r c e s d e t e n s i o n vc2 3 sources de courant ic2 vc3 ic3 E it1 NT -E it2

Représentation graphique : 8 points, sommets d’un cube Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés Exemple : onduleur triphasé deux niveaux vc1 = ± E vc2 = ± E vc3 = ± E 23 combinaisons Représentation graphique : 8 points, sommets d’un cube

Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés 8 sommets du cube (E,-E, E) (E,E,-E) (E,E,E) M7 Un bras bloqué à +E (E,-E,-E)

Caractérisation vectorielle des modulateurs d ’énergie <vc1> <vc2> <vc3> T / 2 T MLI régulière symétrique

Caractérisation vectorielle des modulateurs d ’énergie <vc1> <vc2> <vc3> T / 2 T Tension instantanée vc1 +E -E -E +E E MLI régulière symétrique -E -E Tension instantanée vc2 E -E Tension instantanée vc3 E -E t / 2 t 1 / 2 t 2 / 2 t 1 / 2 t 2 / 2 t / 2

Caractérisation vectorielle des modulateurs d ’énergie <vc1> <vc2> <vc3> Tension instantanée vc1 E MLI régulière symétrique -E Tension instantanée vc2 E -E Tension instantanée vc3 E -E Examen des points activés M0 M2 M2 M0 M2 M1 M7 M1 M1

Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés (E,E,E) M7 (-E,-E,-E) (E,-E,-E) (E,E,-E) M0 M1 M7 M2

Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés Ecp dimension p Résumons Côté source de courant Famille de vecteurs tension

Valeur moyenne à kT de la tension Caractérisation vectorielle des modulateurs Pour une commande “ aux valeurs moyennes ” Valeur moyenne à kT de la tension M barycentre des N points Mr tr/T coordonnées barycentriques

Caractérisation vectorielle des modulateurs Pour une commande “ aux valeurs moyennes ” M barycentre des N points Mr M appartient au polyèdre défini par les points Mr. Dans l’exemple étudié, cube :

Exemple de 4 points non coplanaires Caractérisation vectorielle des modulateurs Pour une commande “ aux valeurs moyennes ” Exemple : décomposition barycentrique de M sur 4 points non coplanaires Exemple de 4 points non coplanaires M2 M0 M1 M7 ti, tj, tk, tq ??

à chaque membre de l’équation Caractérisation vectorielle des modulateurs Pour une commande “ aux valeurs moyennes ” Exemple : décomposition barycentrique de M sur 4 points non coplanaires Appliquons l’opérateur à chaque membre de l’équation

Caractérisation vectorielle des modulateurs Pour une commande “ aux valeurs moyennes ” Exemple : décomposition barycentrique de M sur 4 points non coplanaires Propriétés

3 additions, 3 multiplications : commande temps réel Caractérisation vectorielle des modulateurs Pour une commande “ aux valeurs moyennes ” avec (x, y,z) coordonnées de M et (a,b,c,d) constantes ti = a x + b y +c z + d 3 additions, 3 multiplications : commande temps réel

Caractérisation vectorielle des modulateurs Résumé Caractérisation vectorielle indépendante de la charge Charge ? Généralisation aisée Coordonnées barycentriques Produit mixte Algorithme adapté au calcul temps réel Formulation générale des durées d’activation

Plan Introduction Caractérisation vectorielle des modulateurs Association Modulateur - Sources Espaces vectoriels associés aux sources Alimenter c’est créer un morphisme Exploitation des propriétés d’un morphisme

Espaces vectoriels associés aux sources Association modulateur - sources Espaces vectoriels associés aux sources uck tension aux bornes de la phase n°k jck courant au sein de la phase n°k n phases de la source de courant

Alimenter c’est créer un morphisme Association modulateur - sources Alimenter c’est créer un morphisme Ecp Enc ? Ac Morphisme Ac Modulateur impose p tensions vck Relations entre les p tensions vck et n tensions uck

Alimenter c’est créer un morphisme Association modulateur - sources Alimenter c’est créer un morphisme vc3 vc2 vc1 ic1 ic2 E -E it1 it2 uc1 uc2 uc3 jc1 jc2 jc3 vc1 vc3 Exemples : Pour un couplage triangle p = 3 n = 3 uc1  = vc1 – vc3 ; uc2  = vc2 – vc1 ; uc3  = vc3 – vc2 ;

