Probabilités et statistique MQT-1102 Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Probabilités et statistique MQT-1102 Chapitre 9 Les tests d’hypothèses paramétriques

Plan de la séance Différence entre estimation paramétrique et test d’hypothèses paramétriques Définitions Types de tests d’hypothèses Formulation des hypothèses Risques d’erreurs et règle de sélection Les zones d’acceptation et de rejet de H0 Les étapes d’un test d’hypothèses Les tests d’hypothèses paramétriques usuels Exemples récapitulatifs

Tests d’hypothèses paramétriques Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Tests d’hypothèses paramétriques Quelle est la différence entre une estimation paramétrique et un test d’hypothèses paramétriques ? On formule une hypothèse

Tests d’hypothèses paramétriques Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Tests d’hypothèses paramétriques * Estimation paramétrique : Ici on suppose inconnu le paramètre de la population et on cherche à l’estimer au moyen d’une statistique définie à partir d’un échantillon aléatoire. * Test d’hypothèses paramétriques : Ici on suppose au départ que l’on a une certaine connaissance de la valeur du paramètre et on essaie d’en vérifier la véracité. Cette valeur constitue l’hypothèse de base.

Tests d’hypothèses paramétriques Définitions : Hypothèse statistique : C’est un énoncé (une affirmation) concernant les caractéristiques (valeurs des paramètres, forme de la distribution des observations) d’une population. * Test d’hypothèses : C’est une démarche qui a pour but de fournir une règle de décision permettant, sur la base des résultats d’échantillon, de faire un choix entre 2 hypothèses statistiques.

2 types d’hypothèses statistiques : Tests d’hypothèses paramétriques 2 types d’hypothèses statistiques : * paramétrique: Une hypothèse est dite paramétrique s’il s’agit d’un énoncé quantitatif concernant un paramètre de la ou des populations. * non paramétrique: Lorsque l’énoncé concerne la forme de la distribution alors il s’agit d’hypothèse non paramétrique.

Un test implique deux types d’hypothèses : Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Tests d’hypothèses paramétriques Un test implique deux types d’hypothèses : L’hypothèse nulle (H0): C’est l’hypothèse qui sera rejetée uniquement s’il y a suffisamment d’évidence contre elle (statu quo). H0: m = 30 H0: m ≤ 30 H0: m ≥ 30 L’hypothèse alternative (H1): C’est l’hypothèse qui sera acceptée si Ho est rejetée H1: m < 30 H1: m > 30 H1: m  30 H1: m = 25 Toujours le symbole d’égalité …

Tests d’hypothèses paramétriques Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Tests d’hypothèses paramétriques Formulation des hypothèses : Selon un rapport publié par Statistique canada en 1998, un Canadien âgé de 15 à 24 ans dort en moyenne 8,5 heures par nuit. Un spécialiste en sciences sociales prétend que, depuis ce temps, les jeunes Canadiens n’ont plus le même emploi du temps et qu’ils dorment moins de 8,5 heures par nuit. Formulez une hypothèse nulle H0 et une hypothèse alternative H1 pour ce test d’hypothèses. H0 : u = 8,5h H0 : u » 8,5 Hi : u < 8,5h Hi

Tests d’hypothèses paramétriques Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Tests d’hypothèses paramétriques Formulation des hypothèses : La longueur moyenne d’un support métallique fabriqué par une machine automatique doit être de 35 mm. La compagnie veut vérifier si la machine fonctionne correctement et respecte bien cette norme de fabrication. Formulez les hypothèses H0 et H1 d'un test d’hypothèses permettant d'effectuer cette vérification. H0 : u = 35 mm H1 : u n’égale pas 35 mm

Tests d’hypothèses paramétriques Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Tests d’hypothèses paramétriques Formulation des hypothèses : Un représentant d’une société pharmaceutique prétend que son nouveau médicament est plus efficace que tous ceux actuellement sur le marché, pour soigner une certaine maladie. Le meilleur médicament actuellement en vente a un taux d’efficacité de 60 % (c’est-à-dire que 60% des patients qui prennent ce médicament guérissent de la maladie). Formuler un test d’hypothèse permettant de vérifier l’affirmation du représentant de la société pharmaceutique. H0 : p = 0.6 ou H0 : p « 0,6 H1 : p > 0.6 ou H1 : p > 0,6

Comment prendre une décision ? Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Risques d’erreurs et règle de sélection Comment prendre une décision ? Accepter Ho ? Rejeter Ho ? On accepte Ho si l’estimation est relativement près de la valeur du paramètre prévue par Ho. On dit que l’écart n’est pas significatif et qu’il est dû au hasard de l’échantillonnage. Dans ce cas on donne le bénéfice du doute à Ho. Estimer la proportion echantillonnage est proche de H0 pas le choix d’accepter

Comment prendre une décision ? Risques d’erreurs et règle de sélection Comment prendre une décision ? Accepter Ho ? Rejeter Ho ? Mais, si l’estimation du paramètre inconnu est loin de la valeur du paramètre prévu par Ho, on rejettera Ho car l’écart est significatif c’est à dire qu’il n’est pas uniquement dû au hasard de l’échantillonnage.

