Rapport de Statistiques Appliquées «Etude des propriétés statistiques d’une série à haute fréquence : le Notionnel» L. Benarousse, E. Benhamou, T. Bornhauser, B. Guez Soutenance 22/06/98 slide n°1 1

Plan de l’exposé Introduction : présentation des données Statistique générale Adéquation à un processus ARCH Conclusion Soutenance 22/06/98 slide n°2 2

Présentation des Données (1) Origine : contrat Matif sur Notionnel 471.919 points 1er avril 1994- 27 mars 1997 Transformation initiale de la série nettoyage recollement Soutenance 22/06/98 slide n°3 3

Présentation des Données (2) Discrétisation de la série 5, 10, 30 mn, 1h 30, 7h 30 passage au logarithme (rendements) Soutenance 22/06/98 slide n°4 4

Statistique descriptive Similitude avec l’étude de Teiletche Caractéristiques des séries trend positif (moyenne positive) skewness négative kurtosis significativement différente de trois Interprétation augmentation en moyenne du cours valeurs extrêmes négatives présence de queues de distribution épaisses Soutenance 22/06/98 slide n°5 5

Stationnarité des séries : Tests Tests de racine unité Dickey Fuller Yt=Yt-1 + t Dickey Fuller augmenté Yt=  + t + Yt-1 + i Yt-i + t KPSS Yt= t + rt + ut Soutenance 22/06/98 slide n°6 6

Stationnarité des séries:Résultats Forte non stationnarité de la série brute Stationnarité de la série différenciée Evolution avec la fréquence Soutenance 22/06/98 slide n°7 7

Effet leptokurtique Kurtosis Exposant caractéristique entre 1,3 et 1,8 gaussienne : 2 Effet de la fréquence Soutenance 22/06/98 slide n°8 8

Tests d’adéquation Tests du 2 Tests de Kolmogorov Smirnov adéquation rejetée pour les lois classiques: normales lognormales weibull Student Tests de Kolmogorov Smirnov mêmes résultats Soutenance 22/06/98 slide n°9 9

Saisonnalité Etude d’une journée moyenne Saisonnalité à 3 mois Soutenance 22/06/98 slide n°10 10

Autocorrelogrammes de la serie originale et serie desaisonnalisee Saisonnalité Série brute et série désaisonnalisée Coefficient de Hurst: processus à mémoire longue 100 200 300 400 500 600 0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Autocorrelogrammes de la serie originale et serie desaisonnalisee Soutenance 22/06/98 slide n°11 11

Modèle ARCH (1) Caractéristique de la série (5mn) leptokurtique dissymétrique ordre de différenciation = 1 exposant caractéristique 1,3 et 1,8 IGARCH = modèle bien adapté. hétéroscédastique Soutenance 22/06/98 slide n°12 12

Modèle ARCH (2) Calibration de modèles détermination des ordres par les corrélogrammes tests de significativité (Student) critère Akaïke (AIC) et Schwarz (BIC) test de normalité : Jarque Bera test d’autocorrélation des résidus (Ljung-Box) test de Lagrange d’homoscédasticité Soutenance 22/06/98 slide n°13 13

Modèle ARCH (3) Résultats Modèles AR(1) avec résidus ARCH rejet de la normalité des résidus autocorrélation des résidus hétéroscédasticité Modèles ARIMA : AR(1) Xt=1.73 10-6-0.0164 Xt-1+ ~BB(0,1.21 10-7) Soutenance 22/06/98 slide n°14 14

Modèle ARCH (4) Modèles ARCH (1) sur AR(1) GARCH(1,1) sur AR(1) Xt=1.567 10-7+0.0219 Xt-1+ ~BB(0,)  GARCH(1,1) sur AR(1) Xt=2.0810-6-0.03 Xt-1+ ~BB(0,)  Soutenance 22/06/98 slide n°15 15

Modèle ARCH (5) Justification d’un modèle GARCH hétéroscédasticité augmentation sensible du critère AIC et BIC amélioration de 1% entre ARIMA/ARCH amélioration de 2% entre ARCH/GARCH corrélation des résidus leptokurticité des résidus Soutenance 22/06/98 slide n°16 16

Modèle ARCH (6) Défauts: leptokurticité des résidus loi conditionnelle non normale Student Gaussienne généralisée dissymétrie des données modèle à seuil et asymétrie modèle PGARCH avec seuil modèle TGARCH (peu intéressant) modèle à deux composantes Soutenance 22/06/98 slide n°17 17

Modèle ARCH (7) Résultats modèle le plus performant PGARCH avec loi de Student et effet de seuil amélioration des critères AIC et BIC prise en compte des défauts Soutenance 22/06/98 slide n°18 18

Prévision et modèles ARCH Résultats prévisions plates choix de l’ensemble d’information prévisions à horizon donné prévisions adaptatives point de retournement faible influence imprévisibilité d’un nouveau point de retournement très grand intervalle de confiance Soutenance 22/06/98 slide n°19 19

Prévisions et résultats AR(1) (1 mois) GARCH(1,1) (10 mn) (1 heure) 10 20 30 40 50 128.30 128.35 128.40 20 40 60 80 100 128.30 128.35 128.40 128.45 128.50 20 40 60 80 100 127.8 128.0 128.2 128.4 128.6 Soutenance 22/06/98 slide n°20 20

Prévisions et résultats GARCH(1,1) (1 mois) GARCH(1,1) (1 an et 3 mois) 20 40 60 80 100 128.30 128.35 128.40 128.45 128.50 20 40 60 80 100 128.30 128.35 128.40 128.45 128.50 Soutenance 22/06/98 slide n°21 21

Prévisions et résultats PGARCH(1,1) loi de Student (1 mois) GARCH(1,1) (1 mois) 20 40 60 80 100 128.25 128.30 128.35 128.40 128.45 128.50 20 40 60 80 100 128.30 128.35 128.40 128.45 128.50 Soutenance 22/06/98 slide n°22 22

Conclusion Impact de la fréquence de la série Rejet de la normalité des rendements Rejet d’adéquation à des lois classiques Amélioration sensible de la modélisation avec un modèle PGARCH avec loi conditionnelle de Student et effet de seuil Extensions possibles (analyse bivariée et causalité) Soutenance 22/06/98 slide n°23 23