Évaluation, Analyse et Gestion des Risques Financiers Modelisation et Analyse des Risques Extrêmes en Finance et Assurance 26/04/2017 Évaluation, Analyse et Gestion des Risques Financiers Lotfi BELKACEM Professeur IHEC – Sousse Lotfi Belkacem - IHEC de SOUSSE

Modelisation et Analyse des Risques Extrêmes en Finance et Assurance 26/04/2017 Plan du cours Motivation et description de la problématique Quelques outils statistiques La notion de risque Les mesures Standards des risques La Value-at-Risk Au-delà de la VaR: Risques Extrêmes Le Backtesting Le stresstesting Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Lotfi Belkacem - IHEC de SOUSSE

Quelques Références Bibliographiques JORION P. “ Value at risk: the new Benchmark for controlling Market risks”, McGraw-Hill, 2001. Roncalli, T. « La Gestion des Risques Financiers », Economica Belkacem L. et Aubry H. “ Au-delà de la VaR, vers une nouvelle mesure du risque en gestion de portefeuille”, Analyse Financière, Juin 1998. Belkacem L. et Aubry Hugues: "Hedging Model of Extreme Values and Mutualisation of Risk in Emerging Financial Markets" Euro-Mediterranean Economic and Finance Review,2006. Danielson J. et de Vries C. G. " Value-at-Risk and Extreme Returns " , Annales d’économie et de statistique N°60, 2000. EMBRECHTS, KLÜPPELBERG and MIKOSH (1997) “Modeling Extremal Events for insurance and Finance”, Springer-verlag. COLES (2001) “An introduction to statistical modeling of extreme value”, Springer-verlag. BIERLANT, TEUGELS and VYNCKIER (1996) “Practical analysis of extreme values”, Leuven. University Press, JP Morgan :« RiskMetrics », (1996). Technical Document, Fourth Edition,. JP Morgan : « CreditMetrics », (1997). Technical Document,. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Motivation et description de la problématique Jusqu’à la fin des années 80, le risque bancaire prenait essentiellement deux formes : Le risque de crédit (risque de contrepartie) : risque de défaillance d’un emprunteur. Le risque de liquidité : difficulté potentielle de réaliser rapidement et sans perte significative de valeur, une transaction. Les années 90 : développement rapide des instruments dérivés et libéralisation des mouvements internationaux des capitaux. augmentation des activités de trading dans les banques, les assurances et les réassurances. évolution particulièrement importante du risque de marché auquel sont exposés les établissements financiers. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Motivation et description de la problématique Quelques points de repère sur les désastres financières Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Motivation et description de la problématique Modelisation et Analyse des Risques Extrêmes en Finance et Assurance 26/04/2017 Motivation et description de la problématique Réglementation en matière de contrôle des risques : règles et recommandation de surveillance prudentielles imposées par les autorités réglementaires : le comité de Bâle Cette réglementation impose une exigence minimale de fonds propres sur toutes les opérations financières qui représentent un risque. CAD : Capital adequacy directive : tjs avoir un montant de FP qui va couvrir le risque : ajuster les FP à la grandeur des risques Ratio Mc Donough= Les FP doivent couvrir au mois 8% du risque global Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Lotfi Belkacem - IHEC de SOUSSE