H0 vraie H0 fausse Décisions États de Ho Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Risques d’erreurs et règle de sélection Dans un processus de décision, 4 situations peuvent se présenter : Décisions États de Ho Ne pas rejeter H0 rejeter H0 H0 vraie Bonne décision E1 = erreur de type I ou erreur de type a H0 fausse E2 = erreur de type II ou erreur de type b Bonne décision

H0 vraie H0 fausse Décisions États de Ho Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Risques d’erreurs et règle de sélection Risque Décisions États de Ho Ne pas rejeter H0 rejeter H0 P(E1) = a (seuil ou niveau de signification) 1- a H0 vraie 1-alpha = niveau de confiance H0 fausse 1- b = puissance du test P(E2) = b

Calculer les risques a et b. Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Risques d’erreurs et règle de sélection Soit X une variable aléatoire normale de moyenne m et d’écart type s = 5. On s’intéresse aux deux hypothèses : Ho : m = 22 H1: m = 25. En se basant sur la moyenne d’un échantillon aléatoire de taille n = 25, tiré de cette population, on applique la règle de décision suivante: Accepter H0 si  24 et rejeter H0 si > 24 . Calculer les risques a et b. **

Solution :

Risques d’erreurs et règle de sélection Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Risques d’erreurs et règle de sélection Erreur de type I I 0,0228 II en rouge = .1587 Accepte H0 de 24 a gauche … Erreur de type II 17 17

Il existe 3 types de régions critiques : Zone d’acceptation et de rejet (région critique) Il existe 3 types de régions critiques : Région critique unilatérale à gauche Région critique unilatérale à droite Région critique bilatérale

H0: m ³ 0 H1: m < 0 H0: m £ 0 H1: m > 0 H0: m = 0 H1: m ¹ 0 Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Zone d’acceptation et de rejet (région critique) Valeur(s) critique(s) H0: m ³ 0 H1: m < 0 H0: m £ 0 H1: m > 0 H0: m = 0 H1: m ¹ 0 Région(s) de rejet de H0 Rejet Hi defini toujours la region critique

Les étapes d’un test d’hypothèse Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Les étapes d’un test d’hypothèse Identifier la variable concernée et énoncer les hypothèses à tester H0, H1; Préciser les conditions du test : distribution de la population, taille de l’échantillon, le niveau du signification, … Spécifier la statistique utilisée et sa distribution; Déterminer la région critique au niveau de signification a ; Calculer la statistique et prendre une décision. 2 faire agir cas 1 2 3 …. 6 calculer alpha et beta

Tests d’hypothèses paramétriques usuels Test sur une moyenne m Cas 1 : Si s2 (la variance de la population) est connue, et la population distribuée normalement ou si s2 (la variance de la population) est connue, X obéit à une distribution quelconque et n  30 alors pour effectuer un test sur la moyenne m, on utilise la statistique (écart réduit):

Calcul des valeurs critiques Test bilatéral : Test unilatéral à droite : Test unilatéral à gauche :

Tests d’hypothèses paramétriques usuels Exemple: La direction des Industries White étudie une nouvelle méthode pour assembler ses voiturettes de golf. Avec la méthode actuelle, il faut 42,3 minutes, en moyenne, pour assembler la voiturette avec un écart type de 2,9 minutes. Le temps de montage moyen d’un échantillon aléatoire de 15 voiturettes à l’aide de la nouvelle méthode est de 40,6 minutes avec un écart type de 3,1 minutes. On assume que le temps d’assemblage est distribué normalement. Au seuil de signification de 0,10 peut-on conclure que la nouvelle méthode est plus efficace ?

Tests d’hypothèses paramétriques usuels Test sur une moyenne m Cas 2 : Si s2 est inconnue, et que la population est normale ou non-normale mais que n≥30, pour effectuer un test sur la moyenne m, on utilise la statistique (écart réduit):

Test unilatéral à droite : Calcul des valeurs critiques Test bilatéral : Test unilatéral à droite : Test unilatéral à gauche :

Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Tests d’hypothèses paramétriques usuels Test sur une moyenne m Cas 3 : Si s2 est inconnue, et que la population est normale et que n<30, pour effectuer un test sur la moyenne m, on utilise la statistique (écart réduit): student

Test unilatéral à droite : Calcul des valeurs critiques Test bilatéral : Test unilatéral à droite : Test unilatéral à gauche :

Test sur une proportion P Tests d’hypothèses paramétriques usuels Test sur une proportion P Cas où n est grand : X  Bi (1, p), si n est grand alors dans ce cas on utilise la statistique :

Calcul des valeurs critiques

Exercices récapitulatifs Opérations et systèmes de décision Faculté des sciences de l'administration Exercices récapitulatifs Avant le règlement de leur conflit de travail, les policiers de la ville de Charlesbourg effectuaient en moyenne 20 arrestations par jour. Au cours des 10 jours qui ont suivi le règlement du conflit, on a relevé le nombre X d'arrestations quotidiennes suivantes : X = 20, 18, 25, 19, 17, 22, 16, 23, 12, 15 De ces observations, on déduit : Au niveau de signification a = 0,05, y a-t-il lieu de croire que le règlement du conflit a fait diminuer de façon significative le nombre d'arrestations effectuées par les policiers de Charlesbourg ?

Exercices récapitulatifs Le ministère des transports affirme que 15 % des véhicules circulant sur nos routes ne rencontrent pas les normes de sécurité du code de la route. La police procède alors à l'inspection de 600 véhicules parmi lesquels elle en retrouve 94 ne rencontrant pas les normes de sécurité du code de la route. En utilisant un niveau de signification a = 0,05, peut-on accepter l'affirmation du ministère des transports ?

Merci de votre attention! Fin du chapitre 9 Merci de votre attention!