Circonscription d’Athis-Mons, Paray-Vieille-Poste et Wissous Le nombre au cycle 1 Mardi 17 novembre 2015 Circonscription d’Athis-Mons, Paray-Vieille-Poste et Wissous Ghyslaine Deslaurier, IEN Athis-Mons Présentation du plan général : Le site IA91 maternelle : http://www.ac-versailles.fr/public/jcms/pgh_82463/maternelle

I- La construction du nombre Depuis leur naissance, les enfants ont une intuition des grandeurs. A leur arrivée à l’école maternelle, ils discriminent les petites quantités un, deux et trois. L’école maternelle doit conduire chaque enfant à comprendre que les nombres permettent à la fois d’exprimer des quantités (usage cardinal) et d’exprimer un rang ou un positionnement dans une liste (usage ordinal). Elle s’appuie sur : La notion de quantité La codification orale et écrite du nombre L’acquisition de la suite orale des nombres Le dénombrement La construction du nombre s’appuie sur la notion de quantité, la codification orale et écrite du nombre, l’acquisition de la suite orale des nombres, le dénombrement. Le vocabulaire mathématique est signifiant et doit être utilisé à bon escient. De nombreuses confusions chez les élèves sur le concept du nombre peuvent être issues d’approximation langagière : Chiffre/Nombre, Quantité/Nombre, Calculer/Compter/Dénombrer. Ces notions doivent donc être enseignées explicitement. Définitions de Dominique Valentin : Compter : réciter la suite numérique à partir de 1. Dénombrer : utiliser une procédure permettant de déterminer le nombre d’éléments d’une collection. Calculer : terme réservé au travail sur les nombres et non sur les objets. - Il est important de donner du sens aux nombres à travers la mise en œuvre d’activités fonctionnelles, c’est-à-dire, des activités à travers lesquelles les enfants vont pouvoir prendre conscience des possibilités que nous donne la connaissance des nombres. Les élèves doivent comprendre à quoi servent les nombres. Ne pas se limiter à l’ acquisition de la comptine numérique. Cardinalité : le nombre d’éléments (unité) ou d’unité d’un ensemble (collection) Situations permettant de créer des collections équipotentes l’enfant peut les réaliser sans utiliser le nombre dans un premier temps Ex: 5 voitures, aller chercher le nombre de voyageurs pour remplir le véhicule , pas plus pas moins, l’enfant peut utiliser la perception globale , la reproduction de la constellation , l’apparence des collections domine la notion de quantité , mais il est amené quand même à prendre en compte la quantité , utiliser la correspondance terme à terme , confectionner parfois des collections intermédiaires De nombreux jeux mathématiques offrent des situations de comparaison de collections. En PS, avons-nous assez d’assiettes pour donner à manger à chaque poupée ? En MS on introduit des situations rendant obligatoire l’utilisation du nombre en raison de l’éloignement des collections à comparer. En GS on confronte les élèves à des situations de comparaisons qui mobilisent les nombres dans des jeux mathématiques et problèmes de comparaisons de grandes collections (plus de 30 objets). Désignation : nom ou identifiant propre à un objet (nominal) Lorsque l’on écrit un nombre en chiffres, on ne code pas l’oral. Lorsque l’on lit un nombre écrit en chiffre, on ne décode pas de l’écrit , dans les deux cas , il faut chercher une correspondance dans un autre système ex : un numéro de téléphone, le numéro du maillot d’un joueur, une immatriculation de voiture, un code postal, une pointure de chaussures, la 2 comme numéro de la chaîne de télévision, etc… pour faciliter son appropriation, le nombre écrit est présenté dans la classe de manière permanente, sous forme de bandes numériques collectives et individuelles. En PS, une bande numérique de 1 à 6 associant écriture du nombre et configuration du dé, évoluant jusqu’à 12 en cours d’année. En MS de 1 à 12 en début d’année évoluant jusqu’à 30. En GS, bande numérique de 1 à 30. Entre 1 et 12, écriture du nombre, décomposition à partir de groupes de six en utilisant les configurations du dé et décomposition à partir de groupes de cinq en utilisant les doigts de la main. Ordinalité : rang ou position d’un élément d’un ensemble Il s’agit de travailler l’ordre des nombres , il faut , souvent, connaître la comptine orale ou l’algorithme écrit si on travaille l’écriture chiffrée , donc un travail simultané Ex: le dateur universel mixte , si le dispositif pour les quantièmes est une bande numérique , il faut éviter , lors du changement de mois , tout geste qui s’apparente à un mouvement où l’on remonte le temps , on le fait sortir. Les supports sont adaptés à la longueur de chaque mois ( 4 bandes de 28,29,30,31) plutôt que de sauter certains quantièmes Le travail sur le nombre objet d’un point de vue cardinal et ordinal peut se travailler en simultané : Je suis sur une piste composée de 20 cases numérotés, je suis sur la case 11, je recule de trois cases ; où suis-je? Cardinal et ordinal : Dénombrer une quantité en PS le nombre est abordé comme outil de communication pour caractériser une quantité d’objets. On dénombre une petite collection pour déterminer le nombre de feutres de couleur dont l’élève a besoin (une couleur par objet). En MS et GS on mobilise les situations de dénombrement dans des usages s’inscrivant dans des pratiques sociales qui permettent à l’enfant d’en comprendre le sens, gestion des présents/absents, constitution d’équipes, jeux mathématiques… Ordinal et nominal : Acquérir la suite orale des mots-nombres en PS il s’agit d’imprégnation et répétition. On l’utilise pour dénombrer des enfants, des objets… On propose des jeux dont le but n’est que mémoriser la suite des mots : comptines numériques, faire réciter la comptine par la marionnette en faisant des erreurs… En MS et GS, on allonge la suite numérique. On démarre la suite à « n », puis en compte de 2 en 2, mais surtout on prend de plus en plus appui sur la suite écrite présentée sur la bande numérique.

