Les ondes électromagnétiques dans le vide

Une onde est une grandeur vibratoire dépendant du temps et de l’espace

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide 1) Équations de Maxwell dans le vide

Les équations locales de Maxwell : L’équation locale du flux magnétique : divB = 0 L’équation locale de Maxwell – Faraday :

Les équations locales de Maxwell : L’équation locale de Maxwell – Gauss : L’équation locale de Maxwell – Ampère :

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide 1) Équations de Maxwell dans le vide 2) Équation de propagation

L’équation de propagation de E : rot(rotE) = grad(divE) – E = – E

L’équation de propagation de E : Finalement :

L’équation de propagation de B : rot(rotB) = grad(divB) – B = – B

L’équation de propagation de B : Finalement :

Équation de D’Alembert Une telle équation aux dérivées partielles est appelée équation de D’Alembert (1717 – 1783) La grandeur c, homogène à une vitesse, est appelée célérité de l’onde

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives 1) Les ondes planes progressives a) Cas unidimensionnel

   u = x – c.t v = x + c.t (u,v) = f(u) + g(v) (x,t) = f(x – c.t) + g(x + c.t)

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives 1) Les ondes planes progressives a) Cas unidimensionnel b) Interprétation

Définition : Une onde est dite plane si, à un instant t donné, la grandeur caractérisant l’onde qui se propage est la même en tous les points d’un plan () perpendiculaire à la direction fixe u de propagation de l’onde. () est un plan d’onde.

() est un plan d’onde u () P M  t, (P) = (M)

Une onde plane progressive est une onde plane qui se propage dans une direction et un sens bien déterminés 1(x,t) = f(x – ct) représente une onde plane progressive suivant Ox dans le sens des x croissants avec une célérité c et ceci indépendamment de la forme de f. 2(x,t) = g(x + ct) représente une onde plane progressive suivant Ox dans le sens des x décroissants avec une célérité c et ceci indépendamment de la forme de g.

Conclusion : La solution générale de l’équation de propagation unidimensionnelle dite de D’Alembert, peut s’écrire sous la forme d’une superposition de deux ondes planes progressives se propageant en sens opposés le long de Ox avec la même célérité c : (x,t) = f(x – ct) + g(x + ct).

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives 1) Les ondes planes progressives a) Cas particulier unidimensionnel b) Interprétation c) Cas général tridimensionnel

En coordonnées cartésiennes : E = Ex.ux + Ey.uy + Ez.uz B = Bx.ux + By.uy + Bz.uz  = Ex, Ey, Ez, Bx, By ou Bz

Conclusion Nous admettons qu’en vertu de la linéarité de l’équation scalaire de D’Alembert à trois dimensions, toute solution est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout l’espace :

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les O.P.P.M. a) Cas particulier unidimensionnel

Une onde plane progressive monochromatique se propageant suivant l’axe Ox dans le sens des x croissants peut s’écrire : (x,t) = A.cos(t – k.x + 0)

Une onde plane progressive monochromatique se propageant suivant l’axe Ox dans le sens des x décroissants peut s’écrire : (x,t) = A.cos(t + k.x + 0) (x,t) = A.cos(t – k’.x + 0)

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les O.P.P.M. a) Cas particulier unidimensionnel b) Cas général tridimensionnel

Résumé Toute solution de l’équation de D’Alembert à trois dimensions peut se décomposer en O.P.P. de direction de propagation u quelconque et à leur tour, toute O.P.P. de direction  peut se décomposer en O.P.P.M. de même direction .

Résumé Les O.P.P.M. sont les éléments de base de l’ensemble des solutions de l’équation de D’Alembert à trois dimensions.

Définition On appelle onde électromagnétique plane progressive monochromatique, O.E.P.P.M., une solution des équations de Maxwell dont les six composantes du champ électromagnétique sont des O.P.P.M. de même pulsation  et de même vecteur d’onde k. Seules leurs amplitudes A0 et leurs phases à l’origine 0 sont a priori différentes.

Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives 2) Les O.P.P.M. a) Cas particulier unidimensionnel b) Cas général tridimensionnel c) Vitesse de phase. Relation de dispersion

(M) = 0 u () M t x (M) = 0 u () M x + dx t + dt () est un plan d’onde

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les O.P.P.M. 3) Notation complexe

Notation complexe E(M,t) = E0x.cos(t – k.r + 0x).ux + E0y.cos(t – k.r + 0y).uy + E0z.cos(t – k.r + 0z).uz. même écriture pour B Ex = Re(Ex), Ey = Re(Ey) et Ez = Re(Ez)

Notation complexe Ex = E0x.expi(t – k.r) avec E0x = E0x.expi0x. Ey = E0y.expi(t – k.r) avec E0y = E0y.expi0y. Ez = E0z.expi(t – k.r) avec E0z = E0z.expi0z. même écriture pour B

Notation complexe E = Ex.ux + Ey.uy + Ez.uz = E0.expi(t – k.r). avec E0 = E0x.ux + E0y.uy + E0z.uz B = Bx.ux + By.uy + Bz.uz = B0.expi(t – k.r). avec B0 = B0x.ux + B0y.uy + B0z.uz.

Notation complexe E(M,t) = E0.exp[i(t – k.r)] k = kx.ux + ky.uy + kz.uz k.r = kx.x + ky.y + kz.z

Notation complexe E(M,t) = E0.exp[i(t – k.r)] divE = .E = – ik.E ; E = 2(E) = (– ik)2.E = – k2.E ; rotE =  E = – ik  E

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les O.P.P.M. 3) Notation complexe 4) Structure des O.P.P. dans le vide

Structure des O.E.P.P.M. dans le vide divE = 0 donne .E = – ik.E = 0 ou k.E = 0 Re(k.E) = k.Re(E) = k.E = 0 : u.E = 0 Le champ électrique E est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans le vide, les O.E.P.P.M. sont dites transverses électriques, T.E.

Structure des O.E.P.P.M. dans le vide divB = 0 donne .B = – ik.B = 0 ou k.B = 0 Re(k.B) = k.Re(B) = k.B = 0 : u.B = 0 Le champ magnétique B est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans le vide, les O.E.P.P.M. sont dites transverses magnétiques, T.M.

Structure des O.E.P.P.M. dans le vide  E = – ik  E = – i.B k  E = .B donne Re(k  E) = Re(.B) donne k  Re(E) = .Re(B)

Structure des O.E.P.P.M. dans le vide  B = – ik  B = i.0.0.E k  B = – .0.0.E donne – k  B = .0.0.E

Structure des O.E.P.P.M. dans le vide Si l’onde plane progressive monochromatique se propage dans le sens de u : E = c.B  u Cette relation montre que le trièdre (u, E, B) est un trièdre orthogonal direct

 E  u k B

Structure des O.P.P dans le vide L’ensemble de ces résultats constitue la structure des O.E.P.P.M. dans le vide. Cette structure du champ électromagnétique ne fait pas apparaître la pulsation . Ainsi les résultats obtenus pour les O.E.P.P.M. s’étendent par sommation aux O.P.P. non nécessairement monochromatiques. Dans le vide, les O.P.P. sont transverses et (u, E, B) forme un trièdre orthogonal direct

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives III) Aspect énergétique

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives III) Aspect énergétique 1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.P.P. a) Le vecteur de Poynting

Compte tenu de la structure d’une O. P. P Compte tenu de la structure d’une O.P.P., son vecteur de Poynting vaut : Le vecteur de Poynting  pour une O.P.P. est colinéaire à u, de même sens et perpendiculaire aux plans d’onde.

L’intensité énergétique d’une O. P. P L’intensité énergétique d’une O.P.P., notée I, est définie comme la puissance moyenne par unité de surface transférée par l’onde électromagnétique à travers une surface perpendiculaire à sa direction de propagation u  u k

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives III) Aspect énergétique 1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.P.P. a) Le vecteur de Poynting b) L’énergie volumique

En M, à la date t :

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives III) Aspect énergétique 1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.P.P. 2) Vitesse de propagation de l’énergie

Théorème de Poynting En absence de charge et de courant : Cette relation constitue l’équation locale de la conservation de l’énergie électromagnétique sans source en M, à la date t.

