Présentation de Séminaire Présentation de Séminaire. Inversion de grands systèmes creux surdimensionnés sur architecture distribuée. Réalisation d’une étude des différents algorithmes d’inversion de grands systèmes linéaires creux sur architecture distribuée Compagnie générale de géophysique le 21 mars 2005.

Problématique Chaque ligne de la matrice A correspond à une contrainte sur la solution. Régularisation du problème par filtrage numérique. CGG 21 mars 2005

Méthode d’étude Inversion de grands systèmes creux surdimensionnés. Recensement des techniques utilisées pour l'inversion proprement dite. ( algorithmes et préconditionnement). Méthodes choisies pour l’optimisation: algorithmes et évaluation. Préparation du stage et de l’implémentation d’une méthode choisie, tests des librairies. CGG 21 mars 2005

Inversion de grands systèmes creux surdimensionnés. Une problématique ouverte quoique ancienne. Enjeux de la mises en oeuvre Prcédé l’Arnoldi, de génération d’une base de Krylov orthonormale =>lanczos récurrences courtes pour matrices symétriques => CG. Impossibilité de trouver un algorithme optimal et général. CGG 21 mars 2005

Recensement des techniques utilisées pour l'inversion proprement dite. Méthodes directes Méthodes itératives préconditionnement CGG 21 mars 2005

Méthodes directes CGG 21 mars 2005

Méthodes directes Méthodes directes. factorisation de Cholesky . Factorisation QR . Factorisation LU. Enjeu? Parallélisation des méthodes préconditionnement CGG 21 mars 2005

Méthodes directes Méthodes multifrontales Factorisation LU . Un schéma Une équation correspondante: CGG 21 mars 2005

Factorisation QR 3 algorithmes, 3 utilisations A=QR, QTQ=Idm R triang. Sup. 3 algorithmes, 3 utilisations Orthogonalisation. Résolution directe. Préconditionnement. CGS MGS Factorisation de Householder et Givens Un choix dépendant du cas d’utilisation. CGG 21 mars 2005

Méthodes directes Avantages des méthodes directes Inconvénients robustesse. Inconvénients taille du problème. parallèlisation. Adaptées aux problèmes structurés. Nécessité de se tourner vers d’autres algorithmes? CGG 21 mars 2005

Méthodes itératives CGG 21 mars 2005

Méthodes itératives Méthodes itératives: Difficultés: Approximations successives de la solution. Difficultés: Se ramener à un système carré. Se ramener à un système symétrique, voire défini positif CGG 21 mars 2005

Résoudre un système symétrique: Les gradients conjugués. Méthode de Lanczos: construction d’une base de Krylov. L’algorithme du gradient conjugué correspond à l’itération k à la minimisation de J(u)=1/2(Au,u)-(b,u) sur u1+Kk CGG 21 mars 2005

Rendre système symétrique: L’équation normale: ATA= ATb => conditionnement carré matrice pleine de grande taille Système associé: Meilleure approche? CGG 21 mars 2005

Résolution du système associé: LSQR Appliquer l’algorithme de Lanczos au système ainsi formé Réduction à une forme bidiagonale, Et résolution par factorisation QR. CGG 21 mars 2005

LSQR et CG sur l’équation normale Un même conditionnement. Des propriétés numériques différentes. Complexité algorithmique: LSQR: 2 pdts A.u 4 C.L. de vecteurs/ itération CGG 21 mars 2005

Résoudre un système carré non symétrique: gmres Bonne robustesse générale. Informations sur la matrice de résolution en tomographie. Vitesse de convergence. Bonne documentation sur la parallèlisation. Peu de cas d’utilisation en tomographie Complexité algorithmique m+1 pdts scalaires, m+1 c.l. , 1 pdt A.vi CGG 21 mars 2005

Résoudre un système carré non symétrique: gmres Construction de la base de l’espace de Krylov Km(A,r0)=Vect(Ak.r0), k<m Par factorisation QR. Projection du résidu CGG 21 mars 2005

Deux autres possibilités BiCGSTAB Qualité de parallèlisation Peu d’espace mémoire requis Convergence lente 4 Pdts scalaires, 6 C.L., 2 pdts A.u QMR Calculs avec la transposée Bonne robustesse 2 pdts scalaires, 12 C.L., 2 pdts A.u CGG 21 mars 2005

Méthodes Choix dune méthode ? CGG 21 mars 2005 Nom de la méthode convergence Parallelisation. robustesse EN 1 ++ ? Minres LSQR +++ QMR + CG CGS - Bi-CG Bi-CGStab Bi-CGstab(l) Gmres Derivées de gmres gmresR CGG 21 mars 2005

Conclusion sur les méthodes itératives 4 méthodes restantes QMRCGSTAB BiCGSTAB(l) Gmres LSQR Nécessité de tests de convergence. Le plsu important est le nombre d’itérations rapportées aux Operations de base pour evaluer l efficacité parallèle. CGG 21 mars 2005

Parallélisation des opérations de base Acces parindex Codage par blocs de A Overlapping Partitionner l’hypergraphe de la matrice. CGG 21 mars 2005

Parallélisation des opérations de base Stockage, accès aux données. Produits matrice vecteur. Produits scalaires, ovelapping Minimiser les communications Acces parindex Codage par blocs de A Overlapping Partitionner l’hypergraphe de la matrice. CGG 21 mars 2005

préconditionnement CGG 21 mars 2005

préconditionnement mauvais conditionnement du système. Nécessité d’améliorer la convergence. Résoudre le système M-1A.x=y Mesure la capacité de M à approximer A CGG 21 mars 2005

Préconditionneurs parallèles Préconditionneurs simples. SOR, BJ: séries de Neumann: M=I+B où A=I-B CGG 21 mars 2005

Factorisations incomplètes. ILU Par algorithme multigrille. QR incomplète CIMGS, ILQ. CGG 21 mars 2005

Librairies existantes CGG 21 mars 2005

Librairies existantes Partitionnement de graphes pour minimiser les communications. Inversion par méthodes directes ou indirectes avec préconditionnement. Étude exhaustive impossible. Umfpack pARMS P-sparselib Scalapack Pastix CGG 21 mars 2005

Stage CGG 21 mars 2005

Stage Tests de convergence des méthodes sur les matrices de tomographie. Choix de la méthode en fonction des capacités de parallèlisation. Test des librairies parallèles. implémentation CGG 21 mars 2005