II- Le programme de 2015 Du programme de 2008 au programme de 2015 Un domaine : Construire les premiers outils pour structurer sa pensée Un sous-domaine : découvrir les nombres et leur utilisation 4 grands objectifs d’apprentissages : -Construire le nombre pour exprimer des quantités -Stabiliser la connaissance des petits nombres -Utiliser le nombre pour désigner un rang, une position -Construire des premiers savoirs-et savoir-faire avec rigueur Le site IA91 maternelle : http://www.ac-versailles.fr/public/jcms/pgh_82463/maternelle Historique En 50 ans, les choses ont beaucoup changé. A la fin des années 50 et au début des années 60, le calcul et l’arithmétique étaient enseignés du CP à la classe de fin d’études et reposaient sur la parfaite maîtrise des quatre opérations, la connaissance opératoire du système métrique et la capacité à résoudre des problèmes opératoires parfois sophistiqués. En 1970, une réforme d’ampleur modifie l’enseignement , celle des mathématiques dites modernes. Sous‐jacentes aux activités cognitives (calcul ou résolution de problèmes) des savoirs ou savoirs faire plus abstraits liés à la logique constituent les bases de l’ensemble de l’édifice mathématique. Il convient d’entreprendre aussi précocement que possible leur appropriation en sollicitant l’activité de l’élève (le constructivisme) pour construire les connaissances et non simplement les apprendre. Les programmes de 1978‐80 conservent l’idée de la construction de connaissances, se réfèrent à la nouvelle didactique des mathématiques (Brousseau) et donnent un nouveau sens au mot « problème ». Le socle commun de connaissances et de compétences : Deux domaines 1 Les langages pour penser et communiquer 4 Les systèmes naturels et les systèmes techniques Du programme de 2008 au programme de 2015 2008… Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. A la fin de l’école maternelle, l’élève est capable de: • Dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus • Mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 • Associer le nom des nombres connus avec leur écriture chiffrée • Comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités 2015…L’apprentissage du concept de nombre à l’école maternelle est progressif et spiralaire et s’effectue en deux périodes distinctes : avant et après 4 ans. Il nécessite un temps d’appropriation qui dépend de l’enfant (selon son rythme, son développement, son degré d’acculturation). Il passe par une confrontation dans des situations nombreuses et diverses (du concret à l’abstrait, du vécu au conceptuel). Les élèves doivent comprendre à quoi servent les nombres. Pour donner du sens aux nombres, il est intéressant de les utiliser dans des problèmes articulés avec des supports ludiques et des situations vécues. Les tâches de comparaison, d’égalisation, de distribution ou de partage sont à envisager de manière perceptive avec les plus jeunes, puis en utilisant des procédures non numériques (correspondance terme à terme, distribution un à un d’objets), des procédures de comptage (en recomptant la collection) ou des procédures basées sur des « faits numériques » , c’est-à-dire des résultats mémorisés comme des doubles (5 et 5, c’est 10) ou des compléments (7 pour aller à 10, il faut 3). Il s’articule autour de quatre objectifs : -Construire le nombre pour exprimer les quantités -Stabiliser la connaissance des petits nombres -Utiliser le nombre pour désigner un rang, une position -Acquérir des savoirs et savoir-faire avec rigueur Quelques principes de base : -le nombre en tant qu’objet mathématique (signifié) se construit en même temps que les mots et les symboles utilisés pour le désigner (signifiants). -Cet apprentissage se base sur la manipulation et le jeu et sur l’entrainement (régularité, fréquence)

Construire le nombre pour exprimer des quantités Le nombre est une abstraction de la quantité Un nombre sert à mémoriser une quantité ou une position, à communiquer une information, à comparer les quantités, avec ou sans la présence explicite de celles-ci, à anticiper des résultats dans des situations non encore réalisées. -L’enfant fait d’abord appel à une estimation perceptive globale (plus, moins, pareil, beaucoup, pas beaucoup) -Il passe de l’apparence des collections à la prise en compte des quantités -L’enfant utilise le nombre en tant qu’outil de mesure de la quantité Il y a stabilisation quand l’enfant peut associer le nombre à une quantité quelle que soit la nature, la taille, et l’espace occupé par les éléments de la collection. Un travail sur la composition et la décomposition des nombres contribue à cette stabilisation. De la quantité au nombre Un nombre sert à mémoriser une quantité ou une position, à communiquer une information, à comparer les quantités, avec ou sans la présence explicite de celles-ci, à anticiper des résultats dans des situations non encore réalisées. On pourrait dire que « le nombre est une abstraction de la quantité »1 En effet : Plusieurs quantités peuvent représenter le même nombre : cinq bonbons, cinq points, cinq cailloux, cinq voitures. Plusieurs quantités de nature différente pouvant être mises en correspondance terme à terme sont représentées par un même système de représentations symboliques. Toutes les collections d’objets précédentes sont équivalentes du point de vue de la quantité. Le symbole « 5 » désigne la classe d’équivalence de toutes ces collections qui contiennent la même quantité d’objets. On définit ainsi le nombre que l’on désignera par le mot « cinq » ou par l’écriture chiffrée « 5 ». Certains élèves peuvent avoir du mal à considérer que cinq éléphants et cinq souris sont deux collections équivalentes du point de vue de la quantité étant donné la différence de taille entre les objets des deux collections. Ou encore, on peut considérer momentanément que les bonbons de la collection sont ordonnés comme le sont les mots de la comptine numérique  : on associe le premier mot à un premier bonbon, le deuxième mot à un deuxième bonbon, etc., et que quel que soit le choix du premier bonbon, du deuxième..., il y aura toujours un cinquième bonbon. On peut faire de même avec la collection de cinq cailloux, de cinq voitures. Le dernier mot énoncé désigne la taille de la collection. On voit apparaître ici les deux définitions cardinale et ordinale du nombre. Ce passage de la quantité au nombre est difficile pour de jeunes élèves à cause de deux raisons principales  : il est nécessaire que ces derniers donnent du sens à ce qu’est une collection et ils doivent faire abstraction de la qualité des éléments qui la composent.   

