LOIS COURANTES DE PROBABILITES LA LOI NORMALE Jean-Marc Petit

Principales lois de probabilités La loi Normale. Principes : C’est un loi continue: La variable se décline en intervalles, C’est une distribution symétrique autour de la moyenne avec des effectifs qui décroissent progressivement au fur et à mesure que l’on s’éloigne de l’Espérance par valeurs supérieures et inférieures: E(x)=Médiane=Mode Soit un histogramme qui génère Une courbe du type Elle se caractérise par deux Paramètres :E(x) et et s’écrit: m Jean-Marc Petit

Principales lois de probabilités La loi Normale. Principes : Par exemple cette distribution des tickets clients : Cela fait penser à une loi Normale de type Classes de données ei xi ni xini xi^2ni   5 [ 30 17,5 87,5 1531,25 ; 50 40 10 400 16000 70 60 25 1500 90000 90 80 3200 256000 110 100 5000 500000 130 120 4800 576000 150 140 3500 490000 170 160 1600 195 182,5 912,5 166531,25 Somme N = 210 21000 2352062,5 Somme/N 11200,29762 Moyenne = Médiane Variance = 1200,29762 Ecart type = 34,6453116 Jean-Marc Petit

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: La probabilité est constituée par l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses. Ce qui suppose que l’on détermine des probabiltés d’intervalles, les probabilités ponctuelles étant infinitésimales. Il s’ensuit P(x0<x<x1)= Avec f(x)= x0 x1 Jean-Marc Petit

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Le calcul de étant assez fastidieux, il existe des tables Toutefois à la différence de la loi de poisson, les échelles possibles sont très diverses : Des années des milliers d’heures des Millions d’Euros des Milliards de Dollars La table se base donc sur une variable centrée réduite: avec 1 Jean-Marc Petit

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Ainsi si Alors P(x<x0)=P(u<u0)=P(u< ) u0 u m x0 x 1 Jean-Marc Petit

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Ainsi si Alors P(x<x0)=P(u<u0)=P(u< ) Exemple Si Alors P(x<120)=P(u< ) P(x<120)=P(u<0,58)=? u0 u m x0 x u 1 0,58 Jean-Marc Petit x 100 120

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Ainsi si Alors P(x<x0)=P(u<u0)=P(u< ) Exemple Si Alors P(x<120)=P(u< ) P(x<120)=P(u<0,58)=? u0 u m x0 x u 1 0,58 Jean-Marc Petit x 100 120

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Si P(x<120)=P(u<0,58)=? Par lecture dans la table : 71,90% P(x<120)=P(u<0,58)=0,7190 u P(x<120)=P(u<0,58)=71,90% 0,58 x 100 120 P(U<u) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 1,0000 1 Jean-Marc Petit

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Si P(x>120)=P(u>0,58)=? La table est en P(x<x0) Donc , il faut passer par le Complémentaire : u 0,58 x 100 120 1 Jean-Marc Petit

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Si P(x>120)=P(u>0,58)=? La table est en P(x<x0) Donc , il faut passer par le Complémentaire : Soit de manière générale P(x>x0 )=1-P(x<x0 ) P(u<0,58) 71,90% 28,10% u 0,58 P(x>120)=P(u>0,58)=1-P(u<0,58) x 100 120 P(x>120)=1- 0,7190=0,2810=28,10% P(U<u) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 1,0000 1 Jean-Marc Petit

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Si P(x<90)=P(u<-0,29)=? u - 0,29 x 90 100 1

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Si P(x<90)=P(u<-0,29)=? Comme la table ne prend en compte que les « u » positifs On utilise la symétrie pour passer par « -u » u - 0,29 -0,29 x 90 100 1

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Si P(x<90)=P(u<-0,29)=? Comme la table ne prend en compte que les « u » positifs On utilise la symétrie pour passer par « -u » Donc P(u<-0,29)=P(u>0,29) =1-P(u<0,29) P(x<90)= =1-0,6141=0,3859 38,59% 38,59% u - 0,29 0,29 x 90 100 P(U<u) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,536 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 De manière générale P(u<-u0)=P(u>u0) et P(u>-uO)=P(u<u0) On change le signe du u en changeant le sens de l’inégalité. 1