Théorème de Poynting En absence de charge et de courant : Cette relation constitue l’équation globale de la conservation de l’énergie électromagnétique sans source.

d = ve.dS.dt 2Uem = uem.d = uem.ve.dS.dt dS ve dr = v.dt

Analogie  est la densité volumique de charge uem est la densité volumique d’énergie électromagnétique j = m.v  = uem.ve = uem.c.u

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives III) Aspect énergétique IV) Polarisation d’une O.E.P.P.M. 1) Généralités

E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy On a choisi l’origine des temps de manière à prendre nulle une des phases à l’origine.  est le déphasage de la composante Ey sur Ex. E0x et E0y sont des constantes positives.

Si   ]0, [, Ey est en avance sur Ex. Si   ]– , 0[, Ey est en retard sur Ex.

On appelle état de polarisation de l’onde toute relation entre les composantes Ex(z,t) et Ey(z,t).

 z y x E y  z x E elliptique gauche elliptique droite

E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy Si   ]– , 0[, la polarisation est elliptique - gauche Si   ]0, [, la polarisation est elliptique - droite

z y x  E y z x  E circulaire gauche circulaire droite E0x = E0y = E0 E0x = E0y = E0

Le champ électrique est polarisé rectilignement s’il garde une direction fixe au cours de la propagation  = 0 ou  : E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy E = E0x.cos(t – k.z).ux  E0y.cos(t – k.z).uy

z y x E –   rectiligne R24 z y x E    = 0  =  rectiligne R13

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives III) Aspect énergétique IV) Polarisation d’une O.E.P.P.M. 1) Généralités 2) La loi de Malus

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives III) Aspect énergétique IV) Polarisation d’une O.E.P.P.M. V) Ordres de grandeur 1) Les ondes hertziennes

SLF Super Low Frequency MF HF VHF UHF Bandes Fréquences Longueurs d’ondes Applications SLF Super Low Frequency 30 Hz à 300 Hz 103 km à 104 km Ondes des lignes électriques, EDF, induction industrielle MF Medium Frequency 300 kHz à 3 MHz 100 m à 1 km Radionavigation, ADSL, radioamateurs HF High Frequency 3 MHz à 30 MHz 10 m à 100 m Radiodiffusion VHF Very High Frequency 30 MHz à 300 MHz 1 m à 10 m Radiodiffusion, télédiffusion, satellites météorologiques UHF Ultra High Frequency 300 MHz à 30 GHz 1 cm à 1 m Télédiffusion et radiodiffusion numériques, liaisons satellites, téléphonie mobile, WI-FI, Bluetooth, radar, four à micro-ondes EHF Extremly High Frequency 30 GHz à 300 GHz 1 mm à 1 cm Faisceau hertzien terrestre et satellite

Les ondes électromagnétiques dans le vide V) Ordres de grandeur 1) Les ondes hertziennes 2) La lumière

Ondes lumineuses visibles Bandes Fréquences Longueurs d’ondes Applications IR Infrarouge 300 GHz à 384 THz 0,78 m à 1 mm Ondes infrarouges Spectre visible 384 THz à 789 THz 380 nm à 780 nm Ondes lumineuses visibles UV Ultra Violet 789 THz à 952 THz 315 nm à 380 nm UVA 952 THz à 1 071 THz 280 nm à 315 nm UVB 1 071 THz à 3.1015 Hz 100 nm à 280 nm UVC

Les ondes électromagnétiques dans le vide V) Ordres de grandeur 1) Les ondes hertziennes 2) La lumière 3) Les rayons ionisants : X et 

Tremendous High Frequency Bandes Fréquences Longueurs d’ondes Applications THF Tremendous High Frequency 3.1016 Hz à 3.1019 Hz 10 pm à 10 nm Rayons X 3.1019 Hz à 3.1020 Hz 1 pm à 10 pm Rayons 