Stabiliser la connaissance des petits nombres passe par des représentations analogiques à des représentations verbales et symboliques repose sur un travail de : décomposition et de recomposition du nombre et sur l’observation, la reconnaissance et l’expression d’une quantité, la correspondance terme à terme avec une collection connue Utiliser le nombre pour désigner un rang, une position Stabiliser la connaissance des petits nombres Le passage des représentations analogiques à la représentation verbale2 Dans le passage de la quantité au nombre, deux types de représentation sont en jeu  : Les représentations analogiques Les éléments d’une collection sont représentés par des objets concrets ou figurés  : cailloux, doigts, gommettes, entailles sur un os, croix, etc. et chaque objet représente un élément de la collection. Dans ce type de représentation, il y a indépendance entre le nombre d’éléments d’une collection et les caractéristiques des éléments qui la composent  : quatre c’est quatre « n’importe quoi ». Les enfants peuvent avoir des difficultés à comparer une collection de quatre camions et une collection de quatre points dessinés sur un morceau de carton qui représente toutes les collections composées de quatre éléments. Les représentations verbales et symboliques Elles concernent le codage de la quantité avec des mots ou avec des chiffres et elles seront à terme utilisées pour évoquer le nombre et donc remplacer toutes les autres représentations. Le mot ou le symbole utilisé devra traduire pour les élèves une quantité, ce qui est loin d’être évident. Les représentations analogiques des quantités permettent de visualiser leur augmentation, ce qui n'est pas le cas avec la représentation verbale. Il est nécessaire de connaître la liste des noms des nombres dans l’ordre pour comparer les quantités à l’aide des mots qui les désignent  : cinq est plus grand que quatre parce que le mot cinq vient après le mot quatre dans la liste. Ce sont des difficultés que rencontrent les élèves de l’école maternelle. Pour les diminuer, il est possible de proposer des systèmes symboliques intermédiaires issus des représentations analogiques, en particulier le recours aux doigts. En effet, ce dernier (de même que le recours aux boules d’un boulier, à des bûchettes…) est intéressant parce qu’on peut associer un doigt à un objet par la correspondance terme à terme et que les doigts conservent les propriétés de l’analogie  : deux doigts, c’est perceptivement plus qu’un doigt. Ils sont donc un intermédiaire, une abstraction manipulable entre le symbolique et l’analogique Les doigts jouent donc un rôle important dans la mesure où  : ils sont supports d’abstraction  ; ils sont intermédiaires entre le symbolique et l’analogique  ; ils permettent la mise en évidence des transformations par la manipulation. Progressivité Au cycle 1, la construction du nombre jusqu’à 10 est essentielle. Entre 2 et 4 ans, la stabilisation des petits nombres jusqu’à 5 passe par des activités nombreuses et variées portant sur la décomposition et la recomposition des petites quantités, la reconnaissance de petites quantités. A partir de 4 ans, jusqu’à 10. L’itération de l’unité se construit progressivement Utiliser le nombre pour désigner un rang, une position Cette construction du nombre permet la mémorisation du rang d’un élément mais nécessite de définir un sens de lecture et la rigueur du vocabulaire employé (second/deuxième) Cet usage du nombre s’appuie à l’oral sur l’usage de la comptine numérique et à l’écrit sur celle de l’écriture chiffrée Les éléments à prendre en compte Cardinal et ordinal L’aspect du nombre considéré est ici l’ordinal, celui qui sert à exprimer un ordre, l’aspect cardinal étant celui relatif à l’utilisation du nombre comme mesure de quantités discrètes. Ces deux aspects sont liés  : pour repérer la position d’un objet dans une liste ordonnée, il est nécessaire de dénombrer tous les objets qui sont placés avant ou après lui  ; si un objet est placé en cinquième (ordinal) position dans la file, c’est qu’il y en avait quatre (cardinal) avant lui. La nature de la tâche Trouver un moyen de mémoriser la position d’un objet dans une file de référence pour la retrouver dans une file identique. Reconstituer tout ou partie d’une file de référence en l’absence de celle-ci. Les variables Selon les variables choisies par l’enseignante, les procédures mises en œuvre par les élèves pour réaliser la tâche seront différentes. En voici quelques-unes  : le nombre d’éléments de la file de référence  ; la manière dont est disposée la file de référence  : sur la table de travail, à proximité des élèves  ; en un endroit éloigné de la table de travail, non visible des élèves  ; la position de l’objet à repérer dans la file de référence  : éloignée ou non des extrémités  ; le fait que la file de référence et celle sur laquelle la position de l’objet doit être retrouvé ne soient pas à la même échelle, si elles sont représentées. Les procédures Lorsque la file de référence comporte peu d’objets, les élèves peuvent s’en construire une image mentale et la mémoriser pour résoudre le problème. Il en est de même lorsqu’il s’agit de mémoriser la position d’un élément proche des extrémités. Dans les autres cas (éléments plus nombreux, position de l’objet à trouver, non située près des extrémités), il est nécessaire de recourir au nombre pour mémoriser la position et la retrouver. Quelques repères pour construire une progression Nous proposons la progression suivante  : Construire la notion de file (PS et MS) Une file est une liste ordonnée d’objets. Cette connaissance n’est pas explicitée dans les programmes et si son apprentissage n’est pas pris en compte à l’école, c’est à l'élève de s’en charger. Il s’agit de proposer aux élèves des situations leur permettant d’acquérir la notion de file. Utiliser le nombre pour repérer un élément dans une file (GS) Une fois la notion de file acquise, il s’agit de proposer aux élèves des situations dans lesquelles le nombre est utilisé pour mémoriser la position d’un objet dans une file. permet la mémorisation du rang d’un élément nécessite de définir un sens de lecture s’appuie à l’oral sur l’usage de la comptine numérique et à l’écrit sur celle de l’écriture chiffrée