Motivation et description de la problématique Les actifs financiers sont régis par des comportements aléatoires qui traduisent la complexité du monde économique et politique. La mesure et la gestion des risques sont ainsi devenus des enjeux majeurs pour les opérateurs des marchés financiers, et intéressent les chercheurs du Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires. Les outils mathématiques que ces derniers développent offrent une modélisation et des méthodes quantitatives adaptées à la description et au contrôle des risques financiers. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Objectifs Apporter des réponses aux questions liées à l’évaluation, à l’analyse et à la gestion des risques financiers au sein de l’activité bancaire. Expliquer les méthodologies existantes utilisables à la définition d’un cadre exhaustif pour l’évaluation des risques, les processus d’évaluation et des accords de Bâle II afin de relever le défi global des risques. …/… Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Modelisation et Analyse des Risques Extrêmes en Finance et Assurance 26/04/2017 Objectifs Ce cours a pour but de fournir les mesures et les techniques d'évaluation du risque sur le marché des actions, le marché des changes et le marché de crédit. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Lotfi Belkacem - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Les Statistiques d’ordre Soient n variables aléatoires iid X1, X2…, Xn. Rangeons ces variables aléatoires par « ordre croissant de grandeur ». Pour cela, nous introduisons la notation Xi:n avec Xi:n est donc la i-ème statistique d’ordre dans l’échantillon de taille n. Exemples: X1:n=min(X1, …, Xn) Xn:n=max(X1, …, Xn) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Les Statistiques d’ordre Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Fonction de répartition empirique Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Fonction quantile Théorique Empirique Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Q-Q Plot Le graphique Quantile-Quantile permet de tester graphiquement l’adéquation d’une famille de lois à des données. “Goodness-of-fit ?” Dans la pratique: étant donné un ensemble des données de valeurs x1, x2, ….xn, on remplace la fonction de quantile théorique Q(p) par son approximation et on trace les quantiles empiriques contre les quantiles calculés à partir de la distribution spécifique dans un repère orthogonal. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Conditionnement La distribution conditionnelle de X sachant que est exprimé par: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Loi Limite de la somme des n variables aléatoires Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Loi Limite de la somme des n variables aléatoires Lévy (1925) a montré que de telles lois existent, en introduisant pour cela la notion de loi stable. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Loi Limite de la somme des n variables aléatoires Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques De la somme au maximum De la même façon que pour la somme, on peut se demander s’il existe une « loi des grands nombres » et un « théorème central limite » pour le maximum? En normalisant convenablement, peut-on trouver une loi non dégénérée pour le maximum? Celle loi dépend-elle de la normalisation choisie? Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Loi Limite des maxima Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Loi Limite des maxima Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Loi Limite des maxima Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Loi Limite des maxima Théorème limite de Fisher-Tippet Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Loi Limite des maxima Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Loi Limite des maxima Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Loi Limite des maxima En général, on applique le théorème comme suit: on considère n suffisamment grand et fixé; on fait alors l’approximation suivante: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Caractérisation des domaines d’attraction On dit qu’une distribution F appartient au max-domaine d’attraction de G et on note F Є MDA(G) si la distribution du maximum normalisée converge vers G. Domaine d’attraction Distributions appartenant au domaine d’attraction MDA(Λ) Exponentielle, Normale, Gamma, Lognormale, etc. MDA(Φα) Cauchy, Pareto, α-stable (α<2), etc. MDA(Ψα) Uniforme, Beta, etc. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Caractérisation des domaines d’attraction Remarque: les 3 distributions des VE sont très différentes en terme de MDA: Dans MDA(Λ) on trouve des distributions qui n’ont pas de queues épaisses Dans MDA(Φα) on trouve des distributions à queues épaisses Dans MDA(Ψα) on trouve des distributions à supports finis. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Generalized Extreme Value distribution (GEV) Loi de probabilité de von Mises-Jenkinson Nous pouvons caractériser les trois types de distribution précédentes par une distribution unique: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Generalized Extreme Value distribution (GEV) Fonction densité de GEV Quantile d’ordre p de la distribution GEV Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Visualisation des extrêmes Strict exponential quantile plot Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Visualisation des extrêmes Shifted exponential quantile plot Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Visualisation des extrêmes Weibull quantile plot Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Visualisation des extrêmes Lognormal quantile plot Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Visualisation des extrêmes Pareto quantile plot Strict Pareto case Bounded Pareto case Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils L’étude du maximum s’est historiquement imposée comme la première méthode pour estimer les phénomènes extrêmes. Néanmoins, en réassurance, une variable d’intérêt peut également être la loi des excès (la loi de X sachant X>u) pour un seuil u suffisamment grand. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils Nous allons nous intéresser au comportement de X/X>u, pour des seuils u suffisamment élevés. Cette étude fera naturellement apparaître la loi de Pareto Généralisée ou GPD Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Loi de Pareto généralisé GPD Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils Loi de Pareto généralisé GPD Nous nous intéressons à la probabilité conditionnelle suivante: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Loi de Pareto généralisé GPD Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils Loi de Pareto généralisé GPD Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils Remarque : Cette loi est intéressante puisqu’elle correspond à la loi limite des excès Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils Excess Function Étant donnée un niveau u pour tout sinistre dans le secteur d’assurance, le réassureur doit considérer une variable aléatoire conditionnelle (X-u / X>u). Dans le but de calculer le niveau de prime l’actuaire est amené à calculer le Mean Excess Function (MEF) Dans la pratique le MEF est estimé par en utilisant un échantillon représenté par (X1, …Xn) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils Excess Function Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils Shape of some MEF Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Empirical Mean Excess Function plots Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils Empirical Mean Excess Function plots La représentation graphique des valeurs des excès moyens empirique peut prendre deux formes: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Empirical Mean Excess Function plots Quelques outils statistiques Etude de la loi des excès: Modèles à seuils Empirical Mean Excess Function plots La représentation de en fonction de u permet d’identifier le niveau optimal de u Mean residual life plot du rendement du CAC40 Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Théorie des Valeurs Extrêmes et Applications Estimation de quantiles extrêmes Pour évaluer les risques extrêmes, nous serons intéressés par l’estimation de probabilité d’événements rares (coûts de sinistres dépassant un seuil élevé), ou de façon duale, les quantiles associés à des niveaux élevés (99%, 99,9%, 99,99%, …) estimation de l’indice de queue ξ indiquant l’importance des risques extrêmes pour une distribution Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Estimation de l’indice de queue Utilisation de la loi GEV Considérons un échantillon des données {Xt} de taille T= K n avec KЄIN . Nous divisons cet échantillon en K blocs et nous définissons le maximum de la façon suivante Nous disposons alors d’un échantillon de maxima (Y1, …YK). l’expression de la vraisemblance de l’observation k est donc Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Estimation de l’indice de queue Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Estimation de l’indice de queue Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Estimation de l’indice de queue Utilisation de la loi GPD Considérons un échantillon des données {Xt} de taille T= K n Nous divisons cet échantillon en K blocs et nous définissons le maximum de la façon suivante Nous disposons alors d’un échantillon de max-excès (Y1, …,YK) i.i.d. selon la loi GPD de fonction densité Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Estimation de l’indice de queue l’expression de log-vraisemblance de l’observation k est donc: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Estimation de l’indice de queue Quelques variantes d’estimateurs La plupart des estimateurs du paramètre de queue reposent sur l’utilisation de la statistique d’ordre. A partir d’un échantillon de taille n, on s’intéresse aux k valeurs les plus grandes. Les estimateurs les plus utilisés en pratique sont: Estimateur de Pickands (1975) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Estimation de quantiles extrêmes Estimateur de Hill (1975) Estimateur de Dekkers, Einmalh et de Haan (1990) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Estimation de quantiles extrêmes Remarque: La principale difficulté de ces estimateurs est le choix de k: Si k est petit, le biais est faible, la variance est grande Si k est grand, le biais est grand, la variance est petite. Comportement asymptotique sous des hypothèses de régularité et de vitesse de convergence de m par rapport à n, on a la normalité asymptotique des estimateurs Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Quelques outils statistiques Estimation de quantiles extrêmes Remarque: L’estimateur de Hill présente une variance asymptotique plus faible que les trois autres (dans le cas où ξ>0). Il est généralement le plus utilisé. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La notion de risque Le risque est lié à la survenance d’un événement non prévisible qui peut avoir des conséquences importantes sur le bilan ou le compte de résultat de la banque ou de la société d’assurance Généralement on distingue trois types de risque: Risque de marché Risque de crédit Risque opérationnel Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

