Couche limite et micrométéorologie Le problème de fermeture Types de fermeture Fermeture d’ordre 0 : La théorie de similitude de Monin-Obukov ou de la couche de surface. Exemple : le profil vertical du vent

Le problème de fermeture dans la CLA Équation pronostique Nombre d ’équations Nombre d ’inconnues moment 1 3 6 2 6 10 3 10 15 Le nombre d ’inconnues est plus élevé que le nombre d’équations...

Modélisation de la CLA Fermetures d’ordre supérieure Ordre 0 Méthodes semi-empiriques d’ordre supérieure Ordre 1 K algébrique Ordre 1,5 K différentielle Ordre 0,5 Méthode couche Ordre 0 similitude Aujourd’hui Exemple CM Fait Fait

Hypothèse de similitude Si les conditions de réalisation de deux expériences sont identiques leurs résultats sont aussi identiques Mêmes causes  mêmes effets Il n’est pas nécessaire que tous les paramètres définissant l’expérience aient les mêmes valeurs : il faut cependant qu’ils satisfassent les conditions de similitude.

Similitude Similitude est la théorie et l ’art de prédire le comportement d ’un phénomène en construisant un modèle du phénomène (ou prototype). Similarité géométrique : deux systèmes sont similaires géométriquement s ’il ont un rapport d ’échelle L/L* constant Similarité cinématique : pour qu ’il y ai de la similitude cinématique entre deux écoulements doivent être similaires aux endroits correspondants : u1/u1* = u2/u2* . Similarité dynamique : pour qu ’il y ai de la similitude dynamique toutes les forces en jeu, quand à leur intensité, direction et leur point d’application doivent être similaires. Notons que la similitude dynamique est une condition nécessaire à la similitude cinématique

Similitude Les différences observées entre les résultas de deux expériences similaires ne sont pas imputables à une différence de nature mais uniquement à des différences d ’échelle. La théorie de similitude se base dans l ’organisation des variables que définissent le phénomène en groupes sans dimensions. Pour la formation de ces groupes sans dimensions on recours à l’analyse dimensionnelle.

Similitude géométrique Considérons un phénomène dont la dimension linéaire est L. Soit L* l ’échelle caractéristique. Toutes les autres dimensions doivent être dans le rapport L/L* . ? Les surfaces doivent satisfaire le rapport (L/L*)2 ? Les volumes doivent satisfaire le rapport (L/L*)3

Similitude dynamique Considérons la loi de Newton : Forces possibles: Force d ’inertie Force de viscosité Force de pression Force de compressibilité Force de pesanteur Force de tension superficielle

Similitude dynamique Les deux écoulements sont similaires si:

Rapports de forces : nb sans dimensions

Analyse dimensionnelle et théorie de similitude En absence d'une théorie sur la turbulence on utilise l'analyse dimensionnelle et la théorie de similitude pour déterminer le comportement du fluide. Dans cette théorie, on ne considère pas le temps comme une variable qui décrit l’écoulement du fluide. Elle s’applique à des écoulements quasi-stationnaires. Les grandeurs physiques ont des dimensions bien précises. Si on connaît les causes du comportement du fluide il est possible de trouver une combinaison mathématique de ces causes (en utilisant la multiplication, la division, l'exponentielle,…) qui a les unités du terme qu'on veut connaître.

Dimensions : 7 grandeurs de base Grandeur Symbole dimensionnel Unité masse M kilogramme longueur L mètre temps T seconde intensité électrique I ampère température  kelvin intensité lumineuse J candela quantité de matière N mole

Analyse dimensionnelle : le théorème Pi L ’homogénéité dimensionnelle constitue une contrainte assez puissante sur la forme des relations entre les paramètres physiques qui sont identifiés comme importants pour définir le phénomène à étudier. théorème  Soit l ’ensemble de n paramètres b1, b2, …, bn. Le théorème  nous dit que si r des n paramètres ont des dimensions physiques indépendantes, alors on peut former (n-r) paramètres physiques dépendants et sans dimensions. Chaque combinaison sans dimensions est formée à l ’aide d ’un ensemble libre maximum, p. ex. : b1, b2, …, br et de l ’un des paramètres de l ’ensemble complémentaire, ici br+1, br+2, …, bn.