Construire des premiers savoirs et savoir-faire avec rigueur 1- Acquérir la suite orale des mots-nombres Trois étapes : la comptine est connue mais n’est pas sécable (chaîne en chapelet), la comptine devient sécable, l’élève peut compter à rebours. L’apprentissage des comptines numériques favorise la mémorisation et la segmentation ds mots-nombres Acquérir la suite orale des mots-nombres Elle s’appuie sur la mémorisation et la segmentation des mots-nombres en unités linguistiques. Cela permet le repérage du nombre qui est avant après le suivant le précédent pour faire du lien entre l’augmentation et la diminution et acquérir l’itération de l’unité. L’acquisition de la chaîne verbale orale Elle se fait sur une longue période puisque sa construction se met en place entre deux et six ans. En situation de production verbale, les enfants de cinq ans présentent des niveaux différents d’organisation de la chaîne numérique. Fuson3a mis en évidence quatre niveaux  : Le niveau « chapelet » où les noms des nombres n’ont encore aucune individualité. Il s’agit d’une récitation d’une séquence de la comptine en bloc  : « un deux trois quatre… ». Cette séquence verbale peut être énoncée en présence d’objets à dénombrer, mais il ne s’agit que d’une simulation. Le niveau « chaîne insécable » où les noms des nombres sont individualisés  : « un-deux-trois-quatre… ». À ce niveau, les enfants ne peuvent pas réciter la comptine à partir d’un mot nombre donné. La séquence constitue toujours un tout insécable. Les items, individualisés, ne peuvent être traités que suivant l’ordre strict dans lequel ils ont été appris. Les enfants sont incapables de réciter la comptine à partir d’un mot nombre donné. La principale capacité qui émerge à ce niveau est celle du comptage jusqu’à n. Pour cela l’enfant doit conserver en mémoire le mot nombre auquel il doit parvenir et s’arrêter lorsqu’il est atteint. C’est à ce moment-là que la procédure de comptage peut apparaître pour mesurer la taille d’une collection et que certains enfants peuvent répondre à la question : « Qu’est-ce qui vient après ? » en reprenant la récitation de la comptine depuis le début. Cette période se situe après quatre ans et peut aller au-delà de cinq ans. Le niveau « chaîne sécable » où, cette fois, l’entrée dans la chaîne est possible à n’importe quel endroit. L'enfant peut compter à partir de «   x  » et « de  x  jusqu’à  y  ». En principe, ce niveau est atteint par tous les enfants de six ans. Là, les élèves peuvent utiliser le surcomptage pour résoudre certains problèmes additifs. Ils peuvent aussi déterminer si un nombre est plus grand qu’un autre en référence à la comptine numérique. Ils ont encore du mal à compter à rebours. Le niveau de la « chaîne terminale » où les mots nombres qui la constituent peuvent être traités comme des entités distinctes qui ne sont pas seulement produites, mais qui peuvent être dénombrées. À partir de six ou sept ans, les enfants peuvent compter  n nombres à partir de x. Le comptage à rebours progresse. Pour que la chaîne verbale orale puisse être opérationnelle du point de vue de la désignation des nombres et donc de la mise en place du concept de nombre, il faut donc une longue période d’acquisition. De plus, la syntaxe sous-jacente à notre système de mots qui composent la suite verbale n’est pas régulière ce qui rend plus difficile sa mémorisation. Vers 5-6 ans, la suite orale des nombres devient une chaîne sécable pour l’enfant, qui permet alors de déterminer le nombre d’objets d’une collection. Cependant la capacité à envisager la suite numérique comme une suite de mots indépendants n’est pas suffisante pour dénombrer. Comprendre la notion de chaîne orale: c’est la suite des mots nombre , associée à l’opérateur suivant , cette chaîne est ordonnée par une structure temporelle , 9 est plus grand que 7 parce que le mot «  neuf » est récité après le mot « sept ». Savoir énumérer est nécessaire pour dénombrer. La capacité à énumérer une collection peut être travaillée tout au long de l’école maternelle et peut être reprise en CP si nécessaire car sa non maîtrise peut être la cause de difficultés dans le comptage dénombrement chez certains élèves. Très souvent la comptine que récite l’enfant se subdivise en trois partie avant d’être totalement acquise: Une partie conventionnelle et stable : l’enfant récite facilement cette partie , sans erreur et est capable de le faire plusieurs fois de suite Une partie stable mais non conventionnelle, à partir d’un certain rang, il récite toujours mais oublie des nombres toujours les mêmes. Pour certains élèves , différents mots sont plus difficile à retenir que d’autres et à prononcer ex: onze , douze… le –ze en deuxième syllabe entraîne une difficulté de mémorisation. Dans la suite numérique les irrégularités sont nombreuses, ainsi que des ruptures dans la prononciation , d’où certaines difficultés à rendre stable la récitation de la chaîne : «  un, deux, trois, cinq, neuf, six… », des élèves expriment ce besoin de régularité en récitant la chaîne : (neuf), (dix), (dix-un), dix-deux), on doit prendre en compte ce besoin Une partie ni stable ni conventionnelle , il donne des nombres au hasard. La comptine n’est pas sécable : « chaîne en chapelet », tous les mots sont attachés , sans capacité à sectionner. Quand le maître demande « montre moi jusqu’à combien , tu sais compter » , l’élève prend son souffle et « débite » les mots sans s’arrêter , si le maître l’interrompt , il ne peut pas reprendre. Après la chaîne en «  chapelet », on peut parfois distinguer la chaîne non sécable mais où les mots sont distincts , l’élève repart toujours de « 1 » mais si l’enseignante lui fournit un début « six, sept, … Tu continues… », il peut poursuivre. Enfin , la chaîne orale devient « sécable » : les mots nombres sont distincts et l’élève repart de lui même , sans amorce. Le passage d’un type de chaîne à l’autre fait partie d’un apprentissage , mais il faut être conscient que c’est une activité langagière. Quelques rituels pour organiser la progressivité de l’apprentissage de la comptine numérique : La maîtresse compte les élèves , en touchant effectivement chaque enfant à chaque nombre ; Chaque élève compte en silence et l’enseignant touche les élèves , de temps en temps la maîtresse dit à haute voix où elle en est ; Un élève ne compte que les filles , que les garçons ; Hier on était le , aujourd’hui on est le… ; Pour enseigner la comptine numérique, on peut utiliser les rituels, les comptines, les livres à compter. Chaque comptine possède un objectif d’apprentissage : certaines comptines sont intéressantes en MS car elles permettent d’initier le passage de la « suite chapelet » à la suite « sécable ». Il s’agit aussi de construire un rapport conscient entre cette récitation (du « langage » mémorisé ou automatisé) et les quantités. Ce rapport si il est évident pour certains élèves, pour d’autres il est plus difficile. A chaque comptine son objectif : Apprendre à dire la comptine sans se tromper Apprendre à couper la comptine Apprendre à dire la comptine à partir de n’importe quel nombre Compter à rebours Progressivité La suite orale doit être stable, ordonnée segmentée et suffisamment longue. Les premiers éléments peuvent être mis en place jusqu’à 5 ou 6 et étendus progressivement jusqu’à 30 en fin de GS

2- Ecrire les nombres avec des chiffres Un apprentissage progressif à partir de quatre ans Un recours à l’écriture chiffrée dans des situations concrètes répondant à un besoin de communiquer Un apprentissage rigoureux La création d’outils collectifs (affichages) La création d’outils individuels (imagiers, albums à compter) La premières écritures chiffrées ne doivent pas être introduites précocement mais progressivement. Dans des situations concrètes répondant à un besoin de communication. Elle doit être conduite avec la même rigueur que l’apprentissage de l’écriture des lettres à partir de 4 ans Le recours à l’écriture chiffrée En grande section, autant la plupart des élèves ont recours aux mots qui désignent les nombres pour mémoriser une quantité, autant il n’est pas naturel pour eux d’utiliser d’emblée les écritures chiffrées pour le faire. L’enseignant devra donc proposer des occasions pour que ces dernières puissent peu à peu devenir opérationnelles.