La notion de risque Types de risque Risque de crédit : défini par la défaillance d’une contre partie et/ou la dégradation de la qualité de l’emprunteur (baisse de la valeur de l’emprunt obligataire ou dégradation du rating). Risque de marché : risque lié aux pertes sur les positions du bilan (baisse de la valeur des FP) et/ou du hors bilan (activités de trading). Risque opérationnels : Défaillance des procédures de gestion et du système interne de contrôle de risque, événements externes (exp: panne d’électricité). Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

La notion de risque Types de risque Quelques exemples de risque Risque de crédit (credit risk) Risque de défaillance (default risk) Risque de dégradation de la valeur de la créance (downgrading risk) Risque de marché (market risk) Risque de taux d’intérêt (interest rate risk) Risque de change (currency risk) Risque de volatilité (volatility risk) Risque opérationnel (operational risk) Risque de désastre (disaster risk) Risque de fraude (fraud risk) Risque technologique (technologic risk) Risque juridique (litigation risk) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

La notion de risque Types de risque Répartition optimale des 3 risques suivant les instructions du comité de Bâle (Janvier 2001): Types de risque Exigence en FP Répartition Crédit Marché opérationnel 6% 0,4% 1,6% 75% 5% 20% Total 8% 100% Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

La mesure cohérente de risque Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

La mesure cohérente de risque Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

L’approche classique de risque en finance La modélisation classique des variations de prix repose sur l’hypothèse de normalité. Modèle de la marche aléatoire (mouvement brownien à temps discret) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

L’approche classique de risque en finance Hypothèse d’efficience du marché : Le cours reflète pleinement et instantanément toute l’information disponible La normalité des rentabilités : résume le comportement d’un portefeuille autour des deux premiers moments (Espérance et variance) La mesure classique de risque en finance est la volatilité: suffisante dans un univers gaussien Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Les modèles d’estimation de la volatilité GARCH Historique EWMA (RMetrics) RM: λ = 0.94

L’approche classique de risque en finance Limites Insuffisante dans un univers non gaussien: matrice var-cov ne donne qu’une information limitée sur la structure de dépendance : X et Y deux v.a telle que Cov(X,Y) = 0 n’implique pas que X et Y sont indépendantes (la réciproque est vraie) N’est pas une mesure cohérente du risque : ne vérifie pas la condition de monotonie, ni celle d’invariance d’échelle. Accorde autant de poids aux gains et au pertes développer des mesures de risque de perte : Étudier le comportements des queues de distribution des pertes. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

L’approche classique de risque en finance Illustration Sous la loi normale : Temps de retour de ces deux phénomènes : T = 1/P = 740 jours = 3 ans ( 250 jours =1 an) T = 1/P = 31250 jours = 125 ans Interprétation : Sous la loi normale ce type de phénomène arrive en moyenne tous les 125 ans. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