Théorème  : procédure 1 - Identification de tous les paramètres pertinents pour l ’étude du problème spécifique (éviter d ’introduire trop de paramètres). 2 - Mettre sur pied un ensemble complet de variables sans dimensions qui caractériserons le phénomène 1, 2, …, n-r. (r est la base dimensionnelle et doit contenir toutes les dimensions fondamentales) 3 - Prendre des mesures afin relier ces variables entre elles et ainsi déterminer la forme des fonctions universelles qui gouvernent le phénomène : f(1, 2, …, n-r)=0 Exemple: profil vertical de la vitesse dans la CLP

Théorème  : exemple 1 [T-1] Variables importantes pour la description du phénomène et dimensions de chaque variable: [L] Altitude [LT-1] Frottement au sol [LT-1 ] Flux cinématique de chaleur en surface [T-1] Paramètre de Coriolis [LT-2 -1] Paramètre de flottabilité

Théorème  : exemple 1 L 1 1 1 1 M T -1 -1 -1 -2 -1  -1 1 Construction de la matrice dimensionnelle : L 1 1 1 1 M T -1 -1 -1 -2 -1  -1 1 Rang de la matrice = r = 3

Théorème  : exemple 1 Choix des «variables clé» ou base dimensionnelle Contraintes: a) le nombre de variables clé doit être égale au rang de la matrice dimensionnelle. b) toutes les dimensions doivent être représentées; c) doivent être dimensionnellement indépendantes. [T-1] Base dimensionnelle: [L] [LT-1] [T-1] Paramètres dépendants [LT-2 -1 ] [LT-1 ]

Théorème  : exemple 1 Rang de la matrice = r = 3 Base dimensionnelle: Paramètres dépendants

Théorème  : exemple 1 Calcul des fonctions 

Théorème  : exemple 1

Théorème  : exemple 1 Traditionnellement on définie deux échelles de longueur :

Théorème  : exemple 1 et sont des fonctions à déterminer par la théorie du phénomène ou expérimentalement. Conclusion : 1) L ’analyse dimensionnelle suggère la relation fonctionnelle entre les paramètre. 2) La fonction est trouvée sur des bases expérimentales où théoriques.

Développement de la théorie de similitude 1) Sélection (par la théorie ou par intuition) des variables importantes pour décrire la situation 2) Organisation des variables en groupes sans dimensions (1, 2, …, n) 3) Trouver expérimentalement la valeur des groupes sans dimensions 4) Trouver, par régression et minimisation des écarts quadratiques, la courbe que représente les données expérimentales. Similitude de Monin Obukhov ou similitude de la couche de surface : applicable à la couche de surface. La première approximation c,est que dans cette couche les flux sont constants. On peut alors utiliser les flux à une seule hauteur (habituellement à la surface). Limitations : cette parametrage fonctinne bien si les vents sont importants et les contraintes visqueuses ne sont pas nulles. Similitude de la couche de mélange : Applicable aux couches mélangées en état de convection libre. Les vents sont calmes ou nuls. Similitude locale : applicable dans les cas de couches stables en dehors de la couche de surface. Les flux de surface ne sont pas importants. Les flux, cisaillements et la stabilité locaux sont les paramètres à retenir. Z, la hauteur par rapport à la surface n’est pas un paramètre important. Convection libre local : cas des couches de surface statiquement instables. La distance à la surface est plus importante que la hauteur de la couche de mélange zi. Cette théorie de similitude s’applique dans la couche de surface et quand les vents sont calmes. Dans ce cas la longueur de Monin Obukhov s’approche de zéro et la théorie de similitude de M-O ne s,applique pas. Similitude de Rossby : Dans la modélisation à grande échelle les paramètres externes à la couche limite sont importants. Cette théorie met en relation les forçages externes et les flux de la couche de surface. Les profils de vent et de température n’ont pas de discontinuité Ces 4 étapes nous donnent une équation empirique ou un ensemble de courbes de forme similaire, d’où le nom de théorie de similitude