3-Dénombrer C’est attribuer à une collection un symbole qui permet de conserver la mémoire de son cardinal : le nombre (« extraire de »). Énumérer tous les objets sans en oublier un, sans compter deux fois le même. Associer à chaque objet un mot nombre et s’arrêter Énoncer le dernier mot nombre comme réponse à la question posée. L’enfant doit être sollicité pour constituer, énumérer, désigner, ordonner des collections, énoncer le dernier mot-nombre comme désignation d’une quantité. La difficulté réside dans la coordination de ces procédures Qu’appelle-t-on le dénombrement ? « procédure, quelle qu’elle soit, qui permet de déterminer le nombre d’éléments d’une collection. […] D. VALENTIN « Dénombrer c’est utiliser les mots nombres pour quantifier, pour donner le nombre d’éléments ou d’objets contenu dans une collection. » R. BRISSIAUD Plusieurs sens peuvent être donnés à ce mot. Littéralement, « dénombrer » signifie « extraire un nombre de ». Pour certains, le mot « dénombrement » est associé à la procédure de comptage qui met en correspondance terme à terme les éléments d’une collection avec les mots de la comptine numérique et à la propriété du dernier mot énoncé qui désigne le nombre d’éléments de la collection. Pour d’autres, le terme de « dénombrement » est employé pour désigner uniquement l’association d’une quantité à un nombre. Brissiaud utilise la définition littérale du verbe dénombrer  : « extraire un nombre de » et lui associe donc toute procédure permettant d’accéder au nombre. Dans ce cas, la procédure de comptage est une de celles qui permettent d’accéder au nombre. Tout comme lui, nous avons choisi d’associer au mot dénombrement toute procédure permettant d’accéder au nombre. Il est possible de distinguer deux types de ces procédures  : les procédures non numériques et les procédures numériques. Le dénombrement fait appel à plusieurs concepts et compétences : le concept de collection : ensemble d’objets unis par une propriété commune (mis en place par des activités de tri) ; le concept de désignation : remplacer un objet par un symbole ; l’énumération : l’élève doit pointer une et une seule fois tous les éléments de la collection. Cette compétence peut être travaillée indépendamment de la comptine et fait appel à diverses procédures. Les procédures (pointage, déplacement..) sont dépendantes de la nature de la collection et de son organisation spatiale. On peut considérer que l’enfant construit assez tôt la notion de comptage, mais qu’il ne peut accéder à une procédure efficace que lorsqu’il peut coordonner plusieurs opérations logiques

Les procédures non numériques La procédure perceptive Correspondance terme à terme C’est le fait de comparer le nombre d’éléments de deux collections grâce à l’appariement (mettre en place le geste mental d’énumération). Les procédures numériques Le « Subitizing » : C’est le fait d’énoncer rapidement le nombre d’objets d’une collection. (reconnaissance immédiate de la quantité, jusqu’à 3, 4 ou 5). L’usage de collections témoins Les procédures non numériques La procédure perceptive Elle permet de comparer des collections selon leur taille, lorsqu’une des collections comprend beaucoup plus d’éléments que l’autre, mais pas de déterminer la taille d’une collection. La correspondance terme à terme C’est comparer le nombre d'éléments de 2 collections grâce à l'appariement. Ce geste vise essentiellement à mettre en place le geste mental d’énumération, c’est-à-dire d’apprendre à transformer, matériellement puis mentalement, un « tas » en « file ». Elle permet de comparer deux collections du point de vue de leur taille sans avoir à la déterminer. Grâce à elle, il est possible de vérifier si deux collections ont autant d’éléments. Elle peut donc être utilisée comme validation. Elle autorise aussi le recours aux collections témoins comme les doigts pour construire une collection ayant autant d’éléments qu’une collection de référence si cette dernière comporte au plus dix éléments. Dans ce cas, le recours à la procédure de comptage n’est pas nécessaire. Les procédures numériques Le   subitizing   C’est la capacité à énoncer rapidement, « d’un coup d’œil », le nombre d’objets d’une collection. (reconnaissance immédiate de la quantité, nombre jusqu’à 4 ou 5). Cette capacité ne nécessite pas que les éléments de la collection soient disposés de façon particulière Il met en jeu la capacité de l’être humain à énumérer de façon immédiate une collection comportant jusqu’à trois (ou quatre) objets. Il permet la quantification d’une collection dans le cas où le nombre d’éléments est très limité ou lorsque ces derniers sont organisés dans des dispositions spatiales régulières (les constellations du dé, par exemple). Il est possible d’utiliser le  subitizing pour construire les trois premiers nombres avec des élèves de PS. Tout d’abord construire le système des trois premiers nombres qui correspond au subitizing (capacité à énumérer immédiatement des unités jusque 3) Comment ? En insistant sur la pluralité «montre moi les 3 brioches sur cette carte» ; «oui, il y a une, et encore une, et encore une brioche»… L’enfant associe ainsi le mot «trois» à la totalité correspondante». Compléter les phrases: «Il y a un…» ; «Il y a deux…» ; «Il y a trois…» ou plutôt … «Il y a trois…», puis «Il y a deux…» et enfin: «Il y a un…» Les calculines, «L’album 1, 2 et 3»; Brissiaud, 2005) Privilégier les décompositions («trois camions, c’est un là, un là et encore un là» ou bien «trois camions, c’est deux là et encore un là». EX: Quand un enfant veut jouer sur le tapis figurant les routes du coin voitures, il doit prendre un parking puis aller chercher juste ce qu'il faut de voitures pour remplir son parking avant de jouer. Un dialogue s’installe alors : «tu as pris trois voitures, une et encore une et encore une, deux et encore une, cela fait trois voitures, juste ce qu’il te faut». Un poisson bleu, un poisson rouge, un poisson vert, 3 poissons dans la mer. Trois gros rats gris et un petit, les quatre rats sont dans mon lit. Pouah, je n’en veux pas, partez d’ici vilains rats gris ! Calculine de Brissiaud (à associer au dessin) L’usage de collections témoins Une collection témoin peut être une collection de croix, une configuration de doigts, une constellation. Pour évoquer le nombre d’éléments d’une collection d’objets que l’on ne sait pas encore nommer, on peut avoir recours à une collection témoin, par exemple une collection de doigts (voir plus loin). D’autre part, certains chercheurs comme Fayol1ont émis l’hypothèse qu’utiliser les doigts jouerait un rôle fondamental dans la manipulation mentale de représentations de quantités pour calculer, avant même que les élèves n’associent des noms à ces dernières. L’entraînement à utiliser les doigts pour manipuler les quantités serait le prélude à la compréhension des opérations arithmétiques. Leurs hypothèses sont fondées sur la mise en évidence par d’autres chercheurs du fait que le score d’enfants âgés de cinq ans à des épreuves perceptivo-tactiles (reconnaissance et description des doigts) était prédictif de leurs performances arithmétiques.  [1]Fayol M., « Compter sur ses doigts, une étape nécessaire », La Recherche n° 379, 2004.

