Sciences Mécaniques Appliquées Thèse de master Sciences Mécaniques Appliquées MAILLAGE ADAPTATIF OCTREE AVEC X-FEM ET LEVEL-SETS APPLICATION A LA THERMIQUE Mercredi 1er Octobre 2008

Introduction Acquisition numérique de géométries Introduction Problème de référence Application à l’homogénéisation Structure homogène équivalente à l’échelle macroscopique Structure hétérogène à l’échelle microscopique Indicateur d’erreur et raffinement Présentation de cas-tests Conclusion micro-tomographie rayons-X, imagerie par résonance magnétique, Microscopie focale

Introduction Introduction Acquisition du VER par imagerie Traitement par X-FEM et level-sets Utilisation de maillages simplifiés Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Présentation de cas-tests Volume Elémentaire de Référence (VER) Conclusion Erreurs de calculs Nécessité d’utiliser un maillage adaptatif

Indicateur d’erreur et raffinement Présentation de cas test Introduction Sommaire Introduction Problème de référence Mise en place des notations et des formulations des problèmes Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Indicateur d’erreur et raffinement Introduction à la mesure d’erreur exacte, indicateur d’erreur et algorithme de raffinement Présentation de cas-tests Conclusion Présentation de cas test Descriptions des différents cas-test et analyse des résultats et de différents problèmes rencontrés

Problème de référence On cherche les champs T(P) et Φ(P) respectant : Introduction Problème de référence …l’équation de la chaleur : Problème de référence Formulations X-FEM …la loi de Fourier : Level-Sets Maillage quadtree Indicateur d’erreur et raffinement …les conditions aux limites : Présentation de cas-tests Conclusion

Formulations variationnelles Introduction On se donne les espaces suivants Problème de référence Problème de référence On cherche le champ solution vérifiant : Formulation X-FEM Level-Sets Maillage quadtree L’espace est restreint à l’ensemble des fonctions : Indicateur d’erreur et raffinement Présentation de cas-tests Système à résoudre : Conclusion

X-FEM Introduction Problème de référence [Babuska, 1996], [Moës et al, 1999] Introduction Problème de référence L’espace est enrichis à l’ensemble des fonctions : Problème de référence Formulation X-FEM Level-Sets Maillage quadtree Fonctions d’interpolation DDL enrichis DDL Fonctions d’enrichissement Indicateur d’erreur et raffinement Présentation de cas-tests Conclusion

Formulations variationnelles Formulation faible en X-FEM : Introduction Problème de référence Permet de mieux représenter la physique (discontinuité, etc…) Problème de référence Formulation X-FEM Level-Sets Maillage quadtree Indicateur d’erreur et raffinement RIDGE Présentation de cas-tests Maillages non-conformes Conclusion

Level-sets Introduction Phase extérieure Problème de référence [Osher et Sethian, 1988] Introduction Phase extérieure Problème de référence Définition de l’interface ? Problème de référence Formulation X-FEM Level-Sets Phase intérieure Maillage quadtree Indicateur d’erreur et raffinement Modélisation par une fonction level-sets : Présentation de cas-tests Conclusion

Discrétisation de la level-sets Introduction Problème de référence Problème de référence Formulation X-FEM Level-Sets Maillage quadtree Indicateur d’erreur et raffinement Présentation de cas-tests Conclusion

Discrétisation Quadtree Discrétisation par méthode Octree/quadtree Introduction Problème de référence Problème de référence Formulation X-FEM Level-Sets Octree (3D) Quadtree (2D) Maillage quadtree Indicateur d’erreur et raffinement Niveau 0 1 2 3 4 Présentation de cas-tests Niveau 1 Conclusion 1 2 3 4 Niveau 2

Discrétisation Quadtree Maillage issu d’un découpage quadtree Introduction Problème de référence Problème de référence Formulation X-FEM Level-Sets Maillage quadtree Indicateur d’erreur et raffinement Présentation de cas-tests Conclusion

Discrétisation Quadtree Introduction Problème de référence Problème de référence Formulation X-FEM Level-Sets Maillage quadtree Indicateur d’erreur et raffinement Présentation de cas-tests Conclusion

Calcul d’erreurs Introduction Définition d’une erreur exacte : Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Solution EF Calcul d’erreurs Indicateur d’erreur Solution exacte Projection Raffinement Mesure de l’écart Présentation de cas-tests Conclusion

Calcul d’erreurs 2 mesures d’erreur pour un point de Ω : Introduction en température : en flux : Introduction Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Normes associées pour un domaine ω de Ω : Calcul d’erreurs Indicateur d’erreur Projection Raffinement Erreurs relatives associées : Présentation de cas-tests Conclusion