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Rentabilités journalières du Nasdaq Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La Value – at – Risk La VaR est une mesure du risque de perte et correspond à la notion de quantile Définition: La Valeur en Risque ou la Value at Risk (noté VaR) est une mesure de la perte potentielle que peut subir un titre ou un portefeuille suite à des mouvements défavorables des prix de marché. Elle permet de répondre à la question suivante : Combien l’établissement financier peut-il perdre avec une probabilité  pour un horizon de temps h fixé ? Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La Value – at – Risk Deux éléments sont donc indispensables pour interpréter la VaR: La période de détention (holding period) qui correspond à la période sur laquelle la variation de valeur du titre ou du portefeuille est mesurée; Le seuil de confiance  qui correspond à la probabilité d’observer une perte inférieure à la valeur en risque. Un risque à 10 jours avec une probabilité de 99% est beaucoup plus important qu’un risque à 1 jours avec une probabilité 90%. Dans le 1er cas, nous avons une chance sur 100 que la perte réalisée pour les 10 prochains jours ouvrés soit supérieure à celle estimée par la VaR. Dans le second cas, nous avons une chance sur 10 que la perte réalisé demain soit plus grande que la VaR. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La Value – at – Risk Soit P(t) la valeur d’un portefeuille à la date t. La variation du portefeuille entre les dates t et t+h (h est la période de détention) est appelée P&L (Profit & Loss): P&L = P(t+h) – P(t) Nous pouvons aussi définir la perte L = - P&L. La valeur en risque au seuil de confiance  est définie par: Pr{L < VaR()}=  Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La Value – at – Risk Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La Value – at – Risk Remarques: La mesure VaR marché donne une image du risque de marché dans le cadre de conditions normales du marché. C’est pourquoi le seuil de confiance est fixé à 99% alors que celui-ci est fixé à 99,9% pour les risques de crédit et opérationnel Pour le calcul du capital réglementaire, la période de détention est fixée à 10 jours de trading. C’est le temps que les autorités jugent nécessaire pour que la banque puisse retourner sa position Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La Value – at – Risk Méthode d’estimation Trois grandes familles de méthodes: La VaR analytique ou paramétrique La VaR historique ou non paramétrique La VaR Monte-Carlo Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR paramétrique Considérons un portefeuille linéaire composé de m actifs et dont la composition est θ = (θ1, …, θm). Nous notons Pi(t) et ri(t) le prix et le rendement journalier de l’ actif i à la date t. La valeur du portefeuille à la date t est donc: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR paramétrique Le P&L entre les dates t et t+1 est donc: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR paramétrique Exemple Titres A B C Rendements moyens 0,50% 0,30% 0,20% volatilités 2% 3% 1% Prix actuels 244 $ 135 $ 315 $ Composition du Portefeuille 2 -1 1 Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR historique Contrairement à la VaR paramétrique, la VaR historique ne fait pas d’hypothèse sur la distribution jointe des facteurs de risque. Elle utilise directement la distribution empirique des rendements des actifs. Supposons que nous disposons d’un historique de données de longueur n. A l’instant t, nous pouvons valoriser le portefeuille en appliquant les rendements historiques. Nous pouvons donc calculer n réalisations possibles du P&L que nous notons P&L1, …P&Ln et donc en déduire le quantile empirique de la perte au seuil de confiance α. Pour cela, nous calculons les statistiques d’ordre: La VaR est égale à la valeur absolue de plus petite valeur Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR historique Exemple: pour un seuil de confiance de 99%, la VaR correspond à la plus petite perte si la taille de l’historique est 100, à la 10-ième plus petite perte si la taille de l’historique est 1000. Lorsque n’est pas un entier, la VaR est calculé par interpolation: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR historique Exemple: Reprenons le portefeuille précédent. Nous calculons : les rendements journaliers des trois actifs sur les 251 derniers jours ouvrés. Les prix choqués des trois actifs [prix choqué(t)=prix actuel X (1+r(t))] Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR historique Quelques détails: Le rendement logarithmique pour la date t-250 de l’actif A est égale à Log(100,98) - Log(100) = 0,0098=98%. Si nous appliquons ce choc au prix actuel de l’actif A (244 $), nous obtenons un prix choqué égale à 244 X (1+98%)=246,3 $ Si les chocs historiques observés il y a 250 jours se reproduisent, P&L =(2 X 246,38-136,83+313,61) - (2 X 244-135+315) = 1,54 Une fois que nous avons calculé les 250 valeurs de P&L, nous les trions par ordre croissant. Les pertes les plus importants sont de -28,42;-22,59;-20,98; -20,94; -19,59; -17,35 etc. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR historique Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR Monte Carlo La VaR Monte Carlo est basé sur la simulation des rendements de portefeuille (r1(t+1), …r2(t+1)) à partir d’une distribution a priori (nous pouvons faire l’hypothèse que les rendements sont gaussiens). Si nous considérons n simulations de ces rendements, nous pouvons calculer n variations simulés de la valeur du portefeuille. Il suffit ensuite de calculer le quantile correspondant comme pour la méthode de la VaR historique Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR Monte Carlo Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Application 4 actions: Alcatel, Total, Airliquid, Carrefour Période: 01/01/2001 jusqu’à 30/12/2005 Composition du portefeuille: (0.318 ;0.098 ; 0.470 ; 0.112) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Application Modeling and Statistical analysis of Extremal events in Finance and Insurance Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