Alimenter c’est créer un morphisme Association modulateur - sources Alimenter c’est créer un morphisme Exemples : Pour un couplage étoile ic3 vc1 vc3 vc2 ic1 ic2 E -E it1 it2 uc1 uc2 uc3 jc1 jc2 jc3 A B N vcN vc1 p = 3 n = 3 uc1  = vc1 – vcN ; uc2  = vc2 – vcN ; uc3  = vc3 – vcN ;

Alimenter c’est créer un morphisme Association modulateur - sources Alimenter c’est créer un morphisme vcN  =  0  ic3 B vc1 vc3 vc2 ic1 ic2 E -E it1 it2 uc1 uc2 uc3 jc1 jc2 jc3 A N Exemples : Pour un couplage étoile avec neutre sorti p = 3 n = 3 uc1  = vc1 – 0 ; uc2  = vc2 – 0 ; uc3  = vc3 – 0 ;

Alimenter c’est créer un morphisme Association modulateur - sources Alimenter c’est créer un morphisme B vc1 vc2 ic1 ic2 E -E it1 it2 uc1 uc2 jc1 jc2 ic3 uc3 jc3 NT A N Exemples : Couplage avec neutre sorti p = 2 n = 3 uc1  = vc1 – vCN ; uc2  = vc2 –  vCN  ; uc3  =  –  vCN  ;

Alimenter c’est créer un morphisme Association modulateur - sources Alimenter c’est créer un morphisme Ac Enc Ecp

Exploitation des propriétés d’un morphisme Plan Exploitation des propriétés d’un morphisme Synthèse d’une commande Analyse des degrés de liberté de la commande Phaseur complexe : caractérisation incomplète Application à la commande de l’onduleur triphasé

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Synthèse d’une commande On cherche à imposer les tensions uck aux bornes des n phases de la source de courant. Solution ? Ce vecteur doit appartenir à Im Ecp

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Synthèse d’une commande Ac Ecp Enc Im Ecp Si Ac est bijectif :

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Synthèse d’une commande Si Ac non bijectif Décomposition de Ecp en somme de deux espaces orthogonaux : Ecp = Ker Ac Å K e r A c ( ) E p

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Synthèse d’une commande Si Ac non bijectif K e r A c ( ) E p Im Ecp Acr n Morphisme bijectif Acr :

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Synthèse d’une commande Si Ac non bijectif Élément du noyau de Ac K e r A c ( ) E p Im Ecp n

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Analyse des degrés de liberté dim Ker Ac : nombre de degrés de liberté

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme ic3 B vc1 vc3 vc2 ic1 ic2 E -E it1 it2 uc1 uc2 uc3 jc1 jc2 jc3 A N Analyse des degrés de liberté Exemple : Couplage avec neutre sorti uc1  = vc1   uc2  = vc2  uc3  = vc3  dim Ker Ac = 0 pas de degré de liberté

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Analyse des degrés de liberté vc1 vc3 vc2 ic1 ic2 E -E it1 it2 uc1 uc2 uc3 jc1 jc2 jc3 Exemple : Couplage triangle dim Ker Ac = 1 Ker Ac droite de vecteur Un degré de liberté : « homopolaire »

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Direction du noyau

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Phaseurs complexes : caractérisation incomplète Décomposition d’un vecteur en deux composantes Abandon de la composante qui appartient au noyau Ker Ac Ecp = Ker Ac Å K e r A c ( ) E p M Mp Projection sur

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Phaseurs complexes : caractérisation incomplète Cas triphasé des couplages étoile et triangle Noyau : droite de vecteur directeur Projection

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Phaseurs complexes : caractérisation incomplète Cas triphasé des couplages étoile et triangle Projection du cube sur

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Phaseurs complexes : caractérisation incomplète Cas triphasé des couplages étoile et triangle

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Phaseurs complexes : caractérisation géométrique incomplète Cas triphasé des couplages étoile et triangle M0pet M7p x c 2 p 1 3 O M 6 5 4 E Incomplète ?