Développement de la théorie de similitude Si nous sélectionnons trop de variables (plus que nécessaire) il aura des groupes sans dimensions dont le phénomène ne dépend pas. Si la sélection ne contient pas tous les paramètres pertinents pour décrire la situation, la dispersion des données au tour des relations de similarité est très grande. Les relations de similitude s’appliquent à l’équilibre (état quasi-stationnaire). Elles sont utilisées souvent dans la détermination des quantités moyennes et la statistique de la turbulence en fonction de z (homogénéité horizontale) Similitude de Monin Obukhov ou similitude de la couche de surface : applicable à la couche de surface. La première approximation c,est que dans cette couche les flux sont constants. On peut alors utiliser les flux à une seule hauteur (habituellement à la surface). Limitations : cette parametrage fonctinne bien si les vents sont importants et les contraintes visqueuses ne sont pas nulles. Similitude de la couche de mélange : Applicable aux couches mélangées en état de convection libre. Les vents sont calmes ou nuls. Similitude locale : applicable dans les cas de couches stables en dehors de la couche de surface. Les flux de surface ne sont pas importants. Les flux, cisaillements et la stabilité locaux sont les paramètres à retenir. Z, la hauteur par rapport à la surface n’est pas un paramètre important. Convection libre local : cas des couches de surface statiquement instables. La distance à la surface est plus importante que la hauteur de la couche de mélange zi. Cette théorie de similitude s’applique dans la couche de surface et quand les vents sont calmes. Dans ce cas la longueur de Monin Obukhov s’approche de zéro et la théorie de similitude de M-O ne s,applique pas. Similitude de Rossby : Dans la modélisation à grande échelle les paramètres externes à la couche limite sont importants. Cette théorie met en relation les forçages externes et les flux de la couche de surface. Les profils de vent et de température n’ont pas de discontinuité La théorie de similitude est une fermeture d’ordre 0

Classes de similitude Similitude de Monin Obukhov (similitude de la CS) Similitude de la couche de mélange Similitude locale (z less theory) Convection libre locale Similitude de Monin Obukhov ou similitude de la couche de surface : applicable à la couche de surface. La première approximation c,est que dans cette couche les flux sont constants. On peut alors utiliser les flux à une seule hauteur (habituellement à la surface). Limitations : cette parametrage fonctinne bien si les vents sont importants et les contraintes visqueuses ne sont pas nulles. Similitude de la couche de mélange : Applicable aux couches mélangées en état de convection libre. Les vents sont calmes ou nuls. Similitude locale : applicable dans les cas de couches stables en dehors de la couche de surface. Les flux de surface ne sont pas importants. Les flux, cisaillements et la stabilité locaux sont les paramètres à retenir. Z, la hauteur par rapport à la surface n’est pas un paramètre important. Convection libre local : cas des couches de surface statiquement instables. La distance à la surface est plus importante que la hauteur de la couche de mélange zi. Cette théorie de similitude s’applique dans la couche de surface et quand les vents sont calmes. Dans ce cas la longueur de Monin Obukhov s’approche de zéro et la théorie de similitude de M-O ne s,applique pas. Similitude de Rossby : Dans la modélisation à grande échelle les paramètres externes à la couche limite sont importants. Cette théorie met en relation les forçages externes et les flux de la couche de surface. Les profils de vent et de température n’ont pas de discontinuité Similitude de Rossby (modèles à grande échelle)

Couche de surface neutre, homogène horizontalement et stationnaire Variation local du vent = 0 Advection = 0 Force de gradient de pression ~ 0 Force de Coriolis ~ 0 Force de flottabilité = 0 Force de frottement turbulent Toutes ces approximations s'appliquent dans la couche à la proximité de la surface, dont l'épaisseur est 10 % de la hauteur de la couche limite

Couche de surface neutre, homogène horizontalement et stationnaire, hCS = 0,1hCL Force de Coriolis ~ 0 Force de frottement turbulent Variation local du vent = 0 Force de flottabilité = 0 Force de gradient de pression ~ 0 Advection = 0 Avec l'axe des x dans le sens du mouvement : Où  représente les forces de contraintes visqueuses à la surface

Exemple : le profil logarithmique du vent De quoi dépend le cisaillement du vent dans la couche de surface neutre, stationnaire et horizontalement homogène u/ z ? De la hauteur z De l’intensité des contraintes de Reynolds, u* 1) L’analyse dimensionnelle suggère la relation fonctionnelle entre les paramètre. 2) La fonction est trouvée sur des bases expérimentales où théoriques.

Exemple : le profil logarithmique du vent On connaît maintenant comment le vent varie avec z : Le vent moyen que présente cette pente en fonction de z est : Où z0 est la hauteur à laquelle le vent est nul : la longueur de rugosité aérodynamique.

Couche de surface stratifiée (non neutre) La plupart du temps la couche de surface est stable ou instable. L'effet de l'instabilité est d'augmenter la turbulence et l'efficacité des transferts (des flux). L'inverse arrive avec quand 'atmosphère est instable. Les transferts doivent être plus difficiles. On peut imaginer que les transferts sont proportionnels à a taille des tourbillons qui transportent de l'énergie: Type de tourbillons selon la stabilité de la couche de surface Neutre stable z Instable

Effet de la stabilité sur le profil du vent La vitesse du vent dans la couche de surface en incluant l'effet de la stabilité thermique. Représentation schématique du profil du vent et de la structure des tourbillons. Oke, 1978.