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Les aspects réglementaires du calcul de la VaR Le seuil de confiance: Théoriquement, ce seuil s’interprète comme une fréquence. Il est fixé par les autorités réglementaires à 99%. Cela veut dire que la probabilité d’observer une perte supérieur à la VaR est de 1%. Cela doit donc se produire théoriquement une période toutes les cents périodes. Comme la période de détention est de 10 jours, nous aurons un retour tous les 1000 jours (quatre années calendaires). Une VaR 10 jours au seuil de confiance de 99% est donc équivalente à une couverture à quatre ans. Pour une banque, ce seuil de confiance indique le degré de couverture de ses risques. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Les aspects réglementaires du calcul de la VaR Ce seuil tient une grande importance pour le calcul des fonds propres Sous l’hypothèse de normalité, nous pouvons calculer la variation du niveau de fonds propres requis selon le niveau de confiance souhaité par rapport à l’exigence réglementaire. a (%) 90 95 98,04 98,5 99 99,5 99,96 Δ (%) -44,9 -29,3 -11,4 -9,69 +10,7 +44,1 Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Les aspects réglementaires du calcul de la VaR Le facteur complémentaire: La VaR peut être différente de la perte potentielle réelle pour plusieurs raisons: les hypothèses qui sont faites ne sont pas réalistes, l’estimation des paramètres n’est pas assez précise. les autorités réglementaires ont jugé nécessaire de corriger l’estimation de quantile par un facteur de prudence. celui-ci correspond implicitement au facteur multiplicatif (3+ξ). Ce facteur, souvent présenté comme arbitraire, a des fondements théorique rigoureux. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Les aspects réglementaires du calcul de la VaR Si la distribution F de la perte est effectivement gaussienne, le coefficient ĸ est égale à un. Si elle présente des queues épaisses, on peut s’attendre à ce que ce coefficient soit plus grand Si la distribution est asymétrique, nous en déduisons d’après l’inégalité de BT que: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Les aspects réglementaires du calcul de la VaR Par conséquent Et comme ,nous avons Le ratio est le coefficient de multiplication qui permet d’être sûr que la VaR correspond bien à un quantile au moins égale à a. lorsque nous utilisons à raison une approximation gaussienne. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Les aspects réglementaires du calcul de la VaR Nous remarquons que lorsque le seuil de confiance est égal à 99%, ce ratio est proche de 3. C’est la justification théorique du facteur multiplicatif. En pratique, ce ratio est plus difficile à justifier (VaR gaussienne très peu utilisée, pb de cohérence entre le calcul des FP et la procédure de backtesting). La justification la plus plausible de ce facteur est peut être le grand décalage entre la mesure basée sur les modèles internes et celle basé sur l’approche standard. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Les aspects réglementaires du calcul de la VaR Le scaling: La comité de Bâle impose une période détention de 10 jours pour calculer les fonds propres et une période de détention de 1 jour pour l’exercice de backtesting. Les banques sont autorisées à convertir la VaR 1jour en une VaR 10 jours par scaling Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR - GEV Considérons un portefeuille linéaire composé de m actifs et dont la composition est θ = (θ1, …, θm). Nous notons Pi(t) et ri(t) le prix et le rendement journalier de l’ actif i à la date t. La valeur du portefeuille à la date t est donc: Nous pouvons construire une valeur en risque GEV pour le portefeuille linéaire en procédant de la façon suivante: 1. Soit n la taille des blocs maxima. Nous définissons le seuil de couverture équivalent en égalisant les temps de retour: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR - GEV 2. Nous modélisons alors la loi du maximum de - r(t) = Log(P(t-1))- Log(P(t)) par la distribution GEV. Notons la distribution estimé 3. Rappelons que la VaR journalière est définie par Nous en déduisons que: Remarque: pour des raisons de robustesse, nous préférons modéliser - r(t) et non r(t), car nous cherchons à calculer directement le quantile a de la perte, et non le quantile 1- a du gain. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR - GEV Exemple: Roncalli (2000). Nous considérons 4 portefeuilles: CAC40 DJ P1 P2 P3 P4 1 0 0 1 1 1 1 -1 Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE La VaR - GEV Interprétations: La VaR analytique gaussienne, comparée à la VaR historique, sous-estime les risques pour des quantiles supérieurs à 99% alors qu’elle le surestime pour les quantiles à 90%. Ceci est dû au faite que l’approximation gaussienne conduit à accorder moins de poids aux événements extrêmes. A 99% et 99,6%, la VaR historique est toujours supérieur à la VaR GEV: ceci provient du fait que lorsqu’on prend pour référence des quantiles supérieurs à 99%, les événements extrêmes sont de moins en moins nombreux. A 99,9%, les VaR historique et GEV sont sensiblement les mêmes. Cependant on peut dire que la mesure VaR GEV est plus pertinente car elle fait intervenir un plus grand nombre des points dans les calculs. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Au-delà de la VaR Utilisation de l’approximation GPD Nous nous intéressons ici à la modélisation de la queu de la distribution , au-delà d’un seuil u. Notons le nombre de dépassement de u dans l’échantillon X1, …Xn. Nous rappelons la fonction de distribution des excès par rapport à u. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Au-delà de la VaR Utilisation de l’approximation GPD On peut alors donner une estimation de la queue de distribution remarquons que cet estimateur est valable pour x>u. Cet estimateur peut être vu comme un estimateur historique amélioré par la théorie des extrêmes Un estimateur de la VaR est obtenu alors en inversant l’estimateur de la queue de distribution Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Au-delà de la VaR Utilisation de l’approximation GPD Expected shortfall ou VaR conditionnelle C’est l’espérance de la perte au-delà de la VaR définie par: L’expected shortfall peut être écrite aussi sous la suivante: Un estimateur semi-paramétrique de ES(a) est donc: Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Notion de temps de retour Les financiers et les réassureurs utilisent une notion pertinente pour caractériser la rareté d’un événement : le temps de retour ou return period/time. Cette notion est née en hydrologie et peut se caractériser comme suit. Soient X1, X2, …Xn les montants des maxima annuels observés sur les n dernières années, supposés iid. Considérons un seuil u au delà duquel une observation est jugé extrême. Le temps de retour est la variable aléatoire associée au premier dépassement du seuil u, Notons que la variable suit une loi géométrique Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Notion de temps de retour En effet, Grace à l’hypothèse d’indépendances des maxima annuels, On appellera période de retour d’un sinistre ou d’un événement dépassant u la moyenne du temps de premier excès c’est le temps d’attente moyen entre deux dépassements Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Notion de temps de retour Exemple: Soit F la distribution des pertes. La valeur en risque pour un niveau de couverture a est Nous avons donc: Exemple: le seuil associé à un crue de période de retour T est la VaR de niveau de probabilité 1/T Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Backtesting le but est de confronter la VaR calculée avec les pertes et profits effectivement réalisés adéquation de la méthode utilisée pour le calcul de la VaR. Considérons alors les valeurs de la VaR à un niveau de confiance a. Pour chaque jour d’un historique de T jours, nous comparons la VaR prévue à la perte réalisée. Nous calculons alors le nombre de dépassements noté N. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Backtesting Table de comité de Bâle Il est à remarquer que le rapport N/T doit être de l’ordre de (1-a) Niveau de confiance Région d’acceptation T=255 90% 16<N<36 92.5% 11<N<28 95% 6<N<21 97.5% 2<N<12 99% N<7 Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Backtesting (Application) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Backtesting Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Stress testing Un programme de simulation de crise doit être en mesure de répondre à ces trois questions: Quelles seront les pertes si le scénario X se produit? Quels sont les pires scénarios pour l’institution? Que pouvons-nous faire pour limiter les pertes dans ce cas? la méthode fondée sur la TVE propose de créer des scénarios de crise en caractérisant la loi de extrema d’une ou plusieurs séries financières. Les scénarios de crise sont ensuite définis comme des variations sur ces séries dont la probabilité d’occurrence est très faible. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE Stress testing Afin de rendre plus intuitive cette démarche, nous utilisons la notion de temps de retour. Construire un scénario de crise consiste à fournir pour un temps de retour préalablement choisi (correspondant au degré de gravité de scénario) la ou les variations journalières extrêmes associées pour chacun des principaux facteurs de risque du portefeuille Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Stress testing Approche paramétrique A partir de la série initiale, nous créons la série des extrema pour des tailles de blocs fixées à n jours (ce qui s’interprète comme le pire à n jours). Ensuite, il ne reste plus qu’à calibrer les paramètres de la GEV ( qui est dans notre cas une Fréchet) à l’aide d’estimateur standard de type MV. Nous choisissons alors des temps de retour de 3, 5, 10, 25, 50, 75 et 100 ans. Ensuite, nous calculons puis les variations maximales de chaque titre relatives à ces niveau de confiance Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Stress testing Approche paramétrique (Application) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Stress testing Approche semi-paramétrique Cette approche n’utilise que la caractérisation du domaine d’attraction de la distribution de Fréchet. On n’utilise donc pas une série des extrema mais on se focalise sur les propriétés de la série initiale en queue de distribution. En effet, on sait qu’au-delà d’un certain seuil les excès suivent une GPD. Nous construisons des scénarios de crise pour chaque titre après avoir déterminé son seuil par la méthode de Hill. Pour chaque temps de retour, nous calculons les variations maximales. Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE

Stress testing Approche semi-paramétrique (Application) Evaluation, Analyse et Gestion des risques financiers Lotfi BELKACEM - IHEC de SOUSSE