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Aux valeurs moyennes : étoile ou triangle doit appartenir à l’image du cube Image par Ac du cube engendré par les points Mr ? M 1 i 3 2 6 5 4 E M0i et M7i Source triphasée de courant en étoile M 1 i 3 2 6 5 4 E M0i et M7i Source triphasée de courant en triangle

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Aux valeurs moyennes : étoile ou triangle classique : avec injection d’harmonique 3 ou d’homopolaire :

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Classique aux valeurs moyennes doit donc appartenir au cube au plan d’équation vc1+ vc2 + vc3 = 0 Cette intersection définit un hexagone [P1, P2, P3, P4, P5, P6]

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Classique aux valeurs moyennes

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Classique aux valeurs moyennes Direction du noyau (homopolaire)

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Classique aux valeurs moyennes

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Aux valeurs moyennes avec homopolaire Exemple : un vecteur de consigne d’amplitude constante. Il décrit un cercle. décrit un cercle inscrit dans l’hexagone [M1p … M6p] appartient au cylindre inscrit dans le cube

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Aux valeurs moyennes avec homopolaire M7 Trace dans le plan de P2 M6 M2 M3 M3p M4 P1 M1 M1p M0p et M7p M0

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Aux valeurs moyennes avec homopolaire Homopolaire non nul M0p et M7p

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Aux valeurs moyennes avec homopolaire M2 M1 M1p Homopolaire non nul

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Aux valeurs moyennes avec homopolaire

Commande de l’onduleur triphasé Association modulateur - sources Commande de l’onduleur triphasé Aux valeurs moyennes avec homopolaire M1 M1p P1 P2 M2p

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Résumé Exploitation des propriétés d’un morphisme Méthode de synthèse d’une commande Comment déterminer et exploiter les degrés de liberté d’une commande Lien avec le phaseur complexe Commandes de l’onduleur triphasé

Commande d’une machine pentaphasée Plan Commande d’une machine pentaphasée expression du flux commande « optimale » machine diphasée « équivalente »?

Commande d’une machine pentaphasée Expression du flux 5 phases au stator et au rotor décalées de Régulièrement construite Linéaire du point de vue magnétique Approximation au premier harmonique d’espace Hypothèses sur la machine

Commande d’une machine pentaphasée Expression du flux

Commande d’une machine pentaphasée Expression du flux

Commande d’une machine pentaphasée Expression du flux droite plan plan , base orthonormée de vecteurs propres

Commande d’une machine pentaphasée Expression du flux

Commande d’une machine pentaphasée Expression du flux Forte participation au flux car mr est grand Mutuelles cycliques Vecteurs d’un même plan Inductances de fuite Faible participation au flux

Commande d’une machine pentaphasée Expression du flux Un espace scindé en 3 sous espaces vectoriels orthogonaux Sans couplage entre ces espaces Plan engendré par Composantes significatives des flux « Consacrer toute son énergie » à ce plan Annuler les autres composantes du courant statorique : Js0, Js3 et Js4

Commande d’une machine pentaphasée Commande « optimale » À même niveau de pertes Joule, + de flux annulation de Js0, Js3 et Js4 Or, Js0 = js1 + js2 + js3 + js4 + js5 Simple connexion « mécanique » des 5 bobines statoriques En étoile sans neutre sorti

Commande d’une machine pentaphasée Commande « optimale » Par contre : Commande adéquate du modulateur Annuler, aux valeurs moyennes, Js3 et Js4 « Notion de couplage électrique » ?

Commande d’une machine pentaphasée Machine diphasée « équivalente »? Si Js0 = 0, <Js3> = 0 et < Js4 > = 0 Définition d’une machine diphasée équivalente

Commande d’une machine pentaphasée Machine diphasée « équivalente »?