Classes de similitude : la similitude de Monin-Obukhov Applicable dans la couche de surface Couche de surface : où les flux sont constants. On utilise alors les flux à un seul niveau. Cette théorie est valable seulement quand il y a du vent et que u* est différent de zéro. Échelles importantes : L = longueur de Monin Obukhov (1m à 200 m) zo = paramètre de rugosité (1 mm à 1 m) u* = vitesse de frottement (0.05 à 0.3 m/s) *SL = échelle de température (0.1 à 2.0 K) q*SL = échelle d ’humidité (0.1 à 5g/kg)

Similitude de Monin-Obukhov : longueur de Monin-Obukhov Échelles dans la couche de surface stratifiée : Longueur 1m à 200 m 0.05 à 0.3 m/s Vitesse Température 0.1 à 2.0 K

Similitude de Monin-Obukhov Appliquée essentiellement dans la couche de surface définie comme la couche à flux constant. Variables importantes pour la description de et dimensions de chaque variable: Altitude Flux cinématique de chaleur en surface [L] [LT-1] Frottement au sol [LT-2 -1] Paramètre de flottabilité [LT-1 ] ? Base dimensionnelle [L,T, ]

Similitude de Monin-Obukhov r=3 n-r = 2 Base dimensionnelle

Similitude de Monin-Obukhov

Fonctions universelles de Monin-Obukhov

La longueur de Monin Obukhov Échelles dans la couche de surface stratifiée : Longueur 1m à 200 m Vitesse 0.05 à 0.3 m/s Température 0.1 à 2.0 K

Théorie de similitude de Monin Obukhov Et toute grandeur de la couche de surface normalisée par les échelles de vitesse, longueur, température, etc., est représentée par une fonction universelle de la hauteur normalisée z/L (ou des constantes).

Détermination des fonctions universelles Terrain homogène sur quelques kilomètres carrés Conditions quasi-stationnaires Kansas 1968

Quasi-stationnarité Temps de réponse de la couche de surface : z/u*, z/L ou z/w* Typiquement < 1 minute Temps caractéristique de variation du chaleur sensible : jour : ~4 h nuit : très, très grand! Attention au coucher et lever du soleil! On est loin de la stationnarité

Détermination des fonctions universelles Mesures : les contraintes de surface : Kansas 1968

Détermination des fonctions universelles Mesures : flux de chaleur par la méthode des corrélations Kansas 1968

Détermination des fonctions universelles Mesures : Gradients moyens de vitesse du vent et de température Kansas 1968

Détermination de Kansas 1968

Détermination des fonctions Kansas 1968

Théorie de similitude de Monin Obukhov Erreur dans Stull, page 384 Businger et , 1978

Théorie de similitude de Monin Obukhov

Longueur de Monin-Obukhov : signification physique de Dans l'équation d'énergie cinétique turbulente on a le terme et Dans la couche de surface neutre

Longueur de Monin-Obukhov : critère de stabilité convective instable neutre stable -2 +2

Relation entre a longueur de Monin-Obukhov et le nombre de Richardson gradient La détermination de L est difficile. On utilise souvent les relations entre z/L et le nombre de Richardson gradient, Ri, plus facile à déterminer puisque il dépend des gradients des quantités moyennes. Conditions stables (z/L > 0) Conditions instables (z/L > 0)

Profil du vent dans la couche de surface stratifiée (-2<z/L<1) Cas stable : Cas neutre : Cas instable :

Exemple : profil du vent dans la couche de surface Calculez le profil verticale de la vitesse du vent dans a couche de surface dans les conditions suivantes : vitesse de friction = 0,3 m/s; longueur de rugosité = 0,02 m température virtuelle moyenne = 300 K et flux cinématique de chaleur à la surface = -0,05 K m/s. Solution : Données : u* = 0,3 m/s; z0 = 0,02, Tv = 300 K ~ v et FH,s = -0,05 K m/s Calcul de L Atmosphère stable...

Exemple : profil du vent dans la couche de surface stable neutre stable

Extrapolation du vent dans une couche de surface stratifiée (-5<z/L<1)

Profil du vent dans la couche de surface stratifiée (-5<z/L<1) : difficultés Il faut déterminer ou connaître :