GEOMETRIE VECTORIELLE INTRODUCTION CINEMATIQUE GEOMETRIE VECTORIELLE

1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 2) Norme d’un vecteur 3) Opérations sur les vecteurs 4) Système de référence 5) Solide indéformable 6) Paramétrage d’un point 7) Angles d’Euler 8) Exemples

1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié Un vecteur (libre ou lié) est un élément de l’espace vectoriel R3 il peut être défini de manière unique par 3 grandeurs (composantes) dans une base donnée de cet espace vectoriel R3 un vecteur libre n’est attaché à aucun point de l’espace. un vecteur lié est attaché à un point de l’espace. Exemple : soit la base Autre notation : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

2) Norme d’un vecteur Dans une base orthonormée on définit la norme d’un vecteur la grandeur positive : Le résultat est indépendant de la base d’écriture (identique aux deux vecteurs) Une base est dite orthonormée quand : les vecteurs la composant sont orthogonaux entre eux la norme de chacun de ses vecteurs vaut 1 (vecteurs unitaires) Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Soient deux vecteurs exprimés dans la même base B0 : 3) Opérations sur les vecteurs Somme de vecteurs : Soient deux vecteurs exprimés dans la même base B0 : Nota : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

uniquement si  est positif ou nul Multiplication par un scalaire : = Nota : uniquement si  est positif ou nul Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs vaut : Le résultat d’un produit scalaire est un réel. Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base : Le résultat est indépendant de la base d’écriture (identique aux deux vecteurs) Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Propriétés du produit scalaire : Distributivité par rapport à l’addition : Symétrie : Nullité : le résultat d’un produit scalaire est un nul si : l’un des deux vecteurs est nul ou s’ils sont orthogonaux. si Signe du produit scalaire : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Cas d’un vecteur de norme unitaire : Si alors correspond à la projection sur en valeur algébrique de Cas d’une base orthonormée directe : Si est une base orthonormée directe alors : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

avec le vecteur unitaire orthogonal au plan formé par et Produit vectoriel : Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur et vaut : avec le vecteur unitaire orthogonal au plan formé par et Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Propriétés du produit vectoriel : Distributivité par rapport à l’addition : Antisymétrie : Nullité : le résultat d’un produit vectoriel est nul si l’un des deux vecteurs est nul ou s’ils sont colinéaires. Si est une base orthonormée directe alors : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Double produit vectoriel : Le résultat est un vecteur. Produit mixte : Invariance par permutation circulaire. Le résultat est un scalaire. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

FIN DE LA PREMIERE PARTIE

On parle d’espace-temps, de référentiel, d’observateur ou de repère. 4) Système de référence En mécanique on se place dans un système constitué du temps et d’un espace physique : le temps (noté t) permet de repérer tout instant par sa date l’espace physique est associé à un repère O0 Ce repère est défini par : un point d’origine (centre du repère) une base orthonormée directe On parle d’espace-temps, de référentiel, d’observateur ou de repère. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

5) Solide indéformable On considèrera toujours que les pièces mécaniques étudiées sont toutes indéformables. Un solide est dit indéformable si quels que soient deux points A et B de ce solide La distance AB reste constante au cours du mouvement ( ) A B Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

6) Paramétrage d’un point dans un repère Pour définir la position d’un solide (S) dans un repère il faut d’abord commencer par lier à ce solide un repère et ensuite définir la position de RS par rapport à R : définir la position de l’origine OS définir l’orientation de la base Nota : comme le solide est supposé indéformable il y a équivalence entre le solide et son repère associé. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

coordonnées cartésiennes Paramétrage dans le plan coordonnées cartésiennes Le problème se situe dans le plan est un repère orthonormé direct de ce plan. La position d’un point M est définie par ses deux projections orthogonales sur chacun des axes. O M x y Vecteur position OM = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Le problème se situe dans le plan Paramétrage dans le plan coordonnées polaires Le problème se situe dans le plan sont deux repères orthonormés directs. et La position d’un point M est définie par le rayon r et l’angle  O M x y  r OM Vecteur position = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Coordonnées cartésiennes (dans l’espace) : est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par ses trois projections orthogonales sur chacun des axes. O M y z x OM Vecteur position Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Coordonnées cylindriques : est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par le rayon r l’angle  et la hauteur z Vecteur position O M z  r OM = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Coordonnées sphériques (dans l’espace): est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par le rayon  l’angle  et l’angle  Vecteur position O M z    OM Dans la base Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

Coordonnées sphériques (dans l’espace): est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par le rayon  l’angle  et l’angle  O M z    OM Dans la base = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

= Dans la base    M O z Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

7) Angles d’Euler Toutes les bases sont orthonormées et directes. Rotation de  autour de précession    2 1 3 Rotation de  autour de nutation Rotation de  autour de rotation propre Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

   2 1 3  rotation propre  précession  nutation

8) Exemples Ecrire les vecteurs de la base dans la base  Ecrire le vecteur dans la base Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

FIN