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Si P(90<x<120)=P(-0,29<u<0,58)=? - 0,29 u 0,58 x 90 100 120 1

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Si P(90<x<120)=P(-0,29<u<0,58)=? P(u<0,58) u 0,58 x 90 100 120 38,59%

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des probabilités: Si P(90<x<120)=P(-0,29<u<0,58)=? P(90<x<120)=P(u<0,58)-P(u<-0,29) Donc P(90<x<120)=P(u<0,58)-P(U>+0,29) P(90<x<120)=P(u<0,58)-[1-P(u<0,29)]=0,7190-(1-0,6141)=33,31% P(u<0,58) P(u<-0,29) - 0,29 u 0,58 x 90 100 120 De manière générale P(x0<x<x1)= P(u0<u<u1)= P(u<u1) - P(u<u0) 1

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination de x : Si On peut aussi vouloir retrouver X0, correspondant à une certaine Probabilité. x, ? , si P(x<x ) = Il conviendra de chercher le u correspondant à la probabilité noté u. Par exemple x0,975? P(x< x0,975)= P(u< u0,975)=0,975 u u x x 100

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination de x : Si On peut aussi vouloir retrouver X0, correspondant à une certaine Probabilité. x, ? , si P(x<x ) = Il conviendra de chercher le u correspondant à la probabilité noté u. Par exemple x0,975? P(x< x0,975)= P(u< u0,975)=0,975 x0,975 =167,89€ - 0,29 97,5% 2,5% u 1,96 x 100 167,89 U 0,06 =>U0,975 = 1,96 par lecture dans la table => 1,9 0,975 Comme => ici x0,975

Principales lois de probabilités La loi Normale :Détermination des valeurs de x : x0,975 =167,89€ : cela signifie qu’il a 97,5% de chances pour Q’un client dépense moins de 167,89 € et 2,5% de chances Pour qu’il en dépense plus Si < 0,5 ex : 0,025 la lecture directe dans la table est impossible. Il faut à nouveau utiliser la symétrie: u0,025 = 2,5% U0,025 u 100 x

Principales lois de probabilités La loi Normale :Détermination des valeurs de x : x0,975 =167,89€ : cela signifie qu’il a 97,5% de chances pour Q’un client dépense moins de 167,89 € et 2,5% de chances Pour qu’il en dépense plus Si < 0,5 ex : 0,025 la lecture directe dans la table est impossible. Il faut à nouveau utiliser la symétrie: u0,025 = Soit la formule générale si : < 0,5 -u0,975 2,5% 2,5% € u U0,025 U0,975 =-U0,975 -1,96 1,96 x 167,89 32,11 100

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination des valeurs de x : x0,025 =32,11€ : signifie qu’il n’y a que 2,5% de chances pour q’un client dépense moins de 32,11 € et donc 97,5% de chances pour qu’il en dépense plus. Détermination de l’intervalle de confiance : Il s’agit de déterminer entre quelles valeurs xinf et xsup centrées sur la moyenne a-t-on chances de trouver x Par exemple, dans quelle fourchette d’achat a 95% de chances de se trouver un client qui se présente en caisse. Un intervalle de confiance à 95% Cela signifie qu’il reste 5% à répartir Aux deux extremités à raison de 2,5% xsup = 100+1,96x34,64 et xinf = 100-1,96x34,64 95% 2,5% 2,5% U0,025=-U0,975 -1,96 1,96 32,11 100 167,89

Principales lois de probabilités La loi Normale. Détermination de l’intervalle de confiance : Cela signifie qu’il y a 95% de chances qu’un client se présentant en caisse ait une dépense comprise entre 32,11€ et 167,89€ : 1,96 = => La formule peut être généralisée comme comme suit: Si l’on considère : :le niveau de confiance et : le risque d’erreur alors l’intervalle de confiance Se définit comme : = Dans Uinf= Usup Xinf m Xsup

Recapitulatif des formules de la loi normale , P(u>u0)=1-P(u<U0) P(u<-uo)=P(u>u0) Jean-Marc Petit