Indicateurs d’erreur Introduction Problème : solution exacte inconnue [Chamoin, 2007], [Cavin, 2006] Introduction Problème : solution exacte inconnue Problème de référence Prendre une « solution de référence » à la place de la solution exacte Indicateur d’erreur et raffinement Solution exacte Calcul d’erreurs Indicateur d’erreur Projection Solution de référence Solution EF Raffinement Présentation de cas-tests Conclusion Pour nous : Solution de référence = Solution raffinée

Indicateurs d’erreurs relatives Introduction Indicateurs d’erreurs relatives Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Critère limite choisi Calcul d’erreurs Indicateur d’erreur Projection Raffinement Critère limite choisi Présentation de cas-tests Conclusion

Projection Problème d’intégration entre les 2 maillages Introduction Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Calcul d’erreurs Indicateur d’erreur Projection Raffinement Présentation de cas-tests Conclusion

Algorithme de raffinement Projection dur les points d’intégration Introduction Maillage de base et de référence Calculs des solutions Problème de référence Raffinement et nouveau maillage Carte d’erreur Eléments à raffiner Indicateur d’erreur et raffinement Boucle i Calcul d’erreurs Indicateur d’erreur Projection Raffinement Présentation de cas-tests … Etc… Conclusion Boucle i+1

Résolutions de cas-tests Introduction Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolutions de cas-tests Résolution de cas-tests Conclusion

Conditions aux limites Introduction Problème de référence Conditions aux limites de Neumann, récupérée à partie de la solution exacte Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests n Φ cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Présentation du problème Introduction Problème de référence MEF classique pas de source volumique de chaleur (r=0) Caractéristiques : Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 Cet exemple a permis de mettre en place la plupart des outils cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Etude de convergence Introduction Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests Les courbes indicateurs/erreur exacte ont la même allure cas 1 cas 2 Température Flux  convergence en o(h²)  convergence en o(h) cas 3 cas 4 Conclusion Les indicateurs sous-estiment l’erreur

Efficacité des estimateurs Cas test 1 Efficacité des estimateurs [Chamoin, 2007] Introduction Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Coefficient d’efficacité : ≈ qualité de l’estimateur Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Efficacité des estimateurs Cas test 1 Efficacité des estimateurs Introduction Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 Efficacité constante  indicateur fiable cas 3 cas 4 Conclusion L’indicateur en flux est plus proche de l’erreur exacte que celui en température.

Cas test 1 Raffinement Température Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement Température Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement Température Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement Température Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement Température Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement Température Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement flux Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement flux Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement flux Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement flux Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement flux Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement flux Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement flux Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Raffinement flux Introduction Problème de référence Erreur exacte Indicateur d’erreur Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 1 Conclusion du cas 1 Introduction Problème de référence Le raffinement fonctionne Les indicateurs convergent de la même manière que les erreurs exactes En température  plutôt homogène En flux  localisé sur les forts gradients Les raffinements sont différents : Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Présentation du problème Cas test 2 Présentation du problème Introduction Se comparer à un cas existant : [Tabarraei, Sukumar, 2005] Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion Critère de raffinement : Nombre d’éléments

Cas test 2 Raffinement Introduction Problème de référence Raffinement de [Tabarraei, Sukumar 2005] Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 Raffinement issu de notre indicateur d’erreur en flux cas 4 Conclusion

Présentation du problème Cas test 3 Présentation du problème Introduction Mise en place d’X-FEM et de la level-set sur un trou. ([Sukumar et al, 2001]) Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Application à la paroi d’un tuyau Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 3 Raffinement Introduction Problème de référence Solution raffinée Cartes de contributions d’erreur Problème de référence Raffinement en température Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 Raffinement en flux cas 4 Conclusion

Cas test 3 Raffinement Introduction Problème de référence Intégration des conditions aux limites sur la level-sets Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 4 Présentation du problème Introduction Mise en place d’X-FEM et de la level-set sur une interface entre 2 matériaux. ([Moës, Cloirec et al 2003]) Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 4 Présentation du problème Introduction Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 4 Problèmes rencontrés Introduction Erreur du code lors d’apparition de nœuds orphelins au voisinage de l’iso-zéro Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion Non-défini

Cas test 4 Problèmes rencontrés Introduction Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Cas test 4 Problèmes rencontrés Introduction Problème de référence Indicateur d’erreur et raffinement Résolution de cas-tests interface cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 Conclusion

Conclusion Résumé Introduction Travail réalisé : Problème de référence Raffinement avec indicateur d’erreur en température ou en flux. Indicateur d’erreur et raffinement Résultats obtenus: Les estimateurs convergent correctement. Raffinement plutôt … Résolution de cas-tests … homogène en erreur en température … local en erreur en flux Conclusion Problèmes en suspens: La continuité au voisinages des nœuds orphelins enrichis

Conclusion Perspectives Introduction Assurer la continuité à l’interface de 2 matériaux. Problème de référence Limiter les zones à recalculer à chaque itérations Indicateur d’erreur et raffinement Application à la mécanique 3D (Thèses de P. Cavin, 2006) Résolution de cas-tests Conclusion

Merci de votre attention