La procédure de comptage Les principes de Gelman et Gallistel -Le principe d’adéquation Le principe de l’ordre stable : C’est le fait de mémoriser une suite de mots-nombres et la restituer de la même manière dans des contextes différents. -Le principe cardinal : Le dernier mot nombre réfère à l’ensemble (combien ?) -Le principe de non pertinence de l’ordre : L’ordre de comptage des objets n’influe pas sur le cardinal de l’ensemble. -Le principe d’abstraction : La nature des objets n’influe pas sur le cardinal de l’ensemble. Le passage de stratégies de comptage à des stratégies de calcul est l’un des enjeux du cycle 2, pas celui de la maternelle. Nous avons choisi d’associer au mot comptage la procédure qui met en correspondance terme à terme les éléments d’une collection avec les mots de la comptine et qui associe à chaque mot énoncé la quantité d’éléments déjà comptés. Ce choix nous permet de lever toute ambiguïté concernant le sens des mots « dénombrer » et « compter ». Il est possible de recourir à la procédure de comptage sans pour cela accéder à la quantité, lorsque le mot énoncé dans la comptine n’est pas encore associé à la quantité d’éléments de la collection déjà comptés. Certains évoquent alors un comptage non cardinalisé. Point crucial concernant certaines pratiques de comptage : le maître demande « combien y a-t-il de jetons ? », l’enfant répond «  un, deux , trois, quatre » et il s’arrête (respect des principes 1 et 2). Le maître réitère , combien y en t il ? L’ enfant recommence le comptage , l’élève ne dit jamais quatre. Cet élève réalise un comptage – numérotage, il associe des mots à des objets , il n’accède pas à la cardinalité , et ne fait pas de lien avec la quantité . Comment activer un rapport à la quantité ? surtout pas d’intensification du comptage sous peine qu’il s’enferre dans un obstacle résistant (on le voit encore en CE1). Les élèves risquent de devenir des «  bûcherons du comptage », il convient de préférer l’utilisation de collections «  témoin », le comptage ne prenant le relai des nombres que lorsqu’il n’existe pas d’autres procédures. Le recours au comptage implique d’être capable : -de réciter de façon stable une partie de la comptine  ; -de la réciter aussi bien lentement que rapidement, en s’arrêtant, en reprenant  ; -de coordonner le geste de la main avec l’énumération des mots, de façon à établir une correspondance terme à terme entre l’ensemble des mots et l’ensemble des objets, qu’ils soient de nature différente ou non, déplaçables ou non  : un mot, un objet…  ; -de gérer la collection d’objets à dénombrer, c’est-à-dire, à tout instant, distinguer les objets déjà comptés de ceux qui ne le sont pas encore  ; -d’associer le dernier mot énoncé au nombre d’éléments de la collection  : savoir que ce mot correspond à la réponse à la question : « Combien ? » et qu’il représente une quantité indépendante de l’ordre dans lequel on a compté les objets  ; -de dire que l’on s’est trompé si deux ou plusieurs comptages des objets d’une même collection donnent des résultats différents. L’acquisition de ces compétences s’appuie sur les principes généraux dégagés par Gelman et Gallistel : Le principe d’adéquation unique  : il consiste, lors d’un comptage, à assigner à chacun des objets un seul mot nombre, de façon que les mots utilisés soient deux à deux distincts et qu’aucun objet ne soit oublié. -Le principe d’ordre stable  : il stipule que, lors de comptages répétés, on utilise les mots nombres dans un ordre stable. (lié à la stabilité des mots de la comptine). (Correspondance terme à terme : elle suppose d’établir une relation entre un mot nombre et un objet). -Le principe cardinal ou le principe du dernier mot énoncé  : il permet de dire que le dernier mot énoncé est considéré comme l’expression de la mesure de la quantité. (suppose que le dernier mot nombre représente le nombre d’éléments de la la collection, ce qui exclut des comportements de dénombrement sans mise en valeur du dernier nombre dit (combien)) -Le principe de non-pertinence de l’ordre  : l’ordre dans lequel les éléments d’une collection sont dénombrés n’a pas d’importance. (l’ ordre de comptage des objets n’influe pas sur le cardinal de l’ensemble) -Le principe d’abstraction  : il stipule qu’il est possible de dénombrer n’importe quelle collection. Toutes sortes d’objets, d’éléments, semblables ou non peuvent être rassemblés et comptés ensemble, le même nombre s’applique à des collections différentes La procédure de comptage nécessite la coordination de deux compétences  : Chacun de ces principes semble acquis très tôt mais la difficulté du comptage provient de la nécessité de coordonner plusieurs procédures cognitives -la connaissance de la comptine numérique ; -le pointage, par le doigt ou le regard, de chaque élément pris tour à tour jusqu’à ce que tous aient été considérés exactement une fois (énumération). Le comptage consiste donc à coupler la récitation de la comptine avec l’énumération des éléments de la collection. [1]Ces principes sont analysés par Fayol dans L’Enfant et le nombre, Delachaux et Niestlé, 1990.

