Courbes de Bézier P2 P1 P3 P0 O Soit un entier n donné. Soient (n+1) points P0, P1,…., Pn appelés pôles ou points de Bézier. Une courbe de Bézier est un arc décrit par le point M tel que : P2 (P0, P1,…., Pn) polygone caractéristique P1 P3 P0 Courbe de Bézier de degré 3 (n=3) O 1

M barycentre des points P0, P1 affecté des coefficients (1-t) et t Arc de parabole 2

Propriété P1: La courbe de Bézier passe par P0 et Pn et on a : Démonstration : Pn P0 3

Propriété P2 : La courbe de pôles Pi (i=0,n) ne dépend pas de l’origine choisie M’ Si et M O’ O Alors M=M’ 4

Inconvénient des courbes de Bézier Démonstration Inconvénient des courbes de Bézier L’influence des pôles est globale. Exemple d’une courbe de degré 2 : Si on déplace P1 et P2, la courbe autour de t=0 n’est presque pas modifiée. 5

Pk P1 Pn P0 Par contre pour t=1/2 Influence de P1 prépondérante en t=1/2, mais M(1/2) dépend de tous les pôles P0, P1 et P2. Si on déplace un pôle Pk au point P’k, le déplacement d’un point M(t) est parallèle au vecteur Pk P1 M’(t) M(t) Pn P0 6

Démonstration : La direction du déplacement de M(t) est toujours la même, par contre l’intensité du déplacement varie en fonction de t. 7

Exemple d’une courbe de degré 2 : Si on souhaite attirer la courbe au voisinage d’un pôle, il suffit d’ajouter des pôles supplémentaires au voisinage de ce point. Exemple d’une courbe de degré 2 : P1 M(1/2) P2 P0 Si on ajoute 2 pôles Q1 et Q2 sur les segments [P0P1] et [P1P2], on obtient une courbe de degré 4 : 8

Si on prend les points Q1 et Q2 tels que : Pour t=1/2 : Si on prend les points Q1 et Q2 tels que : 9

On obtient : P1 P1 M’(1/2) M(1/2) P2 P2 P0 P0 10

Transformation d’une courbe de Bézier Soit la transformation H telle que : H composée d’une homothétie de centre O et de rapport a avec une translation. La transformée par H d’une courbe de Bézier est aussi une courbe de Bézier, les points de Bézier étant les transformés des points de Bézier de la courbe de Bézier initiale. Démonstration : 11

P0 P1 P2 P3 M M’ H La transformée par H d’une courbe de Bézier est aussi une courbe de Bézier, les points de Bézier étant les transformés des points de Bézier de la courbe de Bézier initiale. Résultat généralisable à toute transformation affine : Projection orthogonale sur un plan Translation Homothétie Rotation …. 12

P0 P1 Pn P2 Démonstration : 13

14

Exemple 1: O Etudier la courbe de Bézier définies par les 4 pôles (calcul de x(t),x’(t),x’’(t), y(t), y’(t),y’’(t), tableau de variation de x(t), y(t)). Tracer cette courbe. 15

16

Exemple 2: Mêmes pôles que dans l’exemple 1, mais avec un autre ordre :

Exemple 3 : t 0 1/2 1 x’(t) 3 + 0 + 3 x(t) y’(t) 3 + 0 - -3 y(t) 0 3/4 0

Exemple 4 : Déterminer les projections des points sur les plans xy, xz, yz Tracer les projections de la courbe 3D sur ces plans (utiliser les résultats des exemples 1 à 3). Tracer la courbe de Bézier 3D. Déterminer le plan osculateur en M(1/2). Calculer la courbure pour t=1/2 z y x

Algorithme de De Casteljau k=1

k=2 k=3

Démonstration : Résultat généralisable à une courbe de degré n quelconque

Interprétation géométrique : Si G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients (1-t) et t, alors : Si G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients 2/3 et 1/3, alors : B G A

Construction de M(1/3) Etape 1

Etapes 2 et 3 :