Division euclidienne - décimale Chapitre 7 Division euclidienne - décimale

dividende = ( diviseur x quotient) + reste avec reste < diviseur I. Division euclidienne Définition : Effectuer une division euclidienne d'un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0, c'est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels que : dividende = ( diviseur x quotient) + reste avec reste < diviseur

Exemples : En utilisant les tables de multiplication, on a 52 = ( 6 x 8 ) + 4 et 4 < 6 Dans la division euclidienne de 52 par 6, le quotient est 8 et le reste est 4. Attention, on pourrait écrire 52 = ( 6 x 7 ) + 10 mais 10 > 6 donc ce n'est pas la véritable division euclidienne. La division euclidienne est unique.

On peut également poser l'opération : Exercice : En posant la division euclidienne de 185 par 7, on trouve 185 = ( 7 x 26 ) + 3 et 3 < 7

II. Critère de divisibilité On a 38 = ( 2 x 19 ) + 0 = 2 x 19. Le reste de la division euclidienne de 38 par 2 est zéro. Vocabulaire : On peut ainsi dire au choix que : 38 est un multiple de 2 38 est divisible par 2 2 est un diviseur de 38

Exemples : 20 est un multiple de 5 car 20 est dans la table de 5. 12 est divisible par 2. 3 est un diviseur de 15. 20 a pour diviseurs de 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20.

Critères de divisibilité : Un nombre entier est divisible : par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5. par 10 lorsque son chiffre des unités est 0. par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est divisible par 4. par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemples : 12 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 2. 15 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5. 250 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0. 216 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4. 93 est divisible par 3 car 9 + 3 = 12 est divisible par 3. 288 est divisible par 9 car 2 + 8 + 8 = 18 est divisible par 9.

III. Division décimale Le quotient d’un nombre 6,9 par un nombre 3 est le nombre qui, lorsqu’il est multiplié par 3, donne 6,9. Après un calcul, on trouve 3,3. Effectuer la division décimale du nombre a par le nombre b, c’est calculer la valeur exacte (ou une valeur approchée) de ce quotient. On le note 𝒂 : 𝒃 ou 𝒂÷𝒃.

Exemples : Posons la division de 23 par 5. On a donc 23 : 5 = 4,6 Posons la division de 18,6 par 4. On a donc 18,6 : 4 = 4,65

Remarque : Lorsque, comme dans l’exemple ci-dessous, la division "ne s’arrête jamais", ou encore lorsque le quotient comporte un grand nombre de décimales, il est nécessaire de donner une valeur approchée du quotient.

Avec une troncature par défaut au centième, on a 52 : 7 ≈ 7,42 Avec une troncature par excès au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,5 Avec un arrondi au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,4 Avec un arrondi au centième, on a 52 : 7 ≈ 7,43