ANALYSE HARMONIQUE

Rappels et définitions Action proportionnelle 2) Lieux de Bode 3) Action proportionnelle 4) Intégrateur 5) Premier ordre 6) Deuxième ordre Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Rappels et définitions Action proportionnelle s(t) système Un système dynamique, continu, linéaire, invariant, monovariable est décrit par une équation différentielle linéaire, à coefficients constants de la forme suivante : a0…..an et b0…..bm sont des constantes n est l ’ordre du système pour les systèmes physiques on a toujours : m < n Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Rappels et définitions Action proportionnelle La fonction de transfert du système dans le domaine de Laplace, en se plaçant dans les conditions de Heaviside (conditions initiales nulles), est alors : Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Rappels et définitions Action proportionnelle Caractérisation d’un signal sinusoïdal L’analyse harmonique d’un système consiste à lui appliquer une entrée e(t) sinusoïdale, notée : E0 est l’amplitude du signal (nombre positif) de même unité que e(t)  est la pulsation du signal en rad/s Rappel : pulsation (rad/s) fréquence (Hz ou s-1) période (s) Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Amplitude du signal de sortie Retard exprimé en ° ou rad Pour un système stable et une fois le régime permanent atteint la sortie s(t) est également sinusoïdale et de même pulsation. Elle est plus ou moins amplifiée et plus ou moins retardée. e(t) s(t) t t E0 S0 Régime transitoire Régime établi ou permanent avec Amplitude du signal de sortie de même unité que s(t) Retard exprimé en ° ou rad rad rad/s Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Notation mathématique Analyse harmonique du régime permanent L’analyse harmonique d’un système stable s’intéresse à l’évolution du rapport des amplitudes et du déphasage (retard) entre la sortie et l’entrée (en régime établi) en fonction de la pulsation  . Pour « plus de simplicité » (comme en physique) nous allons utiliser les fonctions complexes suivantes : Notation mathématique avec Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Rappels et définitions Action proportionnelle L’analyse harmonique s’intéresse aux deux quantités : rapport des amplitudes : déphasage (retard) de la sortie avec l’entrée : Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Rappels et définitions Action proportionnelle Fonction de transfert harmonique Il est nécessaire de définir, d’après les résultats précédents, l’expression de : Pour cela, injectons et dans l’équation différentielle temporelle initiale : Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Rappels et définitions Action proportionnelle On appelle fonction de transfert harmonique la valeur prise par la fonction de transfert FT(p) dans le cas particulier où la variable symbolique de Laplace p est un imaginaire pur : Le rapport des amplitudes est le module   de la fonction de transfert harmonique : Le déphasage (retard) de la sortie par rapport à l’entrée est l’argument de la fonction de transfert harmonique : Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Rappels et définitions Action proportionnelle 2) Lieux (ou diagrammes) de Bode Les diagrammes de Bode sont une représentation graphique de la fonction de transfert harmonique FT(j) Ils sont présentés sur deux courbes distinctes en correspondance verticale : la courbe de gain (en décibel: dB) en fonction de la pulsation  la courbe de phase (en ° ou rad) en fonction de la pulsation  Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

N Le diagramme des phases est dessiné dessous celui des gains en correspondance verticale. Gain en dB Phase en deg  en rad/s Gain en dB Phase en deg  en rad/s décade Échelle linéaire Échelle semi-logarithmique N Fortes variations pour les pulsations faibles Echelle abscisses mal adaptée Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Rappels et définitions Action proportionnelle Propriétés des lieux (diagrammes) de Bode Une décade correspond à la multiplication par 10 de la pulsation  Une octave correspond à la multiplication par 2 de la pulsation  Produit de fonctions de transfert Supposons que l’on ait : Les courbes de gain s’additionnent Les courbes de phase s’additionnent Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

Rappels et définitions Action proportionnelle 1000 10 100 10000 10 dB 0 dB 20 dB -10 dB -20 dB -30 dB 0° -90° -180°  (rad/s) G dB  Courbe des gains N Exemple de tracé Tracé asymptotique Courbe des phases Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

graduer l ’axe horizontal à savoir faire graduer l ’axe horizontal log 5 = 0,7 50 10 100 placer 50 rad/s Rappels et définitions Lieux de Bode Action proportionnelle Premier ordre Deuxième ordre Intégrateur

FIN DE LA PREMIERE PARTIE