Les procédures s’appuyant sur les relations entre les nombres Recomptage : L’enfant dénombre depuis le début. Surcomptage : L’enfant, à partir de la 1ère quantité continue la suite numérique en « pointant » les objets de la 2ème collection. Décomptage : A partir de la 1ère quantité, l’enfant met sur ses doigts le nombre d’éléments à enlever et récite la comptine à rebours. Les procédures s’appuyant sur les relations entre les nombres Ce type de procédure peut être utilisé lorsque la collection de référence est, par exemple, la réunion de deux sous-collections d’objets dont l’une comprend quatre (ou trois) objets et l’autre un (ou deux) objet(s). C’est alors l’occasion de faire remarquer que « cinq, c’est quatre (trois) et encore un (deux) » et donc, pour les élèves, d’utiliser les premières relations entre les nombres et d’en construire d’autres à partir de ceux qu’ils ont déjà construits. Apprendre le concept de nombre, c’est aussi prendre en compte les relations entre deux nombres pour en construire un nouveau et ainsi préparer les élèves à l’introduction des opérations. Les pré-stratégies de calcul -Recomptage : Pour deux quantités à « ajouter », l’enfant dénombre depuis le début (il fait comme si les collections n’en faisaient qu’une), il peut le faire directement sur les objets, si ceux-ci sont visibles, à partir d’un dessin qui « reproduit » chacune des collections ou encore à partir d’une figuration mentale. -Surcomptage : dans le cas de deux quantités à ajouter, l’enfant a mémorisé la première quantité et continue la suite numérique en « pointant » les objets de la deuxième collection (effectivement ou mentalement). Si la connaissance de la suite numérique est nécessaire, elle n’est pas suffisante pour connaître et utiliser le nombre, elle peut même être associée par conditionnement aux situations de dénombrement sans qu’un rapport entre l’énumération des objets à décompter et l’énoncé de la comptine ne soit établi. -Décomptage : double compteur voix et doigts: utilisé quand il s’agit « d’enlever » une quantité d’une autre quantité. La première quantité est mémorisée, l’élève met sur ses doigts le nombre d’éléments à enlever et récite la comptine à rebours. Les difficultés rencontrées sont similaires au sur comptage, avec, en plus, l’habileté à réciter la comptine à rebours. Les difficultés tiennent à la nécessité de coordonner plusieurs procédures cognitives : Énumérer tous les objets sans en oublier un, sans compter deux fois le même élément Dire la suite des mots nombres, sans se tromper en associant bien à chaque objet le mot nombre et en s’arrêtant correctement Énoncer le dernier mot nombre prononcé comme réponse à la question posée On peut considérer que l’enfant construit assez tôt la notion de comptage mais qu’il ne peut accéder à une procédure efficace que lorsqu’il est capable de coordonner plusieurs opérations logiques. Les performances en dénombrement sont instables chez le jeune enfant.

III- Attendus de fin d’école maternelle Utiliser les nombres - Évaluer et comparer des collections d’objets avec des procédures numériques ou non numériques. - Réaliser une collection dont le cardinal est donné. Utiliser le dénombrement pour comparer deux quantités, pour constituer une collection d’une taille donnée ou pour réaliser une collection de quantité égale à la collection proposée. - Utiliser le nombre pour exprimer la position d’un objet ou d’une personne dans un jeu, dans une situation organisée, sur un rang ou pour comparer des positions. - Mobiliser des symboles analogiques, verbaux ou écrits, conventionnels ou non conventionnels pour communiquer des informations orales et écrites sur une quantité. Utiliser les nombres - Évaluer et comparer des collections d’objets avec des procédures numériques ou non numériques. - Réaliser une collection dont le cardinal est donné. Utiliser le dénombrement pour comparer deux quantités, pour constituer une collection d’une taille donnée ou pour réaliser une collection de quantité égale à la collection proposée. - Utiliser le nombre pour exprimer la position d’un objet ou d’une personne dans un jeu, dans une situation organisée, sur un rang ou pour comparer des positions. - Mobiliser des symboles analogiques, verbaux ou écrits, conventionnels ou non conventionnels pour communiquer des informations orales et écrites sur une quantité.  Étudier les nombres - Avoir compris que le cardinal ne change pas si on modifie la disposition spatiale ou la nature des éléments. - Avoir compris que tout nombre s’obtient en ajoutant un au nombre précédent et que cela correspond à l’ajout d’une unité à la quantité précédente. - Quantifier des collections jusqu’à dix au moins ; les composer et les décomposer par manipulations effectives puis mentales. Dire combien il faut ajouter ou enlever pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix. - Parler des nombres à l’aide de leur décomposition. - Dire la suite des nombres jusqu’à trente. Lire les nombres écrits en chiffres jusqu’à dix.

Étudier les nombres - Avoir compris que le cardinal ne change pas si on modifie la disposition spatiale ou la nature des éléments. - Avoir compris que tout nombre s’obtient en ajoutant un au nombre précédent et que cela correspond à l’ajout d’une unité à la quantité précédente. - Quantifier des collections jusqu’à dix au moins ; les composer et les décomposer par manipulations effectives puis mentales. Dire combien il faut ajouter ou enlever pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix. - Parler des nombres à l’aide de leur décomposition. - Dire la suite des nombres jusqu’à trente. Lire les nombres écrits en chiffres jusqu’à dix.