Commande d’une machine pentaphasée Résumé Unicité de la décomposition de l’espace en 3 sous espaces vectoriels orthogonaux Multitude des transformations matricielles ? Multitude de choix de bases possibles Critères d’une commande « optimale » : Ne pas exciter deux des trois sous espaces Machine diphasée « équivalente » aux valeurs moyennes

Conclusion Origine du formalisme ? Onduleur de courant en M.L.I. et Condensateurs - Machine Asynchrone

Conclusion Deux phénomènes de résonance ? Saturation de l’amplificateur « linéaire »? Saturation des boucles d’asservissement de tension ? de l’ensemble Machine Asynchrone - Condensateurs de l’onduleur de courant Caractérisation vectorielle :

Caractérisation de l’onduleur de courant : 6 vecteurs Conclusion Caractérisation de l’onduleur de courant : 6 vecteurs

Conclusion Moyens de calculs limités par un microcontroleur HC16 et Prise en compte des non linéarités de l’onduleur Optimisation de la détermination des durées de conduction Recherche du secteur et calcul des durées : 3 multiplications et 2 additions Vectoriellement

Conclusion Un formalisme vectoriel qui bénéficie des propriétés graphiques et géométriques de la théorie des « vecteurs d’espace » qu’il généralise de la puissance du traitement matriciel. Onduleur « monophasé » Onduleurs triphasés de tension et de courant Supports géométriques conceptuels pour la synthèse de méthodes générales

Commande de systèmes polyphasés tant Conclusion Commande de systèmes polyphasés tant pour les modulateurs que pour les sources

Conclusion Étude vectorielle des modulateurs et des sources Méthode de synthèse d’une commande (morphisme) Analyse et exploitation des degrés de liberté (noyau d’un morphisme) Calcul temps réel des durées de conduction (barycentre et produit mixte) Prise en compte des saturations d’un modulateur (produit vectoriel et produit mixte) Commande en instantané (DTC) par distance euclidienne

Conclusion Domaines d’application ? Machines polyphasées de forte puissance Usage d’onduleurs « standards » grâce au fractionnement de la puissance avec moins de problèmes thermiques et de CEM Machines polyphasées de petite puissance Bobinages simples et onduleurs intégrés (SmartPower) Actionneur tridimensionnel : rotule piézoélectrique ?

Commande de modulateurs d’énergie Conclusion Commande de modulateurs d’énergie Modulateur à n bras deux niveaux Modulateur multiniveaux

FIN

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Analyse des degrés de liberté Formule employée dim KerAc + dim Im(Ecp) = n = dim Ecn dim Ker Ac : nombre de degrés de liberté

Conclusion La commande de l ’onduleur devra être capable de : Recherche des familles de six points avec une commutation d ’un point à son plus proche et dont les 5 vecteurs forment une famille libre. Prendre la famille avec aux extrémités les deux points du noyau choisir les familles de 6 points Mr dont M puisse être le barycentre par l ’examen de signe de produits mixtes. Prendre la famille avec le plus petit produit mixte ??? (volume) dont le produit mixte est le plus faible et dont deux points appartiennent au noyau. calculer les durées de conduction par le calcul de produits mixtes

Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés espace de dimension k associé au modulateur famille de vecteurs de courant Côté source de tension

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Le modulateur vu de la source de courant Exemple : onduleur de tension triphasé, source de courant couplée en étoile sans neutre sorti. M0i et M7i

Alimenter c’est créer un morphisme Association modulateur - sources Alimenter c’est créer un morphisme Exemples : Pour un couplage étoile avec neutre sorti vcN  =  E  ic3 B vc1 vc3 vc2 ic1 ic2 E -E it1 it2 uc1 uc2 uc3 jc1 jc2 jc3 A N p =3 n = 3 uc1  = vc1 – E ; uc2  = vc2 – E ; uc3  = vc3 – E ;

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Analyse des degrés de liberté vc1 vc3 vc2 ic1 ic2 E -E it1 it2 uc1 uc2 uc3 jc1 jc2 jc3 NT A N Exemple : Couplage avec neutre sorti uc1  = vc1 – E ; uc2  = vc2 – E ; uc3  = vc3 – E ; dim Ker Ac = 0 Ac est bijective

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Le modulateur vu de la source de courant Exemple : onduleur de tension triphasé, source de courant couplée en triangle M0i et M7i

Introduction Quels outils ? Noyau et d’image d’un morphisme Barycentre et produit mixte Produit scalaire et vectoriel Au service d’un formalisme vectoriel

Exploitation des propriétés d’un morphisme Association modulateur - sources Exploitation des propriétés d’un morphisme Phaseurs complexes : caractérisation géométrique incomplète Représentation dans l’espace