Introduction à l’automatisation -ELE3202- Cours #8: Le modèle d’état Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 8 Retour sur le sondage du dernier cours Fin de la matière portant sur les systèmes continus: Le modèle d’état Ses différentes formes: forme canonique commandable, forme canonique observable, forme canonique diagonale, forme canonique de Jordan Sa solution: la matrice de transition Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 8 Conception à l’aide du modèle d’état: Critères de commandabilité / Observabilité d’un système Commande par retour d’états Régulation par placements de pôles Observateurs d’états (Prochain cours) Conception pour le suivi de consigne (Prochain cours) Application de ces notions par l’exemple du contrôleur d’Astolfi Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le sondage du dernier cours (I) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le sondage du dernier cours (II) Points à améliorer selon vos commentaires: Présentations Powerpoint plus colorées “Plus d’exemples pratiques”, “Plus d’exemples provenant de l’industrie”, “Plus d’exercices faits par les étudiants plutôt que par le professeur.” Faire plus de liens entre les exercices provenant des notes de cours et ceux présentés en classe. “Passer plus de temps sur la théorie.” Poser plus de questions aux étudiants sur la matière. Conflits avec le cours MEC3300 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours #8

Modèle d’état (I) Pour faire l’analyse d’un système et/ou la conception d’un contrôleur, deux approches sont disponibles: La première est basée sur la fonction de transfert du système La deuxième est basée sur le modèle d’état du système Question: Qu’est-ce que le modèle d’état? R.: Tout comme la fonction de transfert, le modèle d’état permet de représenter un système. Une des principales différences est que contrairement à la fonction de transfert, le modèle d’état concerne le domaine temporel. Le principe du modèle d’état est de représenté une équation différentielle d’ordre n par un système d’équations différentielle du premier ordre. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (II) Exemple 1: Système masse-ressort avec friction Par exemple, considérons un système masse-ressort avec frottement, où u(t) est la force verticale appliquée au système): L’équation de la dynamique de ce système est: qui est une équation différentielle d’ordre 2. En posant: On peut ré-écrire l’équation de la dynamique tel que: Figure tirée de “Modern Control Systems”, Bishop & Al. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (III) Exemple 1: Système masse-ressort avec friction Et on peut donc directement ré-écrire les équations de la dynamique en un système d’équations différentielles de premier ordre: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (IV) Exemple 1: Système masse-ressort avec friction Par ailleurs, ce système d’équations différentielles du premier ordre peut évidemment se ré-écrire sous format matricielle: Supposons que la sortie est la position de la masse, alors on pourrait aussi écrire: Les équations générales du modèle d’état sont donc: x est le vecteur d’état, u est le vecteur des entrées et y est le vecteur des sorties Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (V) Exemple 2: Pendule inversé sur chariot Soit le système suivant: Les équations de la dynamique de ce système (une fois linéarisé) se résument à: On veut stabiliser le pendule ET le chariot, les sorties de ce système sont donc l’angle du pendule ϴ(t) et la position x(t). Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (VI) Exemple 2: Pendule inversé sur chariot En posant: On obtient les équations du système sous forme de modèle d’états: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (VII) Dernier exemple: Circuit RLC Au tableau... Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (VIII) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (IX) Définition: L’état d’un système est l’ensemble des variables (dites les variables d’états) dont les valeurs, jumelées aux valeurs des entrées ainsi qu’aux équations de la dynamique d’un système, déterminent l’état futur ainsi que la sortie du système. Elles décrivent la configuration d’un système à un moment précis et peuvent être utilisées pour déterminer la réponse future de ce système, étant donné la connaissance du signal d’entrée et des équations décrivant la dynamique. Note importante: Les variables d’états qui décrivent un système ne sont pas un ensemble unique, plusieurs ensembles de variables d’états peuvent généralement être choisies. En effet, revisitons l’exemple du circuit RLC (tableau) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (X) Aussi, il est assez simple de passer du modèle d’état d’un système (dans le domaine temporel) à la fonction de transfert du modèle (dans le domaine de Laplace) : Modèle d’état: En appliquant la transformée de Laplace de chaque côté des équations: En ré-arrangeant et en considérant les conditions initiales nulles, pour les états: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XI) Donc, en substituant cette expression dans l’équation de la sortie: La fonction de transfert est donc: Par ailleurs, Donc les pôles de la fonction de transfert sont aussi les valeurs propres de la matrice A!! Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XII) Exemple d’un système de deuxième ordre Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XIII) Exemple d’un système de deuxième ordre Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XIV) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XV) Vous voyez donc bien qu’un système n’a pas une représentation unique. Lorsque l’on fait un tel changement de variable, on peut ré-écrire le système sous cette forme: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XVI) Nous pouvons d’ailleurs nous convaincre que le nouveau système est le même que l’ancien en retrouvant la fonction de transfert: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XVII) Bien qu’il existe une infinité de représentations d’état pour une même fonction de transfert, l’utilisation de certaines formes « standards » est privilégiée : La forme canonique commandable La forme canonique observable La forme canonique diagonale La forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XVIII) Forme canonique commandable Soit une fonction de transfert qui s’écrit telle que: Une telle fonction peut se ré-écrire : Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XIX) Forme canonique commandable Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XX) Forme canonique commandable Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XXI) Forme canonique observable Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XXII) Forme canonique observable Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XXIII) Forme canonique observable Note: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XXIV) Forme canonique diagonale Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XXV) Forme canonique diagonale Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XXVI) Forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Modèle d’état (XXVII) Forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Solution des équations d’état par Laplace (I) Il est possible de trouver aisément la solution des équations d’état en utilisant Laplace. En effet, soit le système d’état suivant (domaine temporel): En prenant la transformée de Laplace des deux côtés: Donc, la solution: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Solution des équations d’état par Laplace (II) On peut écrire ce dernier résultat : Où: En prenant la transformée inverse de Laplace: La solution générale des équations d’état est: Matrice de transition Propriété 8: convolution temporelle Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Solution des équations d’état par Laplace (III) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Solution des équations d’état par Laplace (IV) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Solution des équations d’état par Laplace (V) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (I) Commandabilité Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (II) Observabilité Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (III) Exemple – système masse-ressort avec friction Commandabilité: Observabilité: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (IV) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (V) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (VI) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (VII) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (VIII) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (IX) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (X) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (XI) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Application de ces notions - Exemple du contrôleur d’Astolfi - Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôleur d’Astolfi (I) [5] Dynamique Distance et angles (Pose) par rapport au but Dynamique de la pose par rapport au but Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôleur d’Astolfi (II) [5] Dynamique de la pose par rapport au but Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôleur d’Astolfi (III) [5] Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôleur d’Astolfi (IV) [5] Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Prochain cours Observateurs d’états Début de la matière concernant le domaine non-continu (discret): Échantillonnage Transformée en z Choix d’une fréquence d’échantillonnage Bloqueur d’ordre 0 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Références [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh [5] Exponential Stabilization of a Wheeled Mobile Robot Via Discontinuous Control – A. Astolfi, March 1999 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011