IV- Propositions d’activités Situations de référence Imagiers numériques et albums à compter Comptines et jeux de doigts Jeux numériques Certaines comptines numériques permettent de centrer l’élève sur des quantités représentées sous forme analogique, exemple : les petits lapins , au début l’élève place une marionnette à doigt en forme de lapin sur son pouce, il commence la comptine, quand il dit « rencontre un autre petit lapin », il avance une autre marionnette lapin et la pose sur son index… Des jeux numériques comme ranger des collections dans chacune des cases , à condition qu’elles soient composées du même nombre d’objets que le nombre représenté analogiquement par la collection témoin associée à la case, après mélange l’exercice peut être repris… Beaucoup de jeux peuvent être inventés pour atteindre ces objectifs. Utiliser différentes désignations (doigts, constellations, collections témoins, abaques) Travailler ces désignations (bandes numériques, flash cards, compteurs, calculatrice, monnaie, calendrier) Proposer des situations pour utiliser les fonctions du nombre Mémoriser une quantité ou une position (problèmes du type « juste assez », « en un seul voyage ») Comparer les quantités avec ou sans leur présence explicite (agir sur les variables) Anticiper des résultats (problèmes pour augmenter, réunir, des collections, distribuer, partager, égaliser) Pour former des collections équipotentes (subitizing, correspondance terme à terme, collections intermédiaires) Pour utiliser le nombre : des situations présentant le nombre dans des configurations non usuelles, obligeant à compter la collection de référence Pour mémoriser une quantité : collection éloignée dans l’espace, le temps, une situation de communication Pour ordonner suivant la quantité Pour anticiper un résultat dans une situation sans possibilité de dénombrement En PS des situations de dénombrement de collections et de comparaisons de quantités d’objets sont proposées: dresser le couvert en appariant enfant, verres, serviettes à partir d’un stock d’objets mis à disposition, lors des rituels au cours de la gestion des présents absents, lors des moments de vie de classe, utilisation des espaces jeux Présenter tête à toto p 36 37ACCES L’élève possède des formes a compléter avec des gommettes, il doit chercher « juste ce qu’il faut de gommettes  pour remplir la forme », la quantité de gommettes est adaptée aux capacités des élèves. Pour faire évoluer aller chercher des gommettes à grande distance . Dans un premier temps l’enfant peut faire plusieurs trajets, l’enseignant change la couleur des gommettes à chaque trajet, si l’élève en rapporte trop il les colle sur une feuille « poubelle », ce qui permet d’évaluer les procédures. Lors de la deuxième phase, un seul trajet est autorisé, plusieurs reprises de cette phase sont nécessaires. Après plusieurs essais, mise en commun des procédures (ce qu’ils voulaient faire, comment ils s’y sont pris, ce qui leur a permis de réussir la tâche). Lors de situations suivantes, les élèves peuvent faire des commandes de gommettes oralement puis par écrit. Attention éviter les situations papier crayon, renforcer la manipulation Pour ordonner suivant la quantité (exemple de Dominique Valentin) : cartes à jouer sans les figures, cartes avec ou sans numéro, jouer à la bataille. Pour anticiper un résultat : Réunion de collection: on place des billes dans une boîte, les enfants connaissent le nombre de billes dans la boîte, on ajoute des billes, combien y en a-t-il ? Exemple détaillé : le chapeau qui cache (niveau MS), il s’agit de deviner une quantité cachée à partir d’informations visuelles. Compétences travaillées : à partir de deux collections, comprendre que l’on peut en créer une troisième. Utiliser le nombre pour trouver et exprimer une quantité sans la présence explicite de celle-ci, au moyen d’une procédure personnelle. Les procédures utilisées par les élèves pour la réunion de deux collections ou les compléments à 5 ou 10 sont souvent : le surcomptage, l’utilisation de doigts comme collection intermédiaire, ou l’utilisation d’une collection intermédiaire autre que les doigts.

V Obstacles, remédiations et points de vigilance Les difficultés que rencontrent les élèves dans la construction du concept de nombre proviennent principalement  : deux points de vue complémentaires interviennent dans la définition du concept de nombre, ce dernier pouvant se définir soit comme la mesure d’une quantité, soit pour désigner la position d’un élément dans une file  ; de la complexité à définir ce dernier comme mesure de quantités. En effet, le nombre se définit indépendamment de la nature des objets de la collection dont il désigne le cardinal. Des collections de cinq images, cinq feutres ou cinq ballons sont équivalentes du point de vue de la quantité. Le symbole « cinq » désigne la classe d’équivalence de toutes les collections précédentes qui contiennent la même quantité d’objets. On définit ainsi le nombre cinq  ; du temps mis par les élèves à acquérir la suite des mots nombres et à l’utiliser à bon escient pour dénombrer une collection. Ce dernier point va donc dépendre du choix fait par l’enseignante du moment et de la manière d’introduire la procédure de comptage (le recours à la comptine numérique pour dénombrer une collection). Se posent alors les questions suivantes  : Quelles sont les difficultés qui traduisent cette complexité ? Quelle analyse peut-on en faire ? t quelle progression construire pour limiter leur apparition ?  Compter sans donner de sens Pour déterminer la quantité d’objets d’une collection même peu importante, certains élèves ont recours systématiquement à la comptine numérique sans relier les mots nombres énoncés à la quantité qu’ils désignent. Le recours au comptage, trop tôt introduit, bloque chez certains élèves la perception des premières quantités et son utilisation systématique pour dénombrer une collection comportant jusqu’à quatre éléments est souvent prédictive de difficultés à venir en arithmétique. -un trop grand nombre d’élèves réalise la tâche demandée en s’attachant à ce qui est extérieur aux apprentissages en jeu (le découpage, le coloriage, le collage) sans jamais les percevoir. La non-maîtrise de la procédure de comptage Pour que la procédure de comptage puisse être utilisée à bon escient pour dénombrer des collections, il est nécessaire, d’une part, de faire abstraction des qualités des éléments qui la constituent et de l’ordre dans lesquels ces derniers sont pris en compte et, d’autre part, de coordonner deux tâches  : la connaissance de la comptine numérique et l’énumération des éléments de la collection. Cela explique les différentes difficultés que rencontrent certains élèves lors de sa mise en œuvre. La conception des relations entre les nombres Concevoir les relations entre les nombres, c’est comprendre que chaque nombre s’obtient en ajoutant un à son prédécesseur, mais aussi savoir que, par exemple, six c’est trois et encore trois, ou quatre et encore deux, etc. Remédiations -Méconnaissance de la comptine numérique -Comptage par pointage non synchronisé -Non acquisition de la notion de mot-nombre -Pas de représentation des quantités Préconisations -La construction du nombre s’élabore à travers des problèmes pour la résolution desquels ses différents aspects sont convoqués. -La manipulation a deux rôles principaux  : un rôle de déclencheur de réflexion et un rôle de validation d’une réflexion. « Ainsi, les activités mathématiques de numération se font de moins en moins par manipulation d’objets, en groupe, passage progressif à la représentation puis à l’écriture, mais “directement” sur papier et individuellement. » -Choix des situations: rituelles régulières, occasionnelles, jeux, situations construites avec objectif concernant une connaissance ciblée -Les apprentissages se construisent dans la durée : progressivité et durée conséquente -Varier les situations ayant un même objectif d’apprentissage -Etre attentif aux variables didactiques : consigne, taille ds collections, disposition des collections, nombre de déplacements, modalités de travail -Importance du langage, précision, entrainement, construction orale de la phrase mathématique -Construire le concept du zéro sans erreur -Utiliser des situations et des supports adaptés, mettant en jeu le vécu des élèves de la 3D à la 2D -Construire des outils collectifs et individuels élaborés par les enfants eux-mêmes et permettant un passage construit du concret à l’abstrait, de l’